江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

江西省南昌市东湖区第十中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

南昌十中2019－2020学年上学期期中考试 高二数学(理)试题 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1.直线和直线垂直，则实数的值为（ ）‎ A. -2 B. 0 C. 2 D. -2或0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两直线垂直，得到系数之间的关系，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为直线和直线垂直，所以，‎ 即，解得或故选D ‎【点睛】本题主要考查由两直线垂直求参数的值，结合两直线垂直的充要条件，即可求解，属于基础题型.‎ ‎2.方程不能表示圆，则实数的值为 A. 0 B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设方程可以表示圆得到的值，从而可得到不能表示圆时a的值.‎ ‎【详解】方程能表示圆，则，‎ 解得，即.‎ 所以，若方程不能表示圆，则.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的一般方程及正难则反的数学思想.‎ ‎3.直线（为参数，是直线的倾斜角）上有两点，它们所对应的参数值分别是，则等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，得、，则；故选D.‎ ‎4.若，满足，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的普通方程化为参数方程，结合两角和的正弦公式求出最值即可.‎ ‎【详解】解：由圆的参数方程为（为参数），‎ 得，故的最大值为2.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查圆的方程的参数方程与普通方程互化，考查两角和的正弦公式逆用求最值，属于基础题.‎ ‎5.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线是( )‎ A. B. C. D. .‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出抛物线的焦点坐标，再由双曲线的几何性质求解渐近线方程即可．‎ ‎【详解】抛物线的焦点（2，0），则a2+3＝4,∴a2＝1，∴a＝1，∴双曲线方程为： ．‎ ‎∴渐近线方程为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．‎ ‎6.抛物线的准线方程是，则的值为（ ）‎ A. B. C. 8 D. -8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】方程表示的是抛物线,‎ ‎，，‎ 抛物线的准线方程是，‎ 解得，故选B.‎ ‎7.设点，分别是椭圆的左、右焦点，弦AB过点，若的周长为8，则椭圆C的离心率为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得b，可得椭圆长半轴长，再由隐含条件求得c，则椭圆离心率可求．‎ ‎【详解】由已知可得，椭圆的长轴长为，‎ ‎∵弦AB过点，的周长为，‎ 解得：，，，则，则椭圆的离心率为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用及简单性质，是基础的计算题．‎ ‎8.直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是 A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，‎ 那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于（0，‎ ‎﹣1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1），分别求出b，则b的范围可得．‎ ‎【详解】曲线有即 x2+y2=1 （x≥0），表示一个半圆（单位圆位于x轴及x轴右侧的部分）．‎ 如图，A（0，1）、B（1，0）、C（0，﹣1），‎ 当直线y=x+b经过点A时，1=0+b，求得 b=1；‎ 当直线y=x+b经过点B、点C时，0=1+b，求得b=﹣1；‎ 当直线y=x+b和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得1=，求得b=﹣，‎ 或 b=（舍去），‎ 故要求的实数b的范围为﹣1＜b≤1或b=﹣，‎ 故答案为：B ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.‎ ‎9.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 为等边三角形，不妨设 为双曲线上一点，‎ 为双曲线上一点,‎ 由 在中运用余弦定理得：‎ ‎,‎ 故答案选 点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率。‎ ‎10.如图所示,点是抛物线的焦点,点分别在抛物线及圆的实线部分上运动,且总是平行于轴,则的周长的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线准线方程,设出两点的坐标,根据抛物线的定义求出,将抛物线方程与圆的方程联立,再根据圆的方程,这样可以求出点横坐标的取值范围,再求出的周长的表达式,利用点横坐标的取值范围,可以求出的周长的取值范围.‎ ‎【详解】由题意知抛物线的准线为,设两点的坐标分别为,，则.‎ 由 消去整理得,解得,‎ ‎∵在图中圆的实线部分上运动,‎ ‎∴.‎ ‎∴的周长为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义的理解,考查了圆与抛物线的位置关系,考查了圆的几何性质,考查了数学运算能力.‎ ‎11.椭圆左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，则四边形的周长为（ ）‎ A. 6 B. C. 12 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵过 的直线与椭圆交于两点，点关于 轴的对称点为点 ， ∴四边形 的周长为 ， ∵椭圆  ‎ ‎ ， ∴四边形 的周长为12． 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，考查四边形的周长，正确运用椭圆的定义是解题的关键．‎ ‎12.如图，两个椭圆的方程分别为和（，），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意知，外层椭圆方程为 ，设切线的方程为代入内层椭圆消去得: 由化简得同理得所以选A.‎ 点睛:求椭圆的离心率一般只需要找到关于 的方程，方程 中的斜率都可以用来表示，从而找到了关于的方程.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共16分）‎ ‎13.已知圆方程为：,则斜率为1且与圆相切直线的方程为______．‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出斜率为1且与圆相切直线的斜截式方程,圆心到该直线的距离等于圆的半径,得到方程,解方程求出直线的在纵轴上截距,把直线的斜截式方程化为一般式方程即可.‎ ‎【详解】斜率为1且与圆相切直线的方程为,圆的圆心坐标为,半径为,由题意可知：或,因此 斜率为1且与圆相切直线的方程为,.‎ 故答案为：,‎ ‎【点睛】本题考查了求圆的切线方程,利用圆的切线性质是解题的关键.‎ ‎14.若曲线为参数),与直线有两个公共点则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用代入消元法,把曲线方程化为普通方程,并求出纵坐标的取值范围,利用数形结合求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】,而,如下图所示：‎ 所以直线有两个公共点时,‎ ‎ .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程,考查了正弦函数的值域,考查了数形结合思想.‎ ‎15.设圆的圆心为,是圆内一定点,为圆周上任一点,线段的垂直平分线与的连线交于点,则的轨迹方程为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂直平分线的性质,结合椭圆的定义,可以判断的轨迹方程是椭圆,再根据 之间的关系求出,最后写出椭圆方程.‎ ‎【详解】因为线段的垂直平分线与的连线交于点,所以,而 ‎,因此,而,所以的轨迹是以为焦点的椭圆, ,因此的轨迹方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了应用椭圆定义求椭圆标准方程,考查了线段垂直平分线的性质.‎ ‎16.已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：双曲线的渐近线方程为，‎ 右顶点(a,0)到其一条渐近线的距离等于，‎ 可得，解得，即有c=1，‎ 由题意可得，解得p=2，‎ 即有抛物线方程为y2=4x，‎ 如图,过点M作MA⊥l1于点A，‎ 作MB⊥准线l2:x=−1于点C，‎ 连接MF，根据抛物线的定义得MA+MC=MA+MF，‎ 设M到l1的距离为d1,M到直线l2的距离为d2，‎ ‎∴d1+d2=MA+MC=MA+MF，‎ 根据平面几何知识，可得当M、A. F三点共线时，MA+MF有最小值。‎ ‎∵F(1,0)到直线l1:4x−3y+6=0的距离为.‎ ‎∴MA+MF的最小值是2，‎ 由此可得所求距离和的最小值为2.‎ 故答案为2.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.在平面直角坐标系中,求过圆,（为参数）的圆心,且与直线（为参数）平行的直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的参数方程求出圆的圆心,利用加减消元法把直线的参数方程化成一般方程,求出它的斜率,利用两直线平行时,斜率的关系求出所求直线的斜率,写出所求直线的点斜式方程,最后化成一般方程即可.‎ ‎【详解】圆的圆心坐标为：,直线的普通方程为：,所以与直线平行的直线的斜率为,所以所求直线的方程为：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了通过圆的参数方程求圆心坐标,考查了已知两直线平行时,斜率之间的关系,考查了直线参数方程化普通方程.‎ ‎18.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为为参数．‎ 求曲线，的普通方程；‎ 求曲线上一点P到曲线距离的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；.‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用平方和代入法，消去参数，即可得到曲线的普通方程；‎ ‎（2）由曲线的方程，设，再由点到直线的距离公式和三角函数的性质，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，为参数），则，平方相加，即可得：，‎ 由为参数），消去参数，得：，即.‎ ‎（2）设，‎ 到的距离 ，‎ ‎∵，当时，即，，‎ 当时，即，.‎ ‎∴取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，其中解答中合理利用平方和代入，正确化简消去参数得到普通方程，再利用椭圆的参数方程，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎19.设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为2，求此双曲线的标准方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的标准方程为，再根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得a,b,c的值，即得双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】设双曲线的标准方程为，由题意知c2＝16－12＝4，即c＝2.‎ 又点A的纵坐标为2，则横坐标为±3，于是有 ‎，‎ 所以双曲线的标准方程为.‎ ‎【点睛】（1）本题主要考查双曲线的标准方程的求法，考查双曲线的简单几何性质和余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. (2)求双曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.‎ ‎20.已知点，圆的方程为，点为圆上的动点，过点的直线被圆截得的弦长为．‎ ‎(1)求直线的方程；‎ ‎(2)求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先讨论直线的斜率是否存在，利用(为圆的半径，为圆心到直线的距离)列方程解得直线的斜率，再由点斜式写出直线方程； (2)因为为定值，只需求出点到直线的最大值即可，问题得解。‎ ‎【详解】解：(1)①当直线的斜率不存在时，的方程为，易知此直线满足题意； ②当直线的斜率存在时，设的方程为， ∵圆的圆心，半径，‎ 因为过点的直线被圆截得的弦长为，‎ 所以（其中为圆心到直线的距离）‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ ‎∴，解得， 所以所求的直线方程为 ‎； 综上所述，所求的直线方程为或 (2)由题意得，点到直线的距离的最大值为7， ∴的面积的最大值为7．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查分类思想及计算能力、转化能力，还考查了圆的弦长计算公式，属中档题．‎ ‎21.如图所示,已知点是抛物线上一定点,直线的倾斜角互补,且与抛物线另交于，两个不同的点．‎ ‎(1)求点到其准线的距离；‎ ‎(2)求证：直线的斜率为定值．‎ ‎【答案】(1)5；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把点M的坐标代入抛物线的方程，求出点M的坐标，然后根据抛物线的定义求出点到其准线的距离；‎ ‎（2）设出直线MA的方程，与抛物线方程联立，得出A 的纵坐标，同理得出B的纵坐标，由已知条件结合点差法推导出AB的斜率表达式，把A，B的坐标代入，由此能证明直线AB的斜率为定值．‎ ‎【详解】（1）∵M（a，4）是抛物线y2＝4x上一定点，∴42＝4a，a＝4，‎ ‎∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，故点M到其准线的距离为5；‎ ‎（2）由题知直线MA、MB的斜率存在且不为0，设直线MA的方程为：y﹣4＝k（x﹣4）；‎ 联立，设，，‎ ‎ ，即，‎ ‎∵直线的斜率互为相反数，∴直线MB的方程为：，‎ 同理可得：，由A，B两点都在抛物线y2＝4x上，∴ ，，‎ ‎，‎ ‎∴直线AB的斜率为定值.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了一元二次方程根与系数关系，考查直线的斜率为定值的证明，属于中档题．‎ ‎22.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（）,且点F（，0）为其右焦点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)是否存在直线与椭圆C交于B,D两点,满足,且原点到直线l的距离为？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)不存在符合条件的直线.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出左焦点的坐标,求出到左焦点距离,再求出到右焦点的距离,最后利用椭圆的定义求出椭圆方程；‎ ‎(2)假设存在这样的直线,设出直线的方程, 原点到直线l的距离为,可得到等式,该直线方程与椭圆方程联立,根据根的判别式,可以计算出直线l的斜率的取值范围,把向量式子 用数量积的坐标表示公式化简,结合根与系数关系可求出该直线的斜率,检验该值在不在斜率的取值范围中,最后再考虑直线不存在斜率的情况,这样就可以得出正确结论.‎ ‎【详解】(1)设椭圆C的方程为，则左焦点为，‎ 在直角三角形中，可求，∴，‎ 故椭圆C的方程为．‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为，由原点到l的距离为得：‎ ‎．‎ 联立方程，得．‎ 则，，．‎ 设，，‎ 则，‎ 解得． ‎ 当斜率不存在时l的方程为，易求得.‎ 综上，不存在符合条件的直线.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了平面向量数量积的运算坐标表示,考查了数学运算能力.‎ ‎ ‎