吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

延边第二中学2019—2020学年度第一学期 期中考试高二年级数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）‎ ‎1.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题否定方法求解，改变量词，否定结论.‎ ‎【详解】因为的否定为，‎ 所以选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.‎ ‎2.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为：“若则”‎ B. 为假命题，则均为假命题 C. 命题“若成等比数列，则”的逆命题为真命题 D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题之间的关系逐个判断即可.‎ ‎【详解】对A, 命题“若,则”的否命题为：“若则”,故A错误 对B, 为假命题,则至少有一个假命题,故B错误.‎ 对C,命题“若成等比数列,则”的逆命题为“若,则成等比数列”,若均为0则不成等比数列,故C错误.‎ 对D, 命题“若,则”为真命题,所以它的逆否命题也为真,故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查四个命题之间的关系与真假命题的判断,属于基础题型.‎ ‎3.在等差数列中，若，，则等于（ ）‎ A. 45 B. 75 C. 50 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：‎ 详解：根据等差数列中等差中项的性质 因为 ‎ 所以 所以选C 点睛：本题考查了等差数列中等差中项性质的应用，是简单题。在数列中，应用等差中项或等比中项能使化简、求值更加简便、快捷。‎ ‎4.若x，y满足 则x + 2y的最大值为 A. 1 B. 3‎ C. 5 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图，画出可行域，‎ 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值时常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如；（3）斜率型：形如，而本题属于截距形式.‎ ‎5.两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质前项和的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】因为等差数列和,所以,又,,‎ 故令有,即,所以 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：‎ 若是等差数列,且,则 与等差数列前项和的性质 ‎6.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)‎ A. (1,3) B. (－∞，1)∪(3，＋∞)‎ C. (1,2) D. (－∞，1)∪(2，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设函数F（a）＝（x﹣2）a+x2﹣4x+4，由题意列出不等式组，解不等式组可得结果．‎ ‎【详解】设函数F（a）＝x2+（a﹣4）x+4﹣2a ‎＝（x﹣2）a+x2﹣4x+4，可看作关于a的一次函数，‎ ‎∵对任意a∈[﹣1，1]，上式值恒大于零，‎ ‎∴只需，‎ 解得x＜1或x＞3‎ 故答案为：B ‎【点睛】本题考查函数不等式的恒成立问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力，变换主元是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎7.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为　(　　)‎ A. 3 B. 2 C. 12 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三元的均值不等式即可求得最小值．‎ ‎【详解】，‎ 当且仅当时等号成立，故选C．‎ ‎【点睛】一般地，如果是正数，那么（当且仅当时等号成立），进一步地，‎ ‎（1）如果（定值），那么有最小值，当且仅当时取最小值；‎ ‎（1）如果（定值），那么有最大值，当且仅当时取最大值．‎ ‎8.若关于x的不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. B. ‎ C. (1，＋∞) D. (－∞，－1)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 方法一：由x2＋ax－2>0在x∈[1,5]上有解，令f(x)＝x2＋ax－2，‎ ‎∵f(0)＝－2<0，f(x)的图象开口向上，‎ ‎∴只需f(5)>0，即25＋5a－2>0，解得a>－.‎ 方法二：由x2＋ax－2>0在x∈[1,5]上有解，可得在x∈[1,5]上有解．‎ 又f(x)＝在x∈[1,5]上减函数，∴()min＝－，只需a>－.‎ 故选A.‎ 点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个：‎ 一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；‎ 二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.‎ ‎9.已知首项为1的等比数列{an}是摆动数列, Sn是{an}的前n项和, 且, 则数列{}的前5项和为（ 　）‎ A. 31 B. C. D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知数列公比不为1，则，所以。因为数列为摆动数列则。所以数列是首项为1公比为的等比数列。所以数列前5项和为。‎ 考点：等比数列的前项和。‎ ‎10.如果一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）‎ A. 13项 B. 12项 C. 11项 D. 10项 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设这个数列有n项，则，因此 即，则，故；‎ 考点：1．等差数列的性质，2．等差数列的前n项和公式；‎ ‎11.数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a6＝b7，则有（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 与的大小不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，B正确 考点：1．等差数列等比数列性质；2．不等式性质 ‎12.设为等差数列的前项和，.若，则（ ）‎ A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵,∴的最大值为．‎ 二、填空题(每小题4分，共16分)‎ ‎13.若等差数列和等比数列满足，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.‎ ‎【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，‎ 求得，，那么，故答案为：.‎ ‎【考点】等差数列和等比数列 ‎【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎14.若，求的最小值_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察到,考虑用基本不等式即可.‎ ‎【详解】由题,‎ 又由基本不等式 ,故 即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式,属于基础题型.‎ ‎15.在数列中，且，，则等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得为等差数列,求出通项公式计算即可.‎ ‎【详解】由可得,故为等差数列.‎ 又,设公差为则.‎ 故,所以,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查若数列的判定,本题说明为等差数列.属于中等题型.‎ ‎16.下列命题中 ‎（1）在等差数列中，是的充要条件；‎ ‎（2）已知等比数列为递增数列，且公比为，若，则当且仅当；‎ ‎（3）若数列为递增数列，则的取值范围是；‎ ‎（4）已知数列满足，则数列的通项公式为 ‎（5）若是等比数列的前项的和，且；（其中、是非零常数，），则A+B为零．‎ 其中正确命题是_________（只需写出序号）‎ ‎【答案】(2)(5)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)(4)中可举反例,(3)中用后项减去前项大于0判断.(2) (5)通过公式论证即可证明.‎ ‎【详解】对(1),若为常数列则对任意均有,故(1)错误 对(2),设等比数列通项公式,因为为递增数列,‎ 故恒成立,又,故,故(2)正确. 对(3),因为数列为递增数列,所以恒成立,‎ 即,恒成立,当时取最大值-3,故,故(3)错误.‎ 对(4),当时, 不满足,故(4)错误.‎ 对(5), 是等比数列的前项的和,设首项为公比为,因为,‎ 故.所以,所以,‎ 所以,故(5)正确.‎ 故答案为：(2)(5)‎ ‎【点睛】本题主要考查等差等比数列的基本性质,包括等和性质与等比数列前项的和的性质等.同时注意推理论证举反例,属于中等题型.‎ 三、解答题（共6题，17、18题每题10分，19-21题每题12分，附加题20分）‎ ‎17.设命题:实数满足；命题：实数满足 ‎（1）若，且为真，求实数取值范围；‎ ‎（2）若,且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）P为真时，，q为真时，，求交集即得解；（2）先求出和，再列出不等式组，即得m的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）由得; ‎ 当时，，即P为真时，‎ 由得，即，即q为真时，‎ 因为为真，则p真q真，所以 ‎ ‎（2）由得；，又，‎ 所以m＜x＜3m,‎ 由得，即；‎ 设，‎ 若的充分不必要条件 则A是B 的真子集，所以即 ‎【点睛】本题主要考查不等式的解法和复合命题的真假的判断，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式的解集包含集合，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ；（2）-1 ‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 所以不等式即为，‎ 等价于或或，‎ 即或或，‎ 解得或或，‎ ‎∴， ‎ ‎∴原不等式的解集为．‎ ‎（2）∵不等式的解集包含集合，‎ ‎∴当时，不等式恒成立，‎ 即对恒成立，‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∴对恒成立．‎ 又当时，‎ ‎∴．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】解含有两个绝对值号的不等式时，常用的方法是利用零点分区间法去掉绝对值号，转化为不等式组求解．解答第二问的关键是将问题转化为不等式恒成立求解，然后通过分离参数再转化为求函数最值的问题处理．‎ ‎19.在中，内角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用正弦定理边化角，再利用即可得到答案；‎ ‎（2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案.‎ ‎【详解】（1），所以，‎ 所以，即 因为，所以，所以，即.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 由余弦定理可得，‎ 因为，所以，解得.‎ 故的面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.‎ ‎20.（1）已知，求函数的最大值；‎ ‎（2）已知 (正实数集)，且，求的最小值；‎ ‎（3）已知，，且，求的最大值．‎ ‎【答案】(1)2；(2)16；(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将再对进行基本不等式求最值即可. (2)利用,再展开用基本不等式即可. (3)利用在中拼凑出再利用基本不等式即可.‎ ‎【详解】解：(1),,故．‎ ‎．‎ ‎,‎ ‎,‎ 当且仅当,即或 (舍)时,等号成立,‎ 故当时,．‎ ‎(2),,,‎ ‎．‎ 当且仅当,且,即时等号成立,‎ ‎∴当,时,．‎ ‎(3),‎ 当且仅当,即,时取最大值,‎ 所以有最大值．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的一般方法,注意“一正二定三相等”的基本用法选用合适的基本不等式即可.同时注意常见题型,包括(1)中负变正,(2)中“1的妙用”(3)中拼凑满足基本不等式的形式的方法等.‎ ‎21.设数列 满足 ， ；数列的前 项和为 ，且 ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若 ，求数列 的前 项和 ．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别利用累加法、数列的递推公式得到数列和数列 的通项公式。‎ ‎（2）利用数列求和的错位相减即可得到数列 的前 项和 。‎ ‎【详解】（1） ‎ ‎ ，……， ，‎ 以上 个式子相加得：‎ ‎ ‎ 当 时， ‎ ‎=‎ ‎ ‎ 当 时， ，符合上式，‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①-②得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】已知 求数列通项公式时，可采用累加法得到通项公式，通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）的前 项和采用错位相减法。‎ 附加题（满分20分）‎ ‎22.已知数列和满足：,其中为实数，为正整数．‎ ‎（1）对任意实数，证明数列不是等比数列；‎ ‎（2）对于给定的实数，试求数列的前项和；‎ ‎（3）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) 当, ；当时,；‎ ‎(3) 当时,得,不存在实数满足要求；‎ 当时,存在实数,其取值范围是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)代入求证明矛盾即可. (2) 由,代入可得再分情况与的情况进行讨论即可.‎ ‎(3)由第(2)问求得的,代入再参变分离求解即可.‎ ‎【详解】(1)假设存在一个实数,使是等比数列,,‎ 由,分别令有,‎ ‎.又 即,矛盾,‎ 所以不是等比数列.‎ ‎(2)因为 ‎,又,‎ 所以当,,此时.‎ 当时,,,‎ 此时,数列是以为首项,为公比的等比数列. ‎ ‎(3)要使对任意正整数成立，‎ 则，∴‎ 得.‎ 令,则当为正奇数时,；当为正偶数时,,‎ 的最大值为,的最小值为.‎ 故,即 当时,得,不存在实数满足要求；‎ 当时,存在实数,使得对任意正整数,都有成立,且的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查数列的综合运用,包括根据递推公式求通项公式的一般方法,即写出前后项分析递推关系以及讨论是否存在的问题以及奇偶数列的一般方法等,属于难题.‎ ‎ ‎