黔东南州 2017 年高考模拟考试试卷 数学(理科)

黔东南州 2017 年高考模拟考试试卷 数学(理科)

黔东南州 2017 年高考模拟考试试卷 数学(理科) 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要 求的.） 1.若复数 i i iz ,32  是虚数单位，则 z的共轭复数 z在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 }1lg{},0 1 3{     xxB x xxA ，则 BA A. ]31[ ， B. ]31( ， C. ]10( ， D. ]30( ， 3. 等差数列 }{ na 的前 n项和为 ns ，若 20,5 532  saa ，则 5a A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4.已知三个数 ln,3log,6.0 6.0 3.0  cba ，则 cba ,, 的大小关系是 A. abc  B. bac  C. acb  D. cab  5.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人， 他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍 是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某 多项式值的一个实例，若输入 x的值为3，每次输入 a的值均为 4， 输出 s的值为 484，则输入 n的值为 A.6 B.5 C. 4 D.3 6.二次函数 )2(42  xxxy 与指数函数 xy ) 2 1( 的交点个数有 A. 个3 B. 个2 C. 个1 D. 个0 7.已知M 为 ABC 的边 AB 的中点， ABC 所在平面内有一个点 P ，满足 PBPAPC  ，若 PMPC  ,则的值为 A.2 B.1 C. 2 1 D. 4 8.已知点 ),( yxP 是圆 422  yx 上任意一点，则 yxz  2 的最大值为 A. 5 B. 52 C. 6 D. 54 9.已知三棱锥 ABCP  中， ABCPA 底面 ， 2,  ACPABCAB ，且该三棱锥所有顶点都在 球O的球面上，则球O的表面积为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 10.任取 ]2,0[yx、 ，则点 ), yxP（ 满足 x y 1  的概率为 A. 4 2ln21 B. 4 2ln2-3 C. 8 3 D. 8 5 11.已知抛物线 xy 42  与双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 有相同的焦点 F ，点 A是两曲线的一个交 点，点 B是点 F 关于坐标原点的对称点，且以 AB为直径的圆过点F ，则双曲线的离心率为 A. 1-22 B． 12  C. 8-28 D. 2-22 12.设 )(xf  是函数 ))(( Rxxf  的导数，且满足 0)(2)(  xfxfx ，若 ABC 中， C 是钝角，则 A. 2 2(sin ) sin (sin ) sinf A B f B A   B. 2 2(sin ) sin (sin ) sinf A B f B A   C. 2 2(cos ) sin (sin ) cosf A B f B A   D. 2 2(cos ) sin (sin ) cosf A B f B A   第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 3 4 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 3 4 2 3 3 正视图 侧视图 俯视图 3 4 2 3 3 正 视 图 侧 视 图 俯 视 图 3 4 2 3 3 正 视 图 侧 视 图 俯 视 图 3 4 2 3 3 正 视 图 侧 视 图 俯 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题~第 23 题为选考题，考生依据要求作答。 二、填空题（本大题共计 4 小题，每小题 5 分.） 13. 若 8 3 ax x       的展开式中 4x 的系数为 7，则实数 a  _________ 14.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于_______ 15.黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的 游客络绎不绝。假设每天到西江苗寨的游客人数 是服从正态分布 ）（ 10000,2000N 的随机变量.则 每天到西江苗寨的游客人数超过 2100 的概率为___________． .)9974.0)33(,9544.0)22- 6826.0-2     PP PN （ ，）（），有，（服从（参考数据：若 16.已知数列 }{ na 的前 n项和为 nS ，满足： 11 a , )(3 1    Nn a SS n n nn ，则该数列的前 2017 项和 2017S ______________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知 ABC 的内角 CBA 、、 所对的边分别为 cba 、、 ， 若  2 cos cos , 3a c B b C AB BC       ． （1）求 ABC 的面积； （2）若 2:3sin:sin CA ，求 AC边上的中线 BD的长． 18．从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布 直方图： （1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学 考试的平均分； （2）若用分层抽样的方法从分数在 30,50 和 130,150 的学生中共抽取6人，该6人中成绩在 130,150 的有几 人？ （3）在（2）抽取的 6人中，随机抽取 3人，计分数在  130,150 内的人数为 ，求期望 E （ ）． 110 1509030 13050 70 分数 频率 组距 0.0025 0.0050 0.0075 0.0125 0.0150 o 19. 已知如图：三棱柱 1 1 1ABC ABC 的各条棱均相等， 1AA ABC平面 ， E为 1AA 的中点. （1）求证：平面 EBC1 ⊥平面 11BBCC ; （2）求二面角 11 ABEC  的余弦值. 20. 椭 圆 )0(12 2 2 2  ba b y a xC： 的 左 右 焦 点 分 别 为 21 FF， ， 点 P 在 椭 圆 C 上 ， 满 足 5 59 5 50 21211  PFPFFFPF ，， . （1）求椭圆C的方程. （2）设O为坐标原点，过椭圆C的左焦点 1F 的动直线 l与椭圆C相交于 NM , 两点,是否存在常数 t， 使得 NFMFtONOM 11  为定值，若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数 bexf ax )( 在 ))0(,0( f 处的切线为 1 xy . （1）若对任意 Rx ，有 kxxf )( 成立，求实数 k的取值范围. （2）证明：对任意 xtxft ln)(],2,(  成立. C A B A1 B1 C1 E 请考生在第 22、23 二道题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清 题号。 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，点M 的坐标为 ) 2 ,3(  ，曲线C的方程为 ) 4 sin(22   ；以极点为坐标原 点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 1 的直线 l经过点M . （1）求直线 l和曲线C的直角坐标方程； （2）若P为曲线C上任意一点，曲线 l和曲线C相交于 BA、 两点，求 PAB 面积的最大值. 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 txxf )( 的单调递增区间为 ),1[  . （3）求不等式 121)(  xxf 的解集M ； （4）设 Mba , ，证明： baab 1 . 参考答案（理科） 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D C D C C A B B A B C 二、填空题： 13、 2 1 14、 21 15、 1587.0 16、 231009  解析： ABfBAf B Bf A Af BAC x xf x xfx x xfxfx x xf 22 22 2 232 cos)(sinsin)(cos sin )(sin cos )(cos ,0sincos ),0()( 0])([0,)(2)(])([12        为钝角，又 为增函数，在 ，时，当、   三、计算题 17、（1）   CbBca coscos2  ,由正弦定理可化为：  2sin sin cos sin cosA C B B C   2sin cos sin cos cos sin sin( ) sinA B C B C B B C A     ………2分  A0 , 0sin  A ,即 2 1cos B ,  B0 , 3  B ,………3分 又 3 BCAB , 得   3cos  Bac  , 3 3 cos  ac ,即 6ac ，………4 分 ABC 的面积 2 33 2 36 2 1 3 sin 2 1sin 2 1  acBacS ，………6分 （2）由 2:3sin:sin CA ,得 2:3: ca ，………7 分 ca 2 3  ，又 6ac ，解得： 2,3  ca ，………9分 又  BCBABD  2 1 ,   2 2 2 2 2 2 24 2 2 3 2 2 3 19BD BA BC BA BC a c AB BC                      , 2 19  BD , 即 AC边上的中线 BD的长为 2 19 .………12 分 18 、（ 1 ） 由 频 率 分 布 直 方 图 ， 得 该 校 高 三 学 生 本 次 数 学 考 试 的 平 均 分 为 0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100 +0.0125×20×120+0.0025×20×140=92．………4 分 （2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为 6 人和 3 人 所以抽取的 6 人中分数在[130，150]的人有 63 2 9   （人）………8 分 （3）由（2）知：抽取的 6 人中分数在[130，150]的人有 2 人，依题意  的所有取值为 0、1、2， 当 =0 时 3 4 3 6 1( 0) 5 CP C     当 =1 时 2 1 4 2 3 6 3( 1) 5 C CP C     当 =2 时 1 2 4 2 3 6 1( 2) 5 C CP C     ∴ 1 3 11 2 1 5 5 5 E       （ ）=0 ………12 分 19、（1）如图 1 连接 CB1交 BC1于点 O，则 O 为 CB1与 BC1的中点， 连接 EC，EB1 依题意有；EB=EC1=EC=EB1 ………2分 ∴EO⊥CB1，EO⊥BC1, ∴EO⊥平面 BCC1B1， 1OE BC E平面 ∴平面 EBC1⊥平面 BCC1B1，………5 分 (2)如图 3 由（1）知 EO⊥CB1，EO⊥BC1，∵三棱柱 1 1 1ABC ABC 的各条棱均相等，∴BC1⊥CB1，即 EO、 BC1 、 CB1 两两互相垂直，∴可建立如图 3 所示的空间直角坐标系，令棱长为 2a ，则 ( 2 ,0,0)C a , (0, 2 ,0)B a ， 1( 2 ,0,0)B a ， (0,0, 3 )E a ，………7分 依题意得向量 ( 2 ,0,0)OC a  为平面C1BE的一个法向量，令平面BEA1的一个法向量为 ( , , )n e f g  ， 则 1 0 0 n BE n BB         , ∴ 2 3 0 2 2 0 a f a g a e a f            ，设 1f  ,则 61, 3 e g   , C A B A1 B1 C1 E 图 1 O ∴ 6(1,1, ) 3 n    ,………10 分 令二面角 C1-BE-A1的平面角为 则 2cos 2 62 3 n OC a n OC a         = 6 4 所以二面角 C1-BE-A1的余弦值为 6 4 ………12 分 20、 （1） 1 2 2 5 2 ,PF PF a   得 5,a  由 2 2 2 1 2 1 2F F PF PF  得 2c  ， 由 c2 2 2a b  得 1,b  所以椭圆方程为 2 2 1; 5 x y  …………………..4 分 （1）当直线 L 的斜率存在时，设点M ,y ,N ,y ,1 1 2 2( ) ( )x x 直线 L 为 ( 2)y k x  把 ( 2)y k x  代入 2 2 1 5 x y  可得  2 2 2 2 2 2 1 2 1 22 2 1+5 20 20 5 0 20 20 5, 1+5 1+5 k x k x k k kx x x x k k          ………………….6 分 由 2 2 ( 2) 1 5 y k x x y       得 014)51( 2 2  y k y k ， 2 1 2 1 22 2 4 , 1+5 1+5 k ky y y y k k     所以OM ON 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 20 5 19 5 1+5 1+5 1+5 k k kx x y y k k k                   1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, 2, 2 4 20 5 20 12 4 1+5 1+5 1+5 1+5 FM F N x y x y x x x x y y k k k k k k k k                          所以     OM ON 22 2 1 1 2 2 2 19 519 5 1+t 1+5 1+5 5 1 t k tk kFM F N t k k k                   ………8分 当 19 5= 5 1 t t   时， t=-11，此时OM ON 1 1+t =6FM F N       即当 t=-11时，可得 NFMFtONOM 11  为定值 6；……………………10 分 C A B A1 B1 C1 E y z x O 图 3 当直线 L 的斜率不存在时，直线 L 为 2x ，则 ) 5 5,2(), 5 5,2(  NM ， 55 19 11 tNFMFtONOM 则 当 t=-11时，可得 NFMFtONOM 11  为定值 6； 由上综合可知，当 t=-11时，可得 NFMFtONOM 11  为定值 6；……………………12 分 21、（1）由 ( ) axf x e  得 (0) 1k f a    ， 由切点（0， (0)f ）在切线 y=x+1 上，得 (0) 1=f ， 所以切点为（0，1），由点（0，1）在 ( ) axf x e b  上， 得 b=0,所以 ( ) xf x e …………………………………2 分 当 0k  时，对于 Rx ， xe kx 显然不恒成立 当 0k  时， xe kx 显然成立…………………………………3 分 当 0k  时，若要 - 0xe kx  恒成立，必有 0)min  kxe x（ 设 ( ) - ,xt x e kx 则 ( ) -xt x e k  易知 ( )t x 在  - , ln k 上单调递减，在 (ln ,+ )k  上单调递增,则 )ln1()( min kkxt  若 - 0xe kx  恒成立，即 0)ln1()( min  kkxt ，得0 k e  综上得0 k e  ………………………………6分 （2）证法 1：由（1）知 xe ex 成立，构造函数 ( ) ln ( 0)h x ex x t x    )2( t 1 1( ) exh x e x x       所以 min 1 1( ) ( ) 1 ln 2 0h x h t t e e        )2( t 有 ln +tex x 成立（当 2,1  t e x 时取等号）。由（1）知 xe ex 成立（当 1x 时取等号）， 所以有 xte x ln 成立，即对任意 xtxft ln)(],2,(  成立……………………12 分 证法 2，因为 2t  ，所以要证 xte x ln ，只须证 xe x ln2  令 1 1( ) ln 2, ( ) ( 0), x x x xeh x e x h x e x x x           令 ( ) 1, ( ) 0,x x xt x xe t x e xe      所以 ( )t x 在（0，+）递增， ( ) (0)=-1t x t 由于 (0)=-1 0, (1)=e-1 0t t  所以存在 0 (0,1),x  有 0 0 0( ) 1=0xt x x e  ，则 0 1 0 x e x  ， 00 ln xx  即 ( ) 0h x  得 0 ; ( ) 0x x h x   得0 0x x  所以 022212ln)()( 0 0 00 0  x x xexhxh x 所以 0ln2  xe x 成立，即 xte x ln 成立 即对任意 xtxft ln)(],2,(  成立…………………………………12 分 22.（1）点 M 的直角坐标为（0，3），所以直线方程为 y=-x+3,……….2 分 由 =2 2 sin( ) 4    得 2=2 sin +2 cos     ， 所以曲线 C 的方程为 2 2 2 2 0,x y x y    即    2 21 1 2x y    …………5分 （2）圆心（1，1）到直线 y=-x+3 的距离d= 1 1 3 2 , 22     所以圆上的点到直线 L 的距离最大值为 3 2 , 2 d R  而弦 2 2 1=2 2 2 6 2 AB R d    所以 PAB 面积的最大值为 1 3 2 3 36 = . 2 2 2   ……………10 分 23．（1）由已知得 1t  ，…………………….1 分 所以 1 1 2 1x x    当 1x   时，  - 1 1 2 1x x     得 1x   当 1 1- 2 x   时，  1 1 2 1x x     得 x  当 1 2 x   时，  1 1 2 1x x     得 1x  综上得  = 1 1M x x x  或 ……………………..5 分 （5）要证 1 ,ab a b   只须证  2 2 22 1 2ab ab a ab b     即证  2 2 2- - +1 0ab a b  因为  2 2 2 2 2 2 2 2- - +1= ( 1) +1 ( 1)( 1)ab a b a b b b a     由于  , 1, 1 ,a b x x x    所以 2 2( 1)( 1)b a   成立 即 1ab a b   成立。……………………..10 分