辽宁省辽阳市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷

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www.ks5u.com 辽阳市2019-2020学年第一学期高一期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 分别解出集合和集合，根据交集定义求得结果.‎ ‎【详解】，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.命题“∀x∈Z，x∈R”的否定是（ ）.‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：∀x∈Z，x∈R的否定是命题：∃x∈Z，x∉R．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．‎ ‎3.若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论．‎ ‎【详解】a＞b，则与的大小关系不确定；由函数y=x5在R上单调递增，∴a5＞b5；‎ c=0时，ac2=bc2；取a=-1，b=-2，|a|＞|b|不成立．因此只有B成立．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4.函数f（x）=的定义域为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【详解】函数f（x）=，满足，解得x≤3且x≠-1；‎ 所以函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，3]．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数解析式求定义域的问题，是基础题．‎ ‎5.已知函数f（x+1）=x2-x+3，则f（x）=（ ）.‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令x+1=t，则x=t-1，然后代入可得f（t）=（t-1）2-（t-1）+3=t2-3t+5，即可求解．‎ ‎【详解】∵f（x+1）=x2-x+3，令x+1=t，则x=t-1，‎ ‎∴f（t）=（t-1）2-（t-1）+3=t2-2t+1-t+1+3=t2-3t+5，‎ 则f（x）=x2-3x+5．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用换元法求解函数解析式，属于基础试题．‎ ‎6.设甲为“”，乙为“”，那么甲是乙的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对命题乙进行化简，然后由命题甲和命题乙的范围大小关系，得到答案.‎ ‎【详解】命题乙：，解得；‎ 命题甲：；‎ 显然命题甲的范围比命题乙的范围要小，‎ 故由命题甲可以推出命题乙，而由命题乙不能推出命题甲，‎ 所以甲是乙的充分非必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式，充分非必要条件，属于简单题.‎ ‎7.函数f（x）=2x2-5x-6有两个零点x1，x2（x1＜x2），则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用函数的零点判断定理，求解f（0），f（1），f（2），f（3），f（4），f（5）的函数值，即可推出结果．‎ ‎【详解】函数f（x）=2x2-5x-6，函数的对称轴为x=，‎ 函数f（x）=2x2-5x-6有两个零点x1，x2，可知x1＜＜x2，‎ ‎∴函数是连续函数，∵f（0）=-6＜0，‎ f（1）=-9＜0，f（2）=-8＜0，f（3）=-3＜0，f（4）=12＞0，f（5）=19＞0，‎ ‎∴f（3）•f（4）＜0，‎ 根据函数的零点的判定定理可得：‎ 函数f（x）=2x2-5x-6的零点x2所在的区间是（ 3，4），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，二次函数的性质的应用，属于基础题．‎ ‎8.函数的部分图象大致为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的定义域，然后判断出函数为奇函数，再用特殊值确定正确选项.‎ ‎【详解】首先函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，图象应该关于原点对称，排除C和D，当时，，故A正确 ‎【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，属于基础题.‎ ‎9.已知集合A={x|-3≤x-1＜1}，B={-3，-2，-1，0，1，2}，若C⊆A∩B，则满足条件的集合C的个数是（ ）.‎ A. 7 B. 8 C. 15 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出C⊆A∩B={-2，-1，0，1}，由此能求出满足条件的集合C的个数．‎ ‎【详解】∵集合A={x|-3≤x-1＜1}={x|-2≤x＜2}，‎ B={-3，-2，-1，0，1，2}，C⊆A∩B={-2，-1，0，1}，‎ ‎∴满足条件的集合C的个数是：24=16．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查满足条件的集合C的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10.已知函数f（x）=是R上的单调函数，则a的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题利用分段函数单调性的性质求解，保证每一段的单调性及端点的大小满足要求．‎ ‎【详解】∵f（x）=是R上的单调函数，又y=-x2-1在（-∞，0）单调递增，‎ ‎∴f（x）在R上单调递增．∴a＞0且-02-1≤-a，∴0＜a≤1．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了数形结合思想，及分段函数单调性的性质．属于基础题．‎ ‎11.设a＞2，b＞0，若a+b=3，则的最小值为（ ）.‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得（a-2）+b=1，进而可得=（）×[（a-2）+b]=2+（+），结合基本不等式的性质分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，若a+b=3，则（a-2）+b=1，‎ 则=（）×[（a-2）+b]=2+（+），‎ 又由a＞2，b＞0，则+≥2×=2，‎ 则=2+（+）≥4，即最小值为4；‎ 当，即时，等号成立。‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对a+b=3的变形，属于基础题．‎ ‎12.已知函数f（x+3）为奇函数，且对任意不相等的实数a，b，都有成立，则不等式f（3x+1）+f（-x+6）＞0的解集为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知f（x）在R上单调递减，再根据f（x+3）是奇函数即可将原不等式化成f（3x+1）＞f（x），从而得出3x+1＜x，解出x的范围即可．‎ ‎【详解】∵对任意不相等的实数a，b，都有成立，‎ ‎∴f（x）在R上单调递减，且f（x+3）为奇函数，‎ ‎∴原不等式可化成f（3x+1）＞f[-（-x+3）+3]，∴f（3x+1）＞f（x），‎ ‎∴3x+1＜x，解得，∴原不等式的解集为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数的定义，减函数的定义，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.设全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3，5}，B={0，2，3，4}，则A∩（∁UB）=______．‎ ‎【答案】{1，5}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集与交集的定义，计算即可．‎ ‎【详解】由题意知∁UB={1，5，6}，所以A∩（∁UB）={1，5}．‎ 故答案为：{1，5}．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．‎ ‎14.已知函数f（x）=ax2-2是定义在[-2a，a+2]上的偶函数，则f（-2）=______．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数定义域的对称性即可得出-2a+a+2=0，从而可求出a=2，进而可求出f（-2）的值．‎ ‎【详解】∵f（x）是定义在[-2a，a+2]上的偶函数，∴-2a+a+2=0，∴a=2，‎ ‎∴f（x）=2x2-2，∴f（-2）=8-2=6．‎ 故答案：6‎ ‎【点睛】本题考查了偶函数定义，偶函数定义域的对称性，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎15.不等式≥0的解集为______．‎ ‎【答案】{x|x＞3或-2≤x≤2}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由≥0可得，结合高次不等式的求解可求得答案。‎ ‎【详解】由≥0可得，‎ 由高次不等式的求解可知，{x|x＞3或-2≤x≤2}‎ 故答案为：{x|x＞3或-2≤x≤2}‎ ‎【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题．‎ ‎16.若函数f（x）=在[1，2]上单调递减，则正数k的取值范围为______．‎ ‎【答案】[1，3）∪（10，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要使f（x）=在[1，2]上单调递减，则需g（x）=kx2-2x-8在[1，2]上单调递增且同号，结合k＞0，转化为关于k的不等式组求解．‎ ‎【详解】要使f（x）=在[1，2]上单调递减，‎ 则需g（x）=kx2-2x-8在[1，2]上单调递增且同号，‎ 由k＞0，得，解得1≤k＜3或k＞10．‎ 综上，正数k的取值范围为[1，3）∪（10，+∞）．‎ 故答案为：[1，3）∪（10，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.已知集合，．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求的取值集合．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解方程求得集合；（1）求得集合后，根据并集定义求得结果；（2）根据交集结果可知，从而可得所有可能的结果；分别在和时，求得的值和集合，验证是否符合题意；当可验证出不符合题意，从而综合可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，‎ ‎（2） ‎ 又 或或 当时，，解得：‎ ‎，满足题意 当时，，解得：‎ ‎，不满足题意 若，则，无解 综上所述： 的取值集合为 ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算、根据交集运算结果求解参数值等问题；关键是能够通过交集运算的结果，得到两集合之间的包含关系.‎ ‎18.已知函数f（x）=mx+，点A（1，5），B（2，4）是f（x）图象上的两点．‎ ‎（1）求m，n的值；‎ ‎（2）用定义法证明：f（x）是[2，+∞）上的增函数．‎ ‎【答案】（1）m=1，n=4 （2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把点A（1，5），B（2，4）代入f（x），解方程可求m，n；‎ ‎（2）由（1）可求f（x），然后可设2≤x1＜x2，作差比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断．‎ ‎【详解】（1）由题意可得，，解方程可得，m=1，n=4，‎ ‎（2）证明：由（1）可得，f（x）=x+，‎ 设2≤x1＜x2，则f（x1）-f（x2）==x1-x2‎ ‎=，‎ ‎∵2≤x1＜x2，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），‎ ‎∴f（x）是[2，+∞）上的增函数．‎ ‎【点睛】本题主要考查了待定系数求解函数解析式及函数单调性的定义在判断函数单调性中的应用，属于基础试题．‎ ‎19.（1）已知a＜b＜c，且a+b+c=0，证明：．‎ ‎（2）用分析法证明：．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出a＜0，且a-c＜b-c＜0，再证明＜，即可得出＜；‎ ‎（2）利用分析法证明命题成立的基本步骤是：要证…，只需证…，即证…，显然成立．‎ ‎【详解】证明：（1）由a＜b＜c，且a+b+c=0，所以a＜0，且a-c＜b-c＜0，‎ 所以（a-c）（b-c）＞0，所以＜，‎ 即＜；所以＞，即＜．‎ ‎（2）要证，‎ 只需证+＜+，‎ 即证a+（a-3）+2＜（a-1）+（a-2）+2；‎ 即证＜，‎ 即证a（a-3）＜（a-1）（a-2）；即证0＜2，显然成立；‎ 所以-＜-．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的证明问题，也考查了综合法与分析法的应用问题，是基础题．‎ ‎20.已知关于x的不等式ax2-（2a+1）x+2＜0，其中a∈R．‎ ‎（1）当a=1时，求原不等式的解集；‎ ‎（2）当a≥0时，求原不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）{x}1＜x＜2} （2）答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）a=1时，原不等式可化为x2-3x+2＜0，解不等式即可求解；‎ ‎（2）a≥0时，对a分类讨论，结合二次不等式的求解即可．‎ ‎【详解】（1）a=1时，原不等式可化为x2-3x+2＜0，解可得， ，‎ ‎（2）a≥0时，‎ ‎①当a=0时，原不等式可得，-x+2＜0，解可得，；‎ ‎②当a＞0，（ax-1）（x-2）＜0，∴（x-）（x-2）＜0，‎ ‎（i）＞2即时，解可得，；‎ ‎（ii））＜2即时，解可得，；‎ ‎（iii）=2即a=时，解可得为 综上所述：‎ 时，解集；时，解集；‎ 时，解集； 时，解集；‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用．‎ ‎21.2019年，随着中国第一款5G手机投入市场，5G技术已经进入高速发展阶段.已知某5G手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机万台，其总成本为，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入万元满足 ‎（1）将利润表示为产量万台的函数；‎ ‎（2）当产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？‎ ‎【答案】(1) (2) 当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得总成本函数，然后用求得利润的函数表达式.‎ ‎（2）用二次函数的最值的求法，一次函数最值的求法，求得当产量为何值时，公司所获利润最大，且求得最大利润.‎ ‎【详解】（1）由题意得.‎ 因为 所以 ‎（2）由（1）可得，当时，.‎ 所以当时，（万元）‎ 当时，，单调递增，‎ 所以（万元）.‎ 综上，当时，（万元）.‎ 所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查二次函数、一次函数最值有关问题的求解，属于基础题.‎ ‎22.已知二次函数f（x）=x2-（2m+1）x+m．‎ ‎（1）若方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，求m的取值范围；‎ ‎（2）若对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（-，0） （2）[-，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）二次函数f（x）=x2-（2m+1）x+m开口向上，方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，找到等价条件，解不等式组即可；‎ ‎（2）把对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，等价转换为对任意的x∈[1，2]，x2-（2m+3）x+m≤0恒成立，得到关于m的不等式组，求解即可求得m的取值范围．‎ ‎【详解】（1）由方程f（x）=0有两个不等的实根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，‎ 则，解得-＜m＜0，‎ ‎∴m的取值范围是（-，0）；‎ ‎（2）对任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，即对任意的x∈[1，2]，x2-（2m+1）x+m≤2x恒成立，‎ ‎∴对任意的x∈[1，2]，x2-（2m+3）x+m≤0恒成立，‎ 则，解得m≥-，‎ ‎∴m的取值范围是[-，+∞）．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次式恒成立的问题，关键是找到等价条件，属于中档题．‎ ‎ ‎