吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试(期中)数学(理)试题

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吉林省吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试(期中)数学(理)试题

‎★ 保 密 吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第一次调研测试 理科数学 本试卷共22小题,共150分,共6页,考试时间120分钟,考试结束后,将答题卡和试题卷一并交回。‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条 形码、姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。‎ ‎2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案 的标号;非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、‎ 笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案 ‎ 无效。‎ ‎4. 作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5. 保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 ‎ 纸刀。‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求。‎ ‎1. 已知集合,,则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2. 下列函数中最小正周期为的函数的个数 ①;②;③‎ A. ‎ 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎3. 下列向量中不是单位向量的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4. 为了得到函数的图象,可将函数的图象 A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 ‎ 12‎ C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎5. 设角的始边为轴非负半轴,则“角的终边在第二、三象限”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6. 等差数列中,,则的值为 A. ‎ B.‎ C.10 D.20‎ ‎7. 已知定义在实数集上的偶函数在区间是单调增函数,若,则实数的取值范围是 A. B. 或 C. D. 或 ‎8. 《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图(如图)是由四个全等的直角三角形和中间一个小 正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为,,且小正方形与大正 方形面积之比为,则的值为 A. B.‎ C. D.‎ ‎9. 已知某函数的图象如图所示,则该函数的解析式可能是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎10. 某兴趣小组对函数的性质进行研究,发现函数是偶函数,在定义域上满足 ‎,且在区间为减函数.则与的关系为 A. B.‎ C. D.‎ ‎11.设为的内心,延长线段交线段于点,若,则 A. B. ‎ 12‎ C. D. ‎ ‎12. 已知函数,对,使得成立,则的取值范围是 A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13. 已知复数,则________.‎ ‎14. 已知函数且,若,则实数的取值范围 是___________.‎ ‎15. 有一个数阵排列如下:‎ ‎ 1 2 4 7 11 16 22……‎ ‎ 3 5 8 12 17 23…………‎ ‎ 6 9 13 18 24………………‎ ‎ 10 14 19 25……………………‎ ‎ 15 20 26…………………………‎ ‎ 21 27………………………………‎ ‎ 28……………………………………‎ ‎ ………………………………………‎ ‎ 则第40行从左至右第6个数字为     .‎ 16. ‎ 如图所示,滨江公园内有一块三角形形状的草坪,经测量 得,在保护草坪的同时,‎ 为了方便游人行走,现打算铺设一条小路(其中点在边 上,点在边上),若恰好将该草坪的面积平分,‎ 则两点间的最小距离为    .‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 数列前项和为且,‎ ‎(I)求的通项公式;‎ ‎(II)求值.‎ 12‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知函数,,‎ ‎(I)求函数的对称中心;‎ ‎(II)若存在,使不等式成立,求实数的取值范围.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 在中,分别是内角的对边,,‎ ‎(I) 求角的大小;‎ ‎(II)若,且的面积等于,求的值.‎ 12‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,‎ ‎(I) 当时,求函数的单调区间与极值;‎ ‎(II)是否存在正实数,使得函数在区间上为减函数?若存在,请求的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知数列的首项,且满足,‎ ‎(I)设,证明是等差数列;‎ ‎(II)求数列的前项和.‎ 12‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设函数,‎ ‎(I)当时,求函数在点处的切线;‎ ‎(II)若,都有,求正实数的取值范围;‎ ‎(III)当时,曲线上的点处的切线与相切,求满足条件的的个数.‎ 命题、校对:高三数学核心组 吉林市普通中学2020—2021学年度高中毕业班第一次调研测试 12‎ 理科数学参考答案 一、 选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C B C A A A A B B B D 二、 填空题 ‎13. 14. 15. 1030 16. ‎ 三、解答题 ‎17【解析】‎ ‎(1)由得.................................................1分 两式相减得即..................................2分 ‎,所以..........................................3分 当时为等比数列,且.............................4分 所以的通项公式为...................................5分 (2) 由(1)知 设,则.............................7分 所以是首项为,公比的等比数列.......................................8分 所以...........................10分 ‎18【解析】‎ ‎(1)由题得,‎ ‎ ‎ 12‎ ‎ ……………………………………………………4分 ‎ 令 ,得 ‎ 所以,函数的对称中心为 …………………………………6分 (2) 因为存在,使不等式成立,所以大于的最小值………8分 由,得,‎ 当,即时,取最小值,‎ 所以,则的取值范围为.……………………………………12分 ‎19【解析】‎ ‎(1)由正弦定理得 ‎ 因为,所以 即……………………………2分 化简,得………………………………………………………………………4分 因为,所以……………………………………………………………………6分 ‎(2)由(1)知,因为,所以由余弦定理,得 ‎,即 化简,得①……………………………………………………………………8分 因为该三角形面积为 所以,即②…………………………………………………………10分 联立①②,解得………………………………………………………………………12分 ‎20【解析】‎ ‎(1)当时, ......................1分 ‎ 令,解得, .................................2分 ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 12‎ ‎...................3分 所以,的增区间为,, .................................4分 的减区间为 ........................................5分 的极大值为, ...........................................6分 的极小值为 ............................................7分 ‎(2)依题意: ........................9分 ‎ 又因为,所以, ,.........................................10分 ‎【说明】(1)此处只使用判别式小于等于0 加上a>0的不给分;‎ ‎ (2)若使用变量分离的,需要分类讨论,可以酌情给分;‎ 即 即无解。 所以,不存在满足条件的正实数......................12分 ‎【说明】(1)此处若结算结果都正确,只结论错误,只扣1分;‎ ‎ (2)此处若计算结果不正切,不给分;‎ ‎21.【解析】‎ ‎(1)解法一:将等式两边都减去得.........2分 再除以得,即..................................4分 即.且.................................................5分 ‎ 所以是首项为,公差为的等差数列.........................................6分 ‎ 解法二:由得..........................................1分 ‎ 将 代入上式得.....3分 ‎ 因此.且..............................................5分 ‎ 所以是首项为,公差为的等差数列........................................6分 (2) 由(1)知,所以..........................8分 ‎ 则.......................................9分 12‎ 令...........................①‎ ‎.........................②‎ ‎①-②得:...................................10分 即.......................................................11分 所以.................................................12分 ‎【说明】在求时,也可以用,采用累加法求和.其中.‎ ‎22【解析】‎ ‎22. (I)当时,, ..........................................1分 ‎ 即切线方程为 ..........................2分 ‎(II)<方法一>‎ 由,‎ ‎ ..............................................3分 ‎,,即在上单调递增;‎ ‎,,即在上单调递减;‎ 则,..........................................5分 依题意:,所以, .........................6分 ‎<方法二>依题意:,....................................................3分 则,................................................5分 依题意:,所以, .....................................6分 12‎ ‎(III)当时,‎ 则曲线上的点处的切线方程为 ‎ ..................7分 ‎ 设直线与相切于点,即切线方程为...............8分 ‎<方法一>即 ‎,‎ ‎ ......................................9分 ‎,‎ ‎,‎ 所以,,,‎ ‎,‎ ‎ ..............................................10分 ‎ ............................11分 ‎ ‎ 即有两个实根,即满足条件的有两个 .............12分 ‎<方法二>即 ‎,..................................9分 12‎ ‎ ............................................................................10分 ‎...................................................11分 ‎ ................................12分 12‎
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