【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第九章　第5讲　第1课时　椭圆及其性质作业

【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第九章　第5讲　第1课时　椭圆及其性质作业

第5讲　第1课时　椭圆及其性质 ‎[基础题组练]‎ ‎1．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为(　　)‎ A．(±，0) B．(0，±)‎ C．(±，0)或(±，0) D．(0，±)或(±，0)‎ 解析：选B.因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1的焦点坐标为(0，±)，故选B.‎ ‎2．(2019·高考北京卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则(　　)‎ A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 ‎ C．a＝2b D．3a＝4b 解析：选B.由题意得，＝，所以＝，又a2＝b2＋c2，所以＝，＝，所以4b2＝3a2.故选B.‎ ‎3．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<144)的(　　)‎ A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 解析：选D.曲线＋＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以两曲线的焦距相等．‎ ‎4．(2020·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D．＋＝1‎ 解析：选D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.‎ ‎5．(2020·昆明市诊断测试)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C 的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D．3‎ 解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故选A.‎ ‎6．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 ．‎ 解析：由题意可得b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，a＝c，‎ 故椭圆的离心率e＝＝.‎ 答案： ‎7．(2020·江西南昌模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 ．‎ 解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，‎ 所以解得 所以椭圆的标准方程为＋＝1.‎ 答案：＋＝1‎ ‎8．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ．‎ 解析：通解：由椭圆C：＋＝1，得c＝＝4，不妨设F1，F2分别为左、右焦点，‎ 则由题意知|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，于是由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝12，所以|MF2|＝12－|MF1|＝4，易知△MF1F2的底边MF2上的高h＝＝＝2，所以|MF2|·h＝|F1F2|·yM，即×4×2＝×8×yM，解得yM＝，代入椭圆方程得xM＝－3(舍去)或xM＝3，故点M的坐标为(3，)．‎ 优解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|＝|F1F2|＝8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|＝exM＋6＝xM＋6＝8，解得xM＝3，代入椭圆方程得yM＝，故点M的坐标为(3，)．‎ 答案：(3，)‎ ‎9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．‎ 解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 依题意得因此a＝5，b＝4，‎ 所以椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)易知|yP|＝4，又c＝3，‎ 所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12.‎ ‎10．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．‎ ‎(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；‎ ‎(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．‎ 解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.‎ 故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，‎ 由已知条件得 解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.‎ 故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·合肥市第二次质量检测)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. ‎ C. D． 解析：选D.如图，由题意知，P为以F1A为直径的圆上一点，所以F1P⊥AP，结合F2B∥AP知F1P⊥F2B.又|F1B|＝|F2B|，所以△BF1F2为等腰直角三角形，所以|OB|＝|OF2|，即b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝，故选D.‎ ‎2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D．＋＝1‎ 解析：选B.由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－2()2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B.‎ ‎3．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．‎ 解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.‎ 因此a＝2，c＝.‎ 故椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，‎ 即tx0＋2y0＝0，‎ 解得t＝－.又x＋2y＝4，‎ 所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2‎ ‎＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0

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