【数学】2018届一轮复习人教A版数学归纳法教案

【数学】2018届一轮复习人教A版数学归纳法教案

高三 一轮复习 6.7 数学归纳法 ‎ ‎【教学目标】‎ ‎1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.‎ ‎【重点难点】‎ ‎ 1.教学重点了解数学归纳法的原理并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；‎ ‎2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；‎ ‎【教学策略与方法】‎ 自主学习、小组讨论法、师生互动法 ‎【教学过程】‎ 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 　了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.‎ 真题再现;‎ ‎1．(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式 三角形数　N(n，3)＝n2＋n，‎ 正方形数　N(n，4)＝n2，‎ 五边形数　N(n，5)＝n2－n，‎ 六边形数　N(n，6)＝2n2－n，‎ ‎……　　　　……‎ 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.‎ 解析　由题中数据可猜想含n2项的系数为首项是，公差是的等差数列，含n项的系数为首项是，公差是－的等差数列，因此N(n，k)＝n2＋n＝n2＋n.故N(10，24)＝11n2－10‎ ‎。‎ 学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢 n＝11×102－10×10＝1 000.‎ 答案　1 000‎ ‎2.(2015·江苏，23)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．‎ ‎(1)写出f(6)的值；‎ ‎(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．‎ 解　(1)f(6)＝13.(2)当n≥6时，f(n)＝‎ (t∈N*)．‎ 下面用数学归纳法证明 ‎①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立；‎ ‎②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论 ‎1)若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；‎ ‎2)若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有 f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；‎ 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。‎ ‎3)若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；‎ ‎4)若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；5)若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(x)＋2＝k＋2＋＋＋2‎ ‎＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；‎ ‎6)若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．‎ 知识梳理 知识点　数学归纳法的定义及框图表示 ‎1．数学归纳法的定义 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行 ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个可取值n0(n0∈N*)时命题成立；‎ ‎(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．‎ ‎2．数学归纳法的框图表示 环节二 ‎1．必知关系；数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可．‎ ‎2．必清误区；运用数学归纳法应注意以下两点 ‎(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．‎ ‎(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．‎ 考点分项突破 考点一用数学归纳法证明等式 ‎1.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．‎ 求证f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．‎ ‎【解】　①当n＝2时，左边＝f(1)＝1，‎ 右边＝2＝1，左边＝右边，等式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，‎ 那么，当n＝k＋1时，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)‎ ‎＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)－k＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时结论成立．‎ 由①②可知f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．‎ 归纳数学归纳法证明等式的思路和注意点 ‎1．思路用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．‎ ‎2．注意点第二步关键是“一凑假设，二凑结论”．由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．‎ ‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构 考点二 用数学归纳法证明不等式 ‎1.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．‎ ‎(1)求r的值；‎ ‎(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．‎ ‎【解】　(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn＋1＝bn＋1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b>0且b≠1，‎ 所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．‎ 又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，所以＝b，即＝b，解得r＝－1.‎ ‎(2)由(1)及b＝2知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，‎ 所证不等式为··…·>.‎ ‎①当n＝1时，左式＝，右式＝，左式>右式，所以结论成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即··…·>，则当n＝k＋1时，‎ ··…··>·＝，要证当n＝k＋1时结论成立，‎ 只需证≥，即证≥，‎ 由基本不等式得＝≥成立，故≥成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式··……·>成立．‎ 跟踪训练 1.已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1‎ 引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.‎ 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。‎ ‎＝a.‎ 求证当n∈N*时，an0，得ak＋1xn，也就是证明xn<.下面用数学归纳法证明当0＜c≤时，xn<对任意n≥1，n∈N*都成立．‎ ‎(ⅰ)当n＝1时，x1＝0<≤，结论成立．‎ ‎(ⅱ)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即xk<.‎ 因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)xn，即{xn}是递增数列．‎ ‎●命题角度2　与不等式有关的问题 ‎2．由下列不等式1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．‎ ‎【解】　一般结论1＋＋＋…＋>(n∈N*)，证明如下①当n＝1时，由题设条件知命题成立．‎ ‎②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想正确，‎ 即1＋＋＋…＋>.当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋…＋>＋＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋＝，‎ ‎　2k项∴当n＝k＋1时，不等式成立．‎ 根据①②可知，对n∈N*，有1＋＋＋…＋>.‎ 归纳1．证明与数列有关的问题应注意两点 ‎(1)准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak＋1时，ak＋1的求解过程与a2，a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般性的辨证关系．‎ ‎2．正确理解“归纳—猜想—证明”模式 ‎“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性．‎ 环节三 课堂小结 ‎1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.‎ 学生回顾，总结.‎ 引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。‎ 环节四 课后作业学生版练与测 学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。‎ ‎ ‎