四川省成都市第七中学2020届高三零诊模拟数学（理）试题

四川省成都市第七中学2020届高三零诊模拟数学（理）试题

成都七中高2020届零诊热身试卷数学（理工类）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由得：，，‎ 则，故选B.‎ ‎2.若，则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：由题意可知： ，‎ 则 .‎ 本题选择D选项.‎ ‎3.设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据的周期为2，则，再根据奇函数求解.‎ ‎【详解】因为的周期为2，‎ 所以；‎ 又是奇函数，‎ 所以 所以 故选B ‎【点睛】本题考查根据函数奇偶性、周期性求值.方法：根据奇偶性、周期性把自变量化到有解析式的区间.‎ ‎4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入（万元） ‎ ‎8.2 ‎ ‎8.6 ‎ ‎10.0 ‎ ‎11.3 ‎ ‎11.9 ‎ 支出（万元） ‎ ‎6.2 ‎ ‎7.5 ‎ ‎8.0 ‎ ‎8.5 ‎ ‎9.8 ‎ ‎ ‎ 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ）‎ A. 11.4万元 B. 11.8万元 C. 12.0万元 D. 12.2万元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题，，所以．‎ 试题解析：由已知，‎ 又因为，‎ 所以，即该家庭支出为万元．‎ 考点：线性回归与变量间的关系．‎ ‎5.设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由平面向量基本定理可得：，故选A.‎ ‎6.执行如图的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易知当时，循环结束；再寻找的规律求解.‎ ‎【详解】计算过程如下：‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎－1‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎…‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎…‎ ‎1024‎ ‎ ‎ 是 是 是 是 是 是 否 当时，循环结束，所以输出.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时，要注意寻找规律.‎ ‎7.等差数列中的、是函数的两个极值点，则（ ）‎ A. B. 5 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由，得，由，且是的极值点，得，，∴，则，故选C.‎ ‎8.以下三个命题正确的个数有（ ）个.①若，则或；②定义域为的函数，函数为奇函数是的充分不必要条件；③若，且，则的最小值为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据原命题与逆否命题真假关系；②根据奇函数的定义与性质判断；③根据基本不等式判断.‎ ‎【详解】当且时，成立，‎ 根据原命题与逆否命题真假一致，故①正确；‎ 定义域为的奇函数必有，‎ 定义域为函数且满足不一定是奇函数，如，故②正确；‎ 若，且，‎ 则 当且仅当即时等号成立，故③正确；‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查命题，充分必要条件，及基本不等式.原命题的真假比较难判断时，可借助逆否命题来判断；基本不等式注意成立的条件“一正二定三相等” .‎ ‎9.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）‎ A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.‎ ‎【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，‎ 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，‎ 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，‎ 又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.‎ 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.‎ ‎10.在正方体中，点为线段的中点，设点在直线上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据图像找到直线与平面的夹角范围，再计算对应正弦值得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：直线OP于平面所成的角 的取值范围：‎ ‎ ‎ 不妨取 .‎ 在中， .‎ ‎ ‎ 的取值范围是 .‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了线面夹角的正弦值，通过图形找到对应的角度是解题的关键.‎ ‎11.函数的最小正周期是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式和辅助角公式将化简为的形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案.‎ ‎【详解】解： ‎ ‎，可得其最小正周期为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换:二倍角公式和辅助角公式等，及三角函数的周期性的，属于中档题型 ‎12.如图，已知，其内部有一点满足，命题最大值有可能超过36度；命题若三边长对应分别为，则；则正确的选项为（ ）‎ A. 真假 B. 假假 C. 真真 D. 假真 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理计算三边关系得到，得到命题q为真命题，根据角度关系得到内角和超过，故命题P为假命题，得到答案.‎ ‎【详解】方法1：‎ 在中，根据正弦定理得，即 ①‎ 在中，根据正弦定理得，即 ②‎ 由①②得，即. ‎ 又，‎ 在中，根据正弦定理得，即得，‎ ‎∴. ∴为真. ‎ ‎∵，∴不是最长边，∴至少有一个超过，∴内角和超过，所以错误. ‎ 方法2：如图 延长交的外接圆于点，则，‎ ‎∴，∴. ‎ 又∵，∴. ‎ ‎∴，即，即.‎ ‎【点睛】本题考查了命题的判断，计算量较大，意在考查学生的计算能力.‎ 第Ⅱ卷 二、 填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分 ‎13.命题：，，写出命题的否定：_______________‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 特称命题改为全称命题，把“”改为“”，“存在”改为“所有”，再否定结论.‎ ‎【详解】命题是特称命题，它的否定是全称命题，‎ 所以命题的否定为：‎ ‎，‎ ‎【点睛】本题考查含有量词的命题的否定.方法：先改量词，再否定结论.‎ ‎14.曲线与直线，所围成封闭图形的面积为，实数满足，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过定积分计算面积得到，再通过线性规划得到答案.‎ ‎【详解】曲线与直线，所围成封闭图形的面积为 ‎ ‎ 根据图像知：‎ 当时：为最小值 当时：为最大值 的取值范围是：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了定积分的计算和线性规划，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎15.已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的公共点，若，则此椭圆的离心率为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过抛物线和椭圆性质得到P点坐标，将P点坐标代入椭圆得到答案.‎ ‎【详解】设椭圆的左焦点为，由题意抛物线的准线方程为 ‎ ，‎ 由抛物线的定义知点P到准线的距离为 ，可得点P的横坐标为 ，‎ 纵坐标为 ‎ 则有 ，所以 ，‎ 则 ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了抛物线性质，椭圆的离心率，计算出P点坐标是解题的关键.‎ ‎16.定义在区间上的函数恰有2个不同零点，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先的到 这个零点，再利用参数分离的方法计算另外一个零点得到答案.‎ ‎【详解】定义在区间上的函数恰有2个不同零点 易知：是一个零点.‎ 时：‎ 或 且 或 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离法解决问题，意在考查学生的计算能力.‎ 三、解答题（共70分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上 ‎17.在中，角，，所对应的边长分别为，，，已知，‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，求 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）化简条件得：，即可得角；‎ ‎（2）由余弦定理可得，再结合条件可得，进而得，再由正弦定理求得，进而可求面积.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以，‎ 解得：，舍去，所以，又，所以 ‎（2）在中，因，由余弦定理得：‎ 又，所以，所以，‎ 又因为，由正弦定理 得：，所以.‎ ‎18.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：‎ ‎（1）估计该校男生的人数；并求出值 ‎（2）估计该校学生身高在之间的概率；‎ ‎（3）从样本中身高在之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在之间的概率。‎ ‎【答案】（1）男生人数为400；（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）用样本身高在之间的频数除以样本总数来估计；（3）列举所有情况，根据古典概型的概率公式求解.‎ ‎【详解】解（1）样本中男生人数为40，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。‎ 由于以10%的比例抽取，所以样本中女生应该是30人，所以 ‎（2）由统计图知，样本中身高在之间的学生有人，样本容量为70，‎ 所以样本中学生身高在之间的频率，所以由估计该校学身高在之间的概率 ‎（3）样本中女生身高在之间的人数为4，身高在之间的人数为1。‎ 设表示事件“从样本中身高在之间的女生中任选2人，至少有1人身高在之间”，通过列举可得或者正面列举也是.‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样、样本估计总体及古典概型，属于综合题.分层抽样的要点是总体及各层的抽样比例相同；古典概型列举所有基本事件时要有逻辑顺序，不要遗漏.‎ ‎19.如图，三棱柱中，侧面为菱形，. ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，，，求二面角的余弦值的绝对值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，交于点，连接，证明且平分得到答案.‎ ‎（2）为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标，计算相应点坐标，计算法向量，利用二面角公式计算得到答案.‎ 详解】证明：（1）连接，交于点，连接，‎ 因为侧面为菱形，‎ 所以，且为与的中点，又，所以平面.‎ 由于平面，故. ‎ 又，故. ‎ ‎（2）因为，且为的中点，所以. ‎ 又因为，所以，故，从而两两相互垂直，为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标 因为，所以为等边三角形，又，则 设是平面的法向量，则 ‎，即 所以. ‎ 设是平面的法向量，则，同理可取,‎ ‎，所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线段相等的证明，建立空间直角坐标系解决二面角问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎20.已知椭圆，与轴负半轴交于，离心率 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点，连接，并延长交直线于，两点，若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标。‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆与轴交于可得得值，结合与即可求解；（2）由，和两点斜率公式即可分别用表示，表示，再联立直线与椭圆方程，用韦达定理与直线方程代入化简即可求解.‎ ‎【详解】（1）由题有，. ∴，∴.‎ ‎∴椭圆方程为.‎ ‎（2）法1：‎ ‎，.‎ 又∴，同理 又 ‎∴‎ ‎∴，此时满足 ‎∴‎ ‎∴直线恒过定点 法2：设直线的方程为：‎ 则 ‎∴或 ‎∴，同理，‎ 当时，由有. ∴，同理 又 ‎∴，‎ 当时，‎ ‎∴直线的方程为 ‎∴直线恒过定点，当时，此时也过定点 综上直线恒过定点 ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的应用.直线恒过定点问题要结合已知条件求出直线的点斜式方程，联立直线方程与椭圆方程消元，再利用韦达定理代入是常用方法.‎ ‎21.设函数，其中.‎ ‎（1）当时，的零点个数；‎ ‎（2）若的整数解有且唯一，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）只有一个零点（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，根据导数求函数的单调性，结合极值即可判断；（2）易发现，再分和根据导数与函数单调性的关系讨论题设成立时的取值范围，求交集即可.‎ ‎【详解】解：（1），当时，，函数单增，‎ 且时函数值都已经大于0了；当时，，函数单减，‎ 且，所以只有一个零点 ‎（2）观察发现，下证除整数0外再无其他整数 ，‎ ‎①当时，，根据同向不等式乘法得到，因为，‎ 所以，所以函数单增，且趋于时函数值显然很大很大；‎ 但要保证只有唯一整数0，需要，却发现恒成立，‎ ‎②当时，要保证只有唯一整数0，首先需要，得到 当时，，根据同向不等式得到，又因，‎ 所以，所以函数在单减，且 综上所述：的整数解有且唯一时，‎ ‎【点睛】本题考查函数零点与导数的应用. 函数零点个数问题常用方法：1、直接求出函数零点；2、根据函数单调性与极值判断；3、转化为两个函数的交点.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在极坐标系下，已知圆和直线 ‎（1）求圆和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）当时，求圆和直线的公共点的极坐标.‎ ‎【答案】（1） 圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,直线l的直角坐标方程为x-y+1=0‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据 将圆O和直线l极坐标方程化为直角坐标方程（2）先联立方程组解出直线l与圆O的公共点的直角坐标，再根据化为极坐标 试题解析：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，‎ 即ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，‎ 故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，‎ ‎，解得 ‎ 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0，1)，‎ 将(0，1)转化为极坐标为，即为所求．‎ ‎ ‎