贵州省遵义市南白中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题

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贵州省遵义市南白中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题

遵义市南白中学2019——2020学年度第一学期高二年级 数学试题(文科)‎ 一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合,再由并集的定义写出即可。‎ ‎【详解】由,‎ 则.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的并集,正确求解一元二次不等式,是首要条件。属于基础题 ‎2.已知为等差数列的前项和,,,则( )‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,求出,结合,得出公差,即可求出.‎ ‎【详解】设的公差为,,所以,‎ ‎,得,所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式和前和公式的简单运用,着重考查计算能力,属于基础题.‎ ‎3.若向量满足,且,则向量的夹角为( )‎ A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,平方求出,代入向量夹角公式,求出的夹角余弦值,即可得结果.‎ ‎【详解】设的夹角为 故选:B ‎【点睛】本题考查向量的模长和向量的夹角计算,着重考查计算能力,属于基础题.‎ ‎4.设,,,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过对数的运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数的单调性可得 ,通过指数函数的性质可得 .‎ ‎【详解】,,,∴,,故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题.‎ ‎5.已知圆柱的轴截面为正方形,且圆柱的体积为,则该圆柱的侧面积为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆柱的轴截面为正方形可知,底面圆直径与圆柱的高相等,根据圆柱的体积公式,可求得底面圆的半径,再由圆柱的侧面积公式即可求解.‎ ‎【详解】设圆柱的底面半径为.因为圆柱的轴截面为正方形,所以该圆柱的高为.因为该圆柱的体积为,,解得,所以该圆柱的侧面积为.‎ ‎【点睛】设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积,体积.‎ ‎6.函数的图象是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义的域,然后判断函数的奇偶性,最后判断当时,函数值的正负性,通过排除法,选出正确答案.‎ ‎【详解】函数的定义域为:,‎ 是奇函数,图象关系原点对称,故可排除B;‎ ‎,显然当时,,因此可排除AD,故本题选C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图象识别,运用函数的定义域、奇偶性、单调性、周期性等性质是常见的解题的方法,排除法是经常用的解决方法.‎ ‎7.已知两直线、和平面,若,,则直线、的关系一定成立的是( )‎ A. 与是异面直线 B. C. 与 是相交直线D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当一条直线垂直于一个平面,则此直线垂直于这个平面内的所有直线。‎ 故答案选 ‎8.如果直线与直线互相平行,那么值等于( )‎ A. -2 B. C. - D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据它们的斜率相等,可得1,解方程求a的值.‎ ‎【详解】∵直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相平行,‎ ‎∴它们的斜率相等,‎ ‎∴1‎ ‎∴a=2‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查两直线平行的性质,熟知两直线平行则斜率相等是解题的关键,属于基础题.‎ ‎9.(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:设圆锥底面半径为r,则,所以,所以米堆的体积为=,故堆放的米约为÷1.62≈22,故选B.‎ 考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式 ‎10.已知圆与圆外切,则( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为两圆相外切,故圆心距为半径之和,故可得的关系.‎ ‎【详解】因为两圆相外切,故圆心距为半径之和,‎ 故即,故选A.‎ ‎【点睛】本题考查两圆的位置关系,注意利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系来判断不同的位置关系,此类问题属于基础题.‎ ‎11.已知三棱锥中,,则该三棱锥的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出图形,结合长度关系证明△为直角三角形,确定球心,求出半径得到体积.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∵,∴△为直角三角形;‎ 取中点,如图,则, ‎ ‎∴为三棱锥外接球的球心,且半径;‎ ‎∴外接球的体积为,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的体积,此类问题的一般求解思路是:根据条件确定球心位置,然后求出半径,代入公式可得体积;或者构造模型借助模型求解.‎ ‎12.已知,若存在三个不同实数使得,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数的图象,令,设,由对数的运算性质得出,并求出的取值范围,从而得出的取值范围。‎ ‎【详解】令,则、、可视为直线与曲线的三个交点的横坐标,如下图所示:‎ 当时,;当时,由.‎ 由可得,得,‎ 即,所以,.‎ 结合图象可知,,,因此,的取值范围是,‎ 故选:C。‎ ‎【点睛】本题考查函数零点的取值范围,考查对数的运算性质,解本题的关键就是计算时去绝对值,并充分利用了对数的运算性质,其次再解这类问题时,可充分利用参数来表示零点,并构造新函数来求解。‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.已知,则____________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎,得出方程,即可求出.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】考查同角间的三角函数关系,化弦为切,重点考查计算能力,属于基础题.‎ ‎14.函数的最小值为____________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由基本不等式得,求出函数的最小值.‎ ‎【详解】,,当且仅当,等号成立,.‎ 故答案为: 8‎ 点睛】利用基本不等式求最值,要注意条件,一“正”,二“定”,三“等”,缺一不可.‎ ‎15.已知实数满足,则的最大值为_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件,画出可行域,目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率,从而找到最大值时的最优解,得到最大值.‎ ‎【详解】根据约束条件可以画出可行域,‎ 如下图阴影部分所示,‎ 目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率,‎ 因此可得,当在点时,斜率最大 联立,得 即 所以此时斜率为 ,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划问题,求目标函数为分式的形式,关键是要对分式形式的转化,属于中档题.‎ ‎16.已知矩形的长,宽,将其沿对角线折起,得到四面体,如图所示:‎ 则四面体体积的最大值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三棱锥等体积法,转化为求四面体最大值,底面面积为定值,当平面平面时,到底面距离最大值,此时四面体体积的最大值.‎ ‎【详解】设到底面距离为 ‎,当平面平面时,最大,‎ 此时就是直角三角形斜边上的高,为 所以体积的最大值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了平面与立体几何的关系,平面图形的折叠问题,考查了等体积法和椎体的体积公式,属于中档题.‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知函数的最小正周期为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,面积,求.‎ ‎【答案】(1)1;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据辅助角公式化简,由周期求出;‎ ‎(2)由,求出角,代入面积公式,即可求出 ‎【详解】(1) ‎ 故函数的最小正周期 ‎(2)由(1)知,.由,得().所以().又,所以.‎ 的面积,解得.‎ ‎【点睛】本题考查两角和正弦公式,三角函数性质及三角形面积公式,着重考查计算能力,属于基础题.‎ ‎18.某校举行汉字听写比赛,为了了解本次比赛成绩情况,从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若从成绩较好的第3、4、5组中按分层抽样的方法抽取6人参加市汉字听写比赛,并从中选出2人做种子选手,求2人中至少有1人是第4组的概率.‎ ‎【答案】(1);(2);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由频数和为100,求出;再由频率和为1,求出;‎ ‎(2)根据分层抽样按比例分配,求出第3,4,5组分别抽取的学生人数,并把6人编号,列出所有基本事件,查出2人至少1人来自第4组的事件个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解.‎ ‎【详解】(1)=100-5-30-20-10=35·‎ ‎=1-0.05-0.35-0.20-0.10=0.30·‎ ‎(2 )因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,‎ 每组分别为,第3组:×30=3人,第4组:×20=2人,第5组:×10=1人,‎ 所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人·‎ 设第3组的3位同学为A1、A2、A3,第4组的2位同学为B1、B2,第5组的1位同学为C1,则从6位同学中抽2位同学有15种可能,如下:‎ ‎(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1).其中第4组被入选的有9种,‎ 所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为=‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布表,考查了古典概型及其概率计算公式,‎ 解答的关键是正确求出事件总数和基本事件个数,属于基础题.‎ ‎19.已知等差数列满足,前7项和为 ‎(Ⅰ)求的通项公式 ‎(Ⅱ)设数列满足,求的前项和.‎ ‎【答案】(1) ‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据等差数列的求和公式可得,得,然后由已知可得公差,进而求出通项;(2)先明确=,为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.‎ 解析:‎ ‎(Ⅰ)由,得 因为所以 ‎(Ⅱ)‎ ‎20.如图,是平行四边形,平面,,,,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求四面体的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由已知条件推导出平面平面,由此能证明平面;‎ ‎(2)利用等体积法,根据椎体体积公式算出的体积.‎ ‎【详解】(1)证明:,平面,平面 平面.同理可证平面. ‎ ‎,平面平面.‎ 平面,平面·‎ ‎(2)平面,,‎ 即,·‎ 在中,,,‎ ‎·‎ 故四面体的体积为 ‎【点睛】本题求证线面平行并求三棱锥的体积,着重考查了空间直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定与性质和椎体的体积公式等知识,属于中档题.‎ ‎21.如图,在中,点在边上,,,.‎ ‎(1)求; ‎ ‎(2)若面积是,求.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由余弦定理求出,故是等边三角形,求出;‎ ‎(2)由(1)得出,再由面积公式求出,利用余弦定理即可求出.‎ ‎【详解】(1)在中,因为,,‎ 由余弦定理得,‎ 整理得· ‎ 解得.所以,,所以,是等边三角形 所以, ‎ ‎(2)因为,所以.‎ 因为的面积是,所以,,‎ 所以,. ‎ 在中,‎ ‎=‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理和面积公式,着重考查计算能力,属于基础题.‎ ‎22.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.‎ ‎(1)求圆C的方程;‎ ‎(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)存在,且.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)设出圆心坐标,根据直线与圆相切,得到圆心到直线的距离,确定出圆心坐标,即可得出圆方程;(2)当直线轴,则轴平分,当直线斜率存在时,设直线方程为,联立圆与直线方程,消去得到关于的一元二次方程,利用韦达定理表示出两根之和与两根之积,由若轴平分,则,求出的值,确定出此时坐标即可.‎ 试题解析:(1)设圆心C(a,0),则或a=-5(舍),所以圆C:x2+y2=4.‎ ‎(2)当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,所以,,若x轴平分∠ANB,则⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0⇒,所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.‎ ‎ ‎
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