江苏省镇江市江都中学扬中市高级中学2019-2020学年高二上学期第三次联合测试数学

江苏省镇江市江都中学扬中市高级中学2019-2020学年高二上学期第三次联合测试数学

江都中学、扬中市高级中学2019-2020第一学期 高二数学第三次联合测试 一、选择题．（本大题共10小题，每小题5分，共计50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．‎ ‎1.在数列中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系，依次求得的值.‎ ‎【详解】依题意，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系求某一项，属于基础题.‎ ‎2.命题“”的否定可以写成（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确答案.‎ ‎【详解】原命题是特称命题，故其否定是全称命题，注意到要否定结论，故D选项正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定，属于基础题.‎ ‎3.抛物线的准线方程是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由抛物线方程可知，，焦点在轴正半轴，所以其准线方程为。故C正确。‎ 考点：抛物线准线方程。‎ ‎4.已知，若∥，则与的值分别为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个向量平行，首先求得，然后求得的值.‎ ‎【详解】由于，所以，且.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据空间向量平行求参数，属于基础题.‎ ‎5.不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式不等式的解法，求得不等式的解集.‎ ‎【详解】由得，解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，属于基础题.要注意分式的分母不为零.‎ ‎6.圆锥曲线的离心率，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据离心率判断曲线为双曲线，根据双曲线的离心率列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于曲线的离心率为，所以曲线为双曲线.故，方程化为，所以，解得. ‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据圆锥曲线的离心率求参数，考查椭圆、双曲线离心率的特征，属于基础题.‎ ‎7.当时，函数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化简后利用基本不等式求得函数的最小值.‎ ‎【详解】依题意，由于，所以，当且仅当时，等号成立.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.‎ ‎8.已知双曲线上的点到点的距离是，则点到点的距离（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义列方程，解方程求得到点的距离.‎ ‎【详解】双曲线的焦点坐标为，依题意，根据双曲线的定义，即，解得或.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，属于基础题.要注意双曲线的定义中，，左边含有绝对值.‎ ‎9.我国古代数典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚二十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第几天相逢（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据等比数列前项和公式列方程，解方程求得两鼠在第几天相逢.‎ ‎【详解】依题意，大鼠每天，小鼠每天，所以两鼠前天共穿墙，即，经验证可知当时，上式成立，故两鼠在第天相逢.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式，考查中国古代数学文化，属于基础题.‎ ‎10.已知椭圆的左右顶点为，点是椭圆上异于的任意一点，直线分别交直线于两点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线的方程，求得直线的方程，进而求得两点的纵坐标，求得的表达式，利用基本不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】依题意可知，直线的斜率存在且不为零.根据椭圆的几何性质可知.设直线的方程为，令，得.由化简得，解得，故.所以.故直线的方程为，令，得.所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的交点坐标的求法，考查最小值的求解方法，属于中档题.‎ 二、多选题：（本大题共2小题，每小题5分，共计10分，每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）‎ ‎11.当时，方程表示的轨迹可以是（ ）‎ A. 两条直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将分为三种情况进行分类讨论，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】当时，.方程可化为，表示焦点在轴上椭圆.‎ 当时，，方程化为，表示两条直线.‎ 当时，，.方程可化为，表示焦点在轴上的双曲线.‎ 所以曲线不可能表示圆.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线、圆、椭圆和双曲线轨迹方程的特征，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎12.已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简不等式，由此判断出，，进而判断出正确选项.‎ ‎【详解】由于等比数列的各项均为正数，公比为，且，所以，由题意得，所以.因为，所以，，.‎ 故选：ABC.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查分析问题与解决问题的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎13.双曲线的渐近线方程是_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线.‎ ‎【详解】双曲线的渐近线为，所以双曲线的渐近线方程是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.‎ ‎14.设分别是平面的法向量，若，则实数的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由于，所以，所以，解得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎15.若正数满足，，则的最大值为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用|“1”的代换的方法，结合基本不等式，求得的最大值.‎ ‎【详解】由得，所以，当且仅当，即时，取得最大值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查“1”代换的方法，属于基础题.‎ ‎16.已知数列的前项和为，且，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用立方差公式化简已知条件，利用累加法求得的通项公式，进而求得的通项公式.‎ ‎【详解】由，化简得，即.当时，.‎ 所以，即.又满足，故所以.所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查累计法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ 四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知恒成立，即实数的取值范围为集合 ‎（1）求集合；‎ ‎（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据一元二次不等式恒成立条件列不等式，解不等式求得集合.‎ ‎（2）解一元二次不等式求得集合，根据“”是“”的充分不必要条件，得到是的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）恒成立，‎ ‎（2），‎ 因为“”是“”的充分不必要条件 所以是的真子集 为所求的取值范围.‎ ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，考查充分、必要条件的理解，属于基础题.‎ ‎18.在平面直角坐标系中，已知是抛物线上一点.‎ ‎（1）若到抛物线焦点的距离为，求点的坐标；‎ ‎（2）若，过的直线交抛物线与另一点，当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出点坐标，根据抛物线的定义，求得的横坐标，进而求得纵坐标，由此求得的坐标.‎ ‎（2）设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，消去，写出韦达定理，根据，列方程，解方程求得的值，进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】（1）设，‎ 所以点的坐标为；‎ ‎（2）设,与联立并消得：‎ 或.当时，由于直线过原点和点，不符合题意，故舍去. 当，直线的方程为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线交点，两直线垂直时斜率的关系，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎19.已知等差数列的前项和为，且，数列满足：，且 ‎（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的 前项和 ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将转化为的形式列方程组，解方程组求得的值，进而求得数列的通项公式，由此化简，判断出数列是等比数列，进而求得数列的通项公式.‎ ‎（2）利用裂项求和法求得数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，‎ 所以；‎ 由，‎ ‎，所以数列是以为公比，首项的等比数列，‎ ‎（2）因为 ‎【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式，考查等比数列的通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20.如图，∥且∥且∥,且,平面 ‎（1）求二面角的余弦值；‎ ‎（2）若点在线段上,且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件得出两两垂直，由此建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.‎ ‎（2）设，利用法向量，结合直线与平面所成角的正弦值列方程，解方程求得的值，由此求得线段的值.‎ ‎【详解】（1）平面 所以分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 设平面的法向量为 由，‎ 由，取，‎ ‎，设平面的法向量为 由，‎ 由，取 ‎；‎ ‎（2）设，‎ ‎，‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查根据线面角的正弦值求边长，考查空间想象能力，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺上花岗岩地坪，造价为元/；再在四个空角（图中四个三角形，如）上铺草坪，造价为元/‎ ‎（1）设总造价为（单位：元），长为（单位：），试求出关于的函数关系式，并求出定义域；‎ ‎（2）当长取何值时，总造价最小，并求出这个最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，并用表示.将花坛、地坪、草坪的造价相加，求得总造价，并求得的取值范围.‎ ‎（2）利用基本不等式求得的最小值，并求得此时对应的的值.‎ ‎【详解】（1）设，则，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 当且仅当，即时，（元）‎ 答：当，即时，总造价最小.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数在实际生活中的应用，考查利用基本不等式求最值，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎22.如图，为椭圆上的一个动点，弦分别过椭圆的左焦点和右焦点，当垂直于轴时，恰好有 ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）是，计算见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的定义，结合勾股定理列方程，化简求得椭圆离心率.‎ ‎（2）根据（1）的结论化简椭圆方程为.分成直线的斜率不存在和存在两种情况进行分类讨论，利用都求得，由此证得为定值.‎ ‎【详解】（1）当垂直于轴时，‎ ‎，由，‎ 得在中，‎ ‎，解得；‎ ‎（2）由，则 焦点坐标为,则椭圆方程为，‎ 化简有 设，①若直线轴，；‎ ‎②若直线的斜率存在，则直线方程为代入椭圆方程有 ‎，由韦达定理得：‎ 所以，同理可得，故，‎ 综上所述：为定值.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查向量共线的概念和运用，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎ ‎