江苏省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟数学试题

江苏省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟数学试题

江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟试题 第I卷（必做题）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎4．测试范围：高中全部内容。‎ 一、填空题 ‎1．已知集合，集合，若，则实数_______‎ ‎2．已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值是________.‎ ‎3．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是______.‎ ‎4．函数的定义域是____________‎ ‎5．在某次数学测验中，位学生的成绩如下：、、、、，他们的平均成绩为，则他们成绩的方差等于________.‎ ‎6．某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2‎ 门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______.‎ ‎7．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线与双曲线的一个交点.若抛物线的焦点为，且，则双曲线的渐近线方程为______‎ ‎8．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，则S5=____________.‎ ‎9．已知,,,是球的球面上的四点，，，两两垂直，,且三棱锥的体积为，则球的表面积为______．‎ ‎10．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为____________‎ ‎11．已知且满足1，则的最小值为_____.‎ ‎12．已知C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，若AB=5，PQ=1，与的夹角为，则________.‎ ‎13．已知是第二象限角，且，则的值为______．‎ ‎14．已知函数，若函数恰好有2个不同的零点，则实数m的取值范围是______.‎ 二、解答题 ‎15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.‎ ‎（1）若面积为，求ab的值；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎16．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，E为侧棱PD的中点，O为AC与BD的交点．‎ ‎（1）求证：平面PBC；‎ ‎（2）若平面平面ABCD，，，，求证：．‎ ‎17．已知椭圆过点，且离心率．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围．‎ ‎18．两城市和相距，现计划在两城市外以为直径的半圆上选择一点建造垃圾处理场，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为城和城的影响度之和，记点到城的距离为，建在处的垃圾处理场对城和城的总影响度为，统计调查表明：垃圾处理场对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为4，对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比，比例系数为，当垃圾处理场建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065；‎ ‎（1）将表示成的函数；‎ ‎（2）判断上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小?若存在，求出该点到城的距离；若不存在，说明理由；‎ ‎19．设函数（其中为实数）.‎ ‎（1）若，求零点的个数；‎ ‎（2）求证：若不是的极值点，则无极值点.‎ ‎20．给定数列，记该数列前项中的最大项为，该数列后项，， …..，中的最小项为，.‎ ‎（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的，，；‎ ‎（2）是数列的前项和，若对任意，有，其中且，‎ ‎①设，判断数列是否为等比数列；‎ ‎②若数列对应的满足：对任意的正整数恒成立，求的取值范围.‎ 第II卷（附加题）‎ ‎21．已知矩阵，，列向量.‎ ‎（1）求矩阵；‎ ‎（2）若，求，的值.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上的动点，求点到曲线的最小距离.‎ ‎23．已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．‎ ‎24．设.已知 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎25．口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：．‎ 江苏省2020年普通高等学校招生全国统一考试冲刺模拟试题解析 ‎1．‎ ‎【解析】由，，∴．解得， 验证可得符合集合元素的互异性，故答案为：．‎ ‎2．2‎ ‎【解析】由题,因为是纯虚数,‎ 所以,则,故答案为：2‎ ‎3．‎ ‎【解析】执行程序框图，有 ‎，；‎ 不满足条件，，；‎ 不满足条件，，；‎ 不满足条件，，；‎ ‎…‎ 不满足条件，，；‎ 不满足条件，，；‎ 满足条件，退出循环，输出.‎ ‎4．‎ ‎【解析】， 解得且 即函数的定义域为， 故答案为：‎ ‎5．38‎ ‎【解析】位学生的成绩如下：78、85、、82、69，他们的平均成绩为80，‎ ‎，解得：，‎ ‎，‎ 则他们成绩的方差等于38.故答案为：38．‎ ‎6．‎ ‎【解析】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，基本事件总数为，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为.∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是.故答案为：.‎ ‎7．‎ ‎【解析】设点A(x,y),因为x-(-1)=5,所以x=4.所以点A(4,±4)，‎ 由题得 所以双曲线的渐近线方程为.故答案为 ‎8．‎ ‎【解析】∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4=1，‎ ‎∴设{an}的公比为q，则q>0，且，即a3=1.‎ ‎∵S3=7，∴a1＋a2＋a3=＋＋1=7，即6q2－q－1=0.‎ 故q=或q=－(舍去)，∴a1==4.∴S5==8(1－)=.‎ ‎9．‎ ‎【解析】三棱锥的体积为，故，‎ 因为，，两两垂直，，故可把三棱锥补成正方体，‎ 该正方体的体对角线为三棱锥外接球的直径，‎ 又体对角线的长度为，故球的表面积为.‎ ‎10．‎ ‎【解析】因为点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则，即点（1，1）那么可知两平行线间的距离即点（1，1）到直线的距离为 ‎11．ln2‎ ‎【解析】因为，所以可将，分别看成函数与上任意一点，问题转化为曲线上的动点与直线上的动点之间的最小值的平方问题，‎ 设是曲线的切点，因为，‎ 故点M处的切斜的斜率，由题意可得，解得，‎ 也即当切线与已知直线平行时，此时切点到已知直线的距离最近，‎ 最近距离，也即.‎ ‎12．；‎ ‎【解析】由C是以AB为直径的半圆上一点，且C是线段PQ的中点，‎ 且与的夹角为，可得，且 则 ‎.‎ ‎13．‎ ‎【解析】 是第二象限角，且，‎ ‎，，，‎ ‎，又，‎ ‎，解得，．‎ ‎14．‎ ‎【解析】令函数，得，‎ 结合函数的图象知当时，‎ 函数的图象与直线恰好有2个不同的交点，所以.‎ ‎15．【解析】（1）因为，‎ 在中，由正弦定理，得，‎ 化简得，‎ 在中，由余弦定理得，，因为，所以，‎ 又面积为，可得，所以ab=4.‎ ‎（2）因为，在中，由正弦定理，‎ 所以，因为，所以 由（1）得，所以，‎ 化简得，所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎16．【解析】（1）因为四边形为平行四边形,为与的交点,‎ 所以为的中点.又因为为侧棱的中点,所以.‎ 又因为平面,平面,所以平面.‎ ‎（2）在中,因为,,,‎ 由正弦定理,可得,‎ 所以,即.‎ 又因为四边形为平行四边形,所以,所以.‎ 又因为平面平面,‎ 平面平面,平面,所以平面.‎ 又因为平面,所以.‎ ‎17．【解析】（1）椭圆的离心率，，即；①‎ 又椭圆过点，∴，②‎ 由①②得，，∴椭圆的方程为．‎ ‎（2）由消去整理得，‎ 直线与椭圆交于不同的两点，，‎ 整理得……（1），设，弦MN的中点A，‎ 则，∴‎ ‎∴，‎ ‎∴点A的坐标为，‎ ‎∴直线AG的斜率为，‎ 又直线AG和直线MN垂直，∴，∴，‎ 将上式代入（1）式，可得，整理得，‎ 解得．∴实数的取值范围为．‎ ‎18．【解析】（1）由题意得，‎ 又当时，，‎ ‎，.‎ ‎（2）， ‎ 令，则，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 弧上存在一点，使建在此处的垃圾处理场对城和城的总影响度最小.‎ ‎19．【解析】（1）由题意得，所以，‎ 又，且，所以恒成立，从而函数在上单调递增，‎ 所以当时，；当时，.‎ 则函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 因为，，函数在上单调递减且图象连续不断，‎ 所以函数在上恰有个零点， ‎ 因为，，函数在上单调递增且图象连续不断，‎ 所以函数在上恰有个零点，‎ 综上所述，当时，函数有个零点；‎ ‎（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，‎ 又，当时，；当时，.‎ 所以，是函数的极小值点.‎ 同理当时，也是函数的极小值点.‎ 当时，由得，且在上单调递增.‎ 所以当时，；当时，，‎ 从而函数在上单调递减；在上单调递增.‎ 若，即，则当时，，当时，，则是函数的极值点； ‎ 同理若，即，则也是函数的极值点；‎ 若，即，，则函数在上单调递增，此时不是函数的极值点.‎ 综上可知，若不是函数的极值点，则，函数在上单调递增，从而函数无极值点.‎ ‎20．【解析】（1），，；，，；，，.‎ ‎（2）①当时，，所以；‎ 当时，由，则，‎ 两式相减得，即，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以当时，，故，‎ 所以数列满足，‎ 即数列是以为首项，为公比的等比数列；‎ 当时，，故，数列不是等比数列.‎ ‎②由①知，当时，；‎ 当时，.‎ 又，‎ ‎，‎ 由于，‎ 所以由，可得，.‎ 所以对任意的正整数恒成立，‎ 即数列的前项单调递增是题设成立的必要条件，易知.‎ 因为，，‎ 所以.‎ 当时，由，得，解得，‎ 此时，不符合，舍去；‎ 当，由，得，解得，‎ 此时，符合.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎21．【解析】（1）；‎ ‎（2）由，解得 ，‎ 又因为，所以，.‎ ‎22．【解析】（1）消去参数得到，故曲线的普通方程为 ‎，由，得到，‎ 即，故曲线的普通方程为 ‎（2）设点的坐标为，‎ 点到曲线的距离 所以，当时，的值最小，所以点到曲线的最小距离为.‎ ‎23．【解析】（1）当时，不等式等价于.①‎ 当时，①式化为，无解；‎ 当时，①式化为，从而；‎ 当时，①式化为，从而.‎ 所以的解集为.‎ ‎（2）当时，.‎ 所以的解集包含，等价于当时.‎ 又在的最小值必为与之一，所以且，得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎24．【解析】（1）令得，；令得，‎ 所以，则.‎ ‎（2）对两边求导得 令，得 ‎25．【解析】（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为，取出的球是黑球的概率为，‎ 所以；‎ ‎（2）证明：累计取出白球次数是的情况有：‎ 前n次取出n次白球，第n +1次取出的是白球，概率为 前n+1次取出n次白球，第n +2次取出的是白球，概率为 前2n﹣1次取出n次白球，第2n次取出的是白球，概率为 前2n次取出n次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为 则 因此 则 因为，‎ 所以，因此．‎ ‎ ‎