2020届二轮复习第10讲　直线与圆课件（34张）（江苏专用）

2020届二轮复习第10讲　直线与圆课件（34张）（江苏专用）

专题四 解析几何 第 10 讲　直线与圆 第10讲　直线与圆 1.已知直线 l 1 :3 x - y +1=0,直线 l 2 过点(1,0),且 l 2 的倾斜角是 l 1 的倾斜角的2倍,则直 线 l 2 的方程为 　　　　　　　     . 答案 　3 x +4 y -3=0 解析 　设直线 l 1 的倾斜角是 α ,则tan α =3,易知直线 l 2 的倾斜角是2 α ,则斜率 k = tan 2 α =   =-   .所以直线 l 2 的方程为 y =-   ( x -1),即3 x +4 y -3=0. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心分别为 A (14,92), B (17,76), C (19,84)的三 个圆的半径相同,直线 l 过点 B ,且位于 l 同侧的三个圆各部分的面积之和等于 另一侧三个圆各部分的面积之和,则直线 l 的斜率的取值集合为 　　　     . 答案 　{-24} 解析 　由题意可得直线经过 AC 的中点时满足条件,而 AC 的中点坐标是   ,又直线 l 经过点 B (17,76),则直线 l 的斜率 k =   =-24,故直线 l 的斜率的 取值集合是{-24}. 3.(2019如皋检测,11)如图,已知△ ABC 为等腰直角三角形,其中∠ BAC =90 ° ,且 AB =2,光线从 AB 边上的中点 P 出发,经 BC , CA 反射后又回到点 P (反射点分别为 Q , R ),则光线经过的路径总长 PQ + QR + RP = 　　　     . 答案        解析 　建立如图所示的直角坐标系,则 P (1,0).设点 P 关于直线 BC 的对称点为 P ',点 P 关于直线 AC 的对称点为 P ″. 易知直线 BC 的方程为 y =- x +2,设点 P '( a , b ), 则   ⇒ P '(2,1),易知 P ″(-1,0), ∴ PQ + QR + RP = P ' Q + QR + RP ″= P ' P ″=   =   . 4.由直线 y = x -3上的点向圆( x +2) 2 +( y -3) 2 =1引切线,则切线长的最小值为 　　       . 答案        解析 　设圆( x +2) 2 +( y -3) 2 =1的圆心为 C ,半径为 r .由直线 y = x -3上的点 P 向圆( x + 2) 2 +( y -3) 2 =1引切线,则切线长为   =   ,当 CP 与直线 y = x -3垂直时, CP 取得最小值,即| CP | min =   =4   ,故切线长的最小值为   =   . 5.(2019南通期末三县联考,12)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A (0, a ), B (3, a +4), 若圆 x 2 + y 2 =9上有且仅有四个不同的点 C ,使得△ ABC 的面积为5,则实数 a 的取 值范围是 　　　     . 答案        解析 　直线 AB 的斜率 k =   =   , | AB |=   =   =5, 设△ ABC 的边 AB 上的高为 h , ∵△ ABC 的面积为5, ∴ S =   | AB | h =   × 5 h =5,即 h =2, 直线 AB 的方程为 y - a =   x , 即4 x -3 y +3 a =0. 圆心 O 到直线4 x -3 y +3 a =0的距离 d =   =   , 由题意得   <1,即|3 a |<5,得-   < a <   . 题型一　直线与圆的方程 例1 　(1)(2019苏州期末,10)在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A (1,3), B (4,6),且圆 心在直线 x -2 y -1=0上的圆的标准方程为 　　　　　　　　　　　　     . (2)(2019如皋检测,13)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O : x 2 + y 2 =4,过点 P (1,1) 的直线 l 交圆 O 于 A , B 两点,且 AP =2 PB ,则满足上述条件的所有直线的斜率之和 为 　　　     . 答案 　(1)( x -5) 2 +( y -2) 2 =17　(2)-   解析 　(1)设所求圆的圆心为( a , b ),半径为 R ,则   即   解得   R 2 =17, 所以,圆的标准方程为( x -5) 2 +( y -2) 2 =17. 一题多解     设所求的圆的标准方程为( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ,由于圆经过 A , B 两点,所 以圆心在 AB 的中垂线 y =- x +7上,又圆心在直线 x -2 y -1=0上,所以有   解得   圆心为(5,2),半径为   ,则圆的方程为( x -5) 2 +( y -2) 2 =17. (2) 如图,取 AB 的中点 C ,设 CP = x , x >0, ∵ AP =2 BP , ∴ AC + CP =2( CB - CP ), ∴3 CP = AC = BC , ∴ BC = AC =3 x , BP =2 x . 由勾股定理得   ⇒   ⇒ x 2 =   , ∵ x >0,∴ x =   . ∴ AB =3, OC 2 =   . 设 l AB : y = k ( x -1)+1,即 kx - y +1- k =0. ∴   =   , 整理得3 k 2 +8 k +3=0, Δ =64-4 × 3 × 3>0, k 1 + k 2 =-   ,所以所有直线的斜率之和为-   . 一题多解     设点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),因为过点 P (1,1)的直线 l 交圆 O 于 A , B 两点,且 AP =2 PB ,所以   =2   ,即   得 x 2 =   , y 2 =   ,又   +   =4,且   +   =4, 故 A   或 A   ,又因为 P (1,1),所以直线斜率为-   或-   ,斜率之和为-   . 【方法归纳】　(1)求直线方程主要有以下两种方法:①直接法:根据已知条 件,选择适当的直线方程形式,直接求出直线方程;②待定系数法:先设出直线 方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入,求出直线方程. (2)求圆的方程一般有以下两种方法:①几何法:通过研究圆的性质、直线与 圆的位置关系、圆与圆的位置关系,从而求得圆的基本量和方程;②代数法: 先设出圆的方程,再由已知条件求出待定系数,从而求得圆的方程.另外,圆心 到切线的距离等于半径,该结论在解题过程中会经常用到,需牢记. (3)边长为 a 的正三角形的内切圆的圆心与外接圆的圆心重合,都是正三角形 的中心,内切圆的半径 r =   a ,外接圆的半径 R =   a . 1-1     (2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆 的方程为 　　　　　　　     . 答案      x 2 + y 2 -2 x =0 解析 　本题主要考查圆的方程. 解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆 的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为( x -1) 2 + y 2 =1,即 x 2 + y 2 -2 x =0. 解法二:设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0, 由已知条件可得   解得   所以所求圆的方程为 x 2 + y 2 -2 x =0. 1-2     (2018徐州铜山中学高三期中)已知 P 是圆 O : x 2 + y 2 =4上的动点, A (4,0),若 直线 y = kx +1上总存在点 Q ,使点 Q 恰是线段 AP 的中点,则实数 k 的取值范围是      　　     . 答案        解析 　设 P (2cos θ ,2sin θ ), 则 AP 的中点坐标为 Q (cos θ +2,sin θ ). ∴sin θ = k (cos θ +2)+1,即 k =   . ∴ k 表示单位圆上的点(cos θ ,sin θ )与点 M (-2,1)连线的斜率,如图,   设过点 M 的直线 l : y -1= k ( x +2)与圆 x 2 + y 2 =1相切, 则   =1,解得 k =0或 k =-   .∴-   ≤   ≤ 0. 故实数 k 的取值范围为   . 题型二　直线与圆的位置关系及其应用 例2     (2019苏锡常镇四市教学情况调查二,11)过直线 l : y = x -2上任意一点 P 作 圆 C : x 2 + y 2 =1的两条切线,切点分别为 A , B ,当切线长最小时,△ PAB 的面积为      　　     . 答案        解析 　设 P ( t , t -2),则切点弦 AB 的方程为 tx +( t -2) y =1, 即( x + y ) t -2 y -1=0,则 AB 过定点 M   , 当 OM ⊥ AB 时, AB 最短, P 在直线 OM : y =- x 上, 故 P (1,-1), 此时 P 到直线 AB 的距离为 PM , PM =   =   , 又 OM =   , AB =2   =   , 则 S △ PAB =   ×   ×   =   . 【方法归纳】    直线与圆的位置关系是通过圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系来判定的,直线与圆的相交弦问题,一般利用半径长,弦心距与相 交弦长的一半构成的直角三角形来处理. 2-1     (2019南京、盐城期末,10)设 N ={( x , y )|3 x +4 y ≥ 7},点 P ∈ N ,过点 P 引圆( x + 1) 2 + y 2 = r 2 ( r >0)的两条切线 PA , PB ,若∠ APB 的最大值为   ,则 r 的值为 　　　     . 答案 　1 解析 　设圆( x +1) 2 + y 2 = r 2 的圆心为 M . 根据题意得 N ={( x , y )|3 x +4 y ≥ 7}表示直线3 x +4 y =7及其上方的部分. 若∠ APB 最大,必有 MP 的长度最小,即为点 M 到直线3 x +4 y =7的距离. | MP | min =   =2,∠ APM =   ×   =   ,则 r =1. 题型三　圆与圆的位置关系及其应用 例3 　(1)(2018盐城中学高三阶段性检测)已知圆 O : x 2 + y 2 =5, A , B 为圆 O 上的两 个动点,且 AB =2, M 为弦| AB |的中点, C (2   , a ), D (2   , a +2).当 A , B 在圆 O 上运动 时,始终有∠ CMD 为锐角,则实数 a 的取值范围为 　　　　　　　     . (2)(2019江都中学、华罗庚中学等13校联考,11)已知圆 M :( x -1) 2 +( y -4) 2 =4,若过 x 轴上的一点 P ( a ,0)可以作一条直线与圆 M 相交于 A , B 两点,且满足 PA = BA ,则 a 的取值范围为 　　　　　　     . 答案 　(1)(- ∞ ,-2) ∪ (0,+ ∞ )　(2)[1-2   ,1+2   ] 解析 　(1)由圆 O 的方程及| AB |=2,得| OM |=2,即点 M 的轨迹方程是 x 2 + y 2 =4,当∠ CMD 为锐角时,点 M 在以 CD 为直径的圆外,以 CD 为直径的圆的标准方程是( x - 2   ) 2 +( y - a -1) 2 =1,所以圆 x 2 + y 2 =4上的点都在圆( x -2   ) 2 +( y - a -1) 2 =1外,即两圆外 离,所以圆心距   >2+1=3,解得 a <-2或 a >0. (2)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), ∵ PA = BA ,∴ A 为 PB 的中点, ∴   ∴   由点 B 在圆 M 上得 (2 x 1 - a -1) 2 +(2 y 1 -4) 2 =4, ∴   +( y 1 -2) 2 =1, ∵ A 点也在圆 M 上, ∴圆 M 与圆   +( y -2) 2 =1有公共点, ∴1 ≤   ≤ 3, 则-3 ≤   ≤ 5,∴1-2   ≤ a ≤ 1+2   . 【方法归纳】　(1)圆上的点除直径两端点外,与直径两端点的连线成直角, 圆内的点与直径两端点的连线成钝角,圆外的点与直径两端点的连线成锐角. (2)求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件不同,常采用以下方法:①直接法: 直接根据题目提供的条件列出方程;②定义法:根据圆、直线等定义列方程; ③几何法:利用圆的几何性质列方程;④代入法:找到要求的点与已知点的关 系,代入已知点满足的关系式等. 3-1     (2019苏锡常镇四市教学情况调查一,12)若直线 l : ax + y -4 a =0上存在相距 为2的两个动点 A , B ,圆 O : x 2 + y 2 =1上存在点 C ,使得△ ABC 为等腰直角三角形( C 为直角顶点),则实数 a 的范围为 　　　     . 答案        解析 　∵△ ABC 是以 C 为直角的等腰直角三角形, ∴ C 在以 AB 为直径的圆上, 记圆心为 M ,半径为1,则 CM ⊥直线 l , 又∵点 C 也在圆 O 上,∴ C 是两圆的交点,即 OM ≤ 2有解. ∴ OM =   ≤ 2,解得-   ≤ a ≤   .