浙江省慈溪市三山高级中学等六校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题

浙江省慈溪市三山高级中学等六校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题

‎2019学年第一学期高一高二期中六校联考 高二数学学科试卷 命题学校：象山县第三中学 ‎ 一、 选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是满足题意的。）‎ ‎1.空间中一点到平面的距离为（ ）‎ A．2 B．‎3 C．1 D.‎ 内，则点P的横坐标是( )‎ A． B． C． D. ‎ ‎3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 ‎4.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则的最小值为(　　)‎ A. 2 B. ‎1 C. D. ‎ ‎5.直线和直线平行，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．长方体中，,为中点，则异面直线与所成角为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知点在圆外, 则直线与圆的位置关系是（ ）‎ A．相交 B.相切 C.相离 D.不确定 ‎8.已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B. C． D. ‎ ‎9.如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,其中，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面，‎ 其中恒成立的为（ ）‎ A．①③ B．③④ C．①④ D．②③‎ ‎10.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分.）‎ ‎11.直线的斜率为　　　　；倾斜角的大小是　　　　． ‎ ‎12.已知方程表示圆，则圆心坐标为　　　；实数的取值范围 是　　　　． ‎ 13. ‎《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪。在四棱锥 中，底面 为邪田，两畔的长分别为1,3，正广长为 ， 平面，则邪田的邪长为　　　　；邪所在直线与平面 所成角的大小为　　　　．引切线，切线长的最小值为　　　　.‎ ‎15.已知，满足约束条件若的最小值为-1，则= . ‎ ‎16.如图所示，有一条长度为1的线段，其端点，在边长为4的正方形的四边上滑动，当点绕着正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹长度为______.‎ ‎17.在中，已知，，，‎ 三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎18.(本题14分）已知平面内两点．‎ ‎（1）求过点且与直线平行的直线的方程；‎ ‎（2）一束光线从点射向（1）中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．‎ ‎19．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为线段的中点.‎ ‎（1）证明：面 ‎（2）求与平面所成的角的正弦值;‎ ‎20.(本题15分）已知圆，直线过定点.‎ ‎（1）若与圆C相切，求的方程；‎ ‎（2）若与圆C相交于P，Q两点，求三角形面积的最大值，并求此时的直线方程.‎ ‎21．（本题15分）如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎22、若圆经过坐标原点和点，且与直线相切, 从圆外一点向该圆引切线,为切点，‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，且， 求点的轨迹方程，并判断点是否总在某一定直线上，若是，求出的方程；若不是，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线与轴的交点为,点是直线上两动点，且以为直径的圆 过点，圆是否过定点？证明你的结论. ‎ ‎2019学年第一学期高一高二期中六校联考 高二数学学科参考答案 一、 选择题 ‎ CBDCD CABAB 二、填空题 ‎11、 12、 13、‎ ‎14、 15、 16、 17、 ‎ 三．解答题 ‎18.解：（1） 由题得 ……………… 2分 由点斜式 ………………4分 ‎∴直线的方程 ……………… 5分 ‎（2）设关于直线的对称点 ‎ ‎∴ ……8分 解得 ……… 10分 ‎∴， ……… 12分 由点斜式可得，整理得 ‎∴反射光线所在的直线方程为 …14分 ‎19.解：（1）取中点,因为，，‎ 所以 ……3分 因为平面,平面所以， ……5分 因为平面,平面,,‎ 所以面 ……7分 ‎ ‎ ……10分 ‎ ……11分 因为,，所以,‎ 因为，所以, ……12分 ‎ ……14分 因此与平面所成的角的正弦值为. ……15分 法二：以为坐标原点，,平行于的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则因为,，所以,因为，所以,‎ 因此 ……10分 从而为平面一个法向量，……12分 因此与平面所成的角的正弦值为. ……15分 ‎20.解：（1）将圆的一般方程化为标准方程，得 ‎∴圆心，半径. …………………… 2分 ‎①若直线的斜率不存在，则直线，符合题意． ……………… 4分 ‎ ‎②若直线斜率存在，设直线，即.‎ ‎∵与圆相切.∴圆心到已知直线的距离等于半径2，‎ 即 …………………5分 解得 . ……6分 ‎∴综上，所求直线方程为或． …………7分 ‎（2）直线与圆相交，斜率必定存在，设直线方程为.‎ 则圆心到直线l的距离 ……………… 8分 又∵面积 ……10分 ‎∴当时，. …………12分 由，解得 …………14分 ‎∴直线方程为或. ……………… 15分 ‎21.解：（1）因为四边形为矩形，所以为的中点.连接，‎ 在中，分别为的中点，所以，……2分 因为平面，平面，‎ 所以平面. ……4分 ‎（2）易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. ……‎ ‎5分 ‎ 则，所以. ‎ 设平面的法向量为，‎ 则即解得 令，得 所以平面的一个法向量为. ……7分 设平面的法向量为，‎ ‎ ，据此可得 ，‎ 则平面的一个法向量为， ……8分 ‎， ……10分 故二面角的正弦值为. ……11分 ‎（3）设存在点满足条件.由，‎ 设，整理得，‎ 则. ……12分 因为直线与平面所成角的大小为，‎ 所以 解得， ……14分 ‎ 由知，即点与重合.‎ 故在线段上存在一点，且. 15分 ‎22.解：（Ⅰ）设圆心由题易得 ………… 1分 ‎ 半径， 　　　……………… 2分 得， 　　　　　………… 3分 ‎ ‎ 所以圆的方程为 　　　…………4分 ‎（Ⅱ）由题可得 　　 ………………5分 ‎ ‎ 所以 　　　…………７分 ‎ 　　……………… ８分 所以 整理得 所以点总在直线上 　　　　　　　　　　………… ９分 ‎（Ⅲ） 　　　　………… １０分 ‎ ‎ 由题可设点，,‎ 则圆心，半径 　　　　　　　………… 1１分 从而圆的方程为 　　　　　………… 1２分 整理得 ‎ ‎ 又点在圆上，故　　　得　　………… 1３分 ‎ ‎ 所以 令得， 　　　　　………… 1４分 ‎ 所以或 所以圆过定点和 　　　　　　　…………１５分