【数学】2018届一轮复习北师大版 离散型随机变量的分布列、均值与方差学案
第 6 讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差
[学生用书 P203])
1．离散型随机变量的分布列
(1)定义：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个
值 xi(i＝1，2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，有时为了表达简单，也用
等式 P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n 表示 X 的分布列．
(2)性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；
② ∑
n
i＝1pi＝1．
2．离散型随机变量 X 的均值与方差
均值(数学期望) 方差
计算公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋
xnpn
D(X)＝ ∑
n
i＝1_(xi－E(X))2pi
作用
反映了离散型随机变量取值的平均
水平
刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的
平均偏离程度
标准差 方差的算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差
3.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b 为常数)．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b 为常数)．
1．辨明三个易误点
(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
(2)对于分布列易忽视其性质 p1＋p2＋…＋pn＝1 及 pi≥0(i＝1，2，…，n)，其作用可用
于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
(3)均值 E(X)是一个实数，由 X 的分布列唯一确定，即 X 作为随机变量是可变的，而 E(X)
是不变的，它描述 X 值的取值平均状态．
2．求离散型随机变量均值、方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
(2)已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 Y＝aX＋b 的均值、方差和标准差，
可直接用 X 的均值、方差的性质求解；
(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们
的均值、方差公式求解．
1．袋中装有 10 个红球、5 个黑球．每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个红
球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为 X，则表示“放回 5 个红球”事件的是( )
A．X＝4 B．X＝5
C．X＝6 D．X≤5
C [解析] 事件“放回 5 个红球”表示前 5 次摸到黑球，且第 6 次摸到红球，故 X＝
6.
2.教材习题改编 设随机变量 X 的分布列如下表所示，则 p4 的值是( )
X 1 2 3 4
P
1
2
1
4
1
8 p4
A.1 B．
1
2
C.
1
4 D．
1
8
D [解析] 由分布列的性质，得
1
2＋
1
4＋
1
8＋p4＝1，所以 p4＝
1
8.
3．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝
1
5(k＝2，4，6，8，10)，则 D(X)等于( )
A．5 B．8
C．10 D．16
B [解析] 因为 E(X)＝
1
5(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
所以 D(X)＝
1
5[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.
4．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝ k
15，k＝1，2，3，4，5，则 P (1
2 < X <
5
2)＝
________．
[解析] P(1
2 < X <
5
2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝
1
15＋
2
15＝
1
5.
[答案]
1
5
5．一个人将编号为 1，2，3，4 的四个小球随机放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子，
每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对
个数记为 ξ，则 ξ 的期望的值为________．
[解析] 将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有 A44种不同放法，
放对的个数 ξ 可取的值有 0，1，2，4，其中 P(ξ＝0)＝
9
A＝
3
8，
P(ξ＝1)＝
C × 2
A ＝
1
3，P(ξ＝2)＝
C
A＝
1
4，P(ξ＝4)＝
1
A＝
1
24，E(ξ)＝0×
3
8＋1×
1
3＋2×
1
4＋4×
1
24＝1.
[答案] 1
离散型随机变量的分布列的性质[学生用书 P204]
[典例引领]
设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求 2X＋1 的分布列．
【解】 由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
解得 m＝0.3.
首先列表为：
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
从而 2X＋1 的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
在本例的条件下，求 P(1
10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，
由二项分布，3 天中至少有 1 天最大获利超过 10 000 元的概率为 p＝1－(1－p 1)3＝1－
0.33＝0.973.
(1)本题是离散型随机变量的分布列、均值与线性规划交汇．解决本题需
根据题目所给信息提炼出线性约束条件和目标函数，然后再求 Z 的值．考查了对数学的应
用意识、数据处理能力及数形结合思想．
(2)离散型随机变量的均值常与统计、平面向量、函数、数列、不等式等知识交汇，题
目设计新颖，是近几年高考考查的热点．
小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则
为：以 O 为起点，再从 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这 8 个点中任取两点分别为
终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 X.若 X＝0 就参加学校合唱团，否则就参加学
校排球队．
(1)求小波参加学校合唱团的概率；
(2)求 X 的分布列．
[解] (1)从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C28＝28(种)，当 X＝0 时，两向
量夹角为直角，共有 8 种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为 P(X＝0)＝
8
28＝
2
7.
(2)两向量数量积 X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X＝－2 时，有 2 种情形；X＝1
时，有 8 种情形；X＝－1 时，有 10 种情形．所以 X 的分布列为
X －2 －1 0 1
P
1
14
5
14
2
7
2
7
[学生用书 P311(独立成册)]
1．若离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1
P
a
2
a2
2
则 X 的数学期望 E(X)＝( )
A．2 B．2 或
1
2
C.
1
2 D．1
C [解析] 因为分布列中概率和为 1，所以
a
2＋
a2
2 ＝1，即 a2＋a－2＝0，解得 a＝－2(舍
去)或 a＝1，所以 E(X)＝
1
2.
2．设随机变量 X 的概率分布列如下表所示：
X 0 1 2
P a
1
3
1
6
若 F(x)＝P(X≤x)，则当 x 的取值范围是[1，2)时，F(x)等于( )
A.
1
3 B．
1
6
C.
1
2 D．
5
6
D [解析] 由分布列的性质，得 a＋
1
3＋
1
6＝1，所以 a＝1
2.而 x∈[1，2)，所以 F(x)＝P(X
≤x)＝
1
2＋
1
3＝
5
6.
3．随机变量 ξ 的取值为 0，1，2，若 P(ξ＝0)＝
1
5，E(ξ)＝1, 则 D(ξ)＝________.
[解析] 设 ξ＝1 时的概率为 p，则 E(ξ)＝0×
1
5＋1×p＋2×(1－p－1
5)＝1，解得 p＝
3
5，故
D(ξ)＝(0－1)2×
1
5＋(1－1)2×
3
5＋(2－1)2×
1
5＝
2
5.
[答案]
2
5
4．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再
取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数 X 的分布列为________．
[解析] X 的所有可能值为 0，1，2.
P(X＝0)＝
CC
CC＝
1
4，
P(X＝1)＝
CC × 2
CC ＝
1
2，
P(X＝2)＝
CC
CC＝
1
4.
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P
1
4
1
2
1
4
[答案]
X 0 1 2
P
1
4
1
2
1
4
5.若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则
称 n 为“三位递增数”(如 137，359，567 等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所
有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位
递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，
得－1 分；若能被 10 整除，得 1 分．
(1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 E(X)．
[解] (1)个位数字是 5 的“三位递增数”有
125，135，145，235，245，345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为 C39＝84，
随机变量 X 的取值为：0，－1，1，因此
P(X＝0)＝
C
C＝
2
3，
P(X＝－1)＝
C
C＝
1
14，
P(X＝1)＝1－
1
14－
2
3＝
11
42.
所以 X 的分布列为
X 0 －1 1
P
2
3
1
14
11
42
则 E(X)＝0×
2
3＋(－1)×
1
14＋1×
11
42＝ 4
21.
6．(2017·山东青岛一模)一个袋中装有 7 个除颜色外完全相同的球，其中红球 4 个，编
号分别为 1，2，3，4；蓝球 3 个，编号分别为 2，4，6，现从袋中任取 3 个球(假设取到任
一球的可能性相同)．
(1)求取出的 3 个球中含有编号为 2 的球的概率；
(2)记 ξ 为取到的球中红球的个数，求 ξ 的分布列和数学期望．
[解] (1)设 A＝“取出的 3 个球中含有编号为 2 的球”，
则 P(A)＝
CC＋CC
C ＝
20＋5
35 ＝
25
35＝
5
7.
(2)由题意得，ξ可能取的值为 0，1，2，3，则
P(ξ＝0)＝
C
C＝
1
35，
P(ξ＝1)＝
C·C
C ＝
12
35，
P(ξ＝2)＝
C·C
C ＝
18
35，
P(ξ＝3)＝
C
C＝
4
35.
所以 ξ 的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
1
35
12
35
18
35
4
35
所以 E(ξ)＝0×
1
35＋1×
12
35＋2×
18
35＋3×
4
35＝
12
7 .
7．袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n＝1，2，
3，4)，现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．
(1)求 X 的分布列、期望和方差；
(2)若 Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求 a，b 的值．
[解] (1)X 的取值为 0，1，2，3，4，其分布列为
X 0 1 2 3 4
P
1
2
1
20
1
10
3
20
1
5
所以 E(X)＝0×1
2＋1×
1
20＋2×
1
10＋3×
3
20＋4×
1
5＝1.5，
D(X)＝(0－1.5)2×
1
2＋(1－1.5)2×
1
20＋(2－1.5)2×
1
10＋(3－1.5)2×
3
20＋(4－1.5)2×
1
5＝2.75.
(2)由 D(Y)＝a2D(X)得 2.75a2＝11，得 a＝±2，
又 E(Y)＝aE(X)＋b，
所以当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2；
当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4，
所以{a＝2，
b＝－2或{a＝－2，
b＝4.
8．某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出
售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y(单位：元)关于当天需求量 n(单位：
枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求
量 n
14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列、数学
期望及方差；
②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理
由．
[解] (1)当日需求量 n≥16 时，利润 y＝80.
当日需求量 n<16 时，利润 y＝10n－80.
所以 y 关于 n 的函数解析式为 y＝{10n－80，n < 16
80，n ≥ 16 ，(n∈N)．
(2)①X 可能的取值为 60，70，80，并且 P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝
0.7.
X 的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
X 的数学期望 E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X 的方差 D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②答案一：花店一天应购进 16 枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进 17 枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么 Y 的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
Y 的数学期望 E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
Y 的方差为 D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2
×0.54＝112.04.
由以上的计算结果可以看出，D(X)
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