福建省永春第一中学2020届高三上学期期初考试数学（文）试题

福建省永春第一中学2020届高三上学期期初考试数学（文）试题

永春一中高三年（上）期初考数学(文)科试卷（2019.08）‎ 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 本试卷分第I卷和第II卷两部分 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。‎ ‎1．若，则下列不等式错误的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2．若复数的模是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. 前三个答案都不对 ‎3． 用反证法证明命题“，可被5整除，则中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 ‎ A．都能被5整除 B．都不能被5整除 ‎ C．至多有一个不能被5整除 D．至多有一个能被5整除 ‎4．“”是“”的（ ）‎ A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5． 已知m,n是两条不同的直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）‎ ‎ A. 若，，则 B. 若，，则 ‎ C. 若，， 则 D. 若，，则 ‎6．有n位学生的某班都参加了某次高三复习检测，第i个学生的某科成绩记为（i=1,2,3，……，n），定义=（不超过成绩的该科该班人数）÷n为第i个学生的该科成绩的百分位。现对该班的甲、乙两同学的该次检测成绩作对比分析，若甲、乙两同学的各科成绩的百分位如图所示，则以下分析不正确的是( )‎ A.甲同学的语文、数学、英语、综合总分高于乙同学 B.甲同学的语文、数学、英语成绩都好于乙同学 C.甲同学的各科成绩都居该班的上等水平 D.乙同学的语文分数不一定比数学分数高 ‎7．已知函数，的图像与直线 的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎8．在正四棱柱中，=， 为中点，则异面直线与所形成角的正切值为( 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）‎ ‎ . ‎ ‎ . ∥截面 ‎ ‎ . ‎ ‎ . 异面直线与所成的角为 ‎10．要得到函数y＝sin（2x+）的图象，‎ 只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点（ ）‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 ‎ C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎ ‎11．若函数在上的值域为，则的取值范围为（ ）‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎12． 偶函数定义域为，其导函数是．当时，有 ‎，则关于的不等式的解集( ) ‎ ‎ A． B．() C.() D．前三个答案都不对 二、填空题 ：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上。‎ ‎13．计算 ;‎ ‎14．下列正确命题的个数为 ;‎ ‎ （1）复数虚部是2； （2）复数的共轭复数为；‎ ‎ （3）若； （4）若为实数.‎ ‎15．某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设。已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比。据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 千米处． ‎ ‎16．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，‎ 则该三棱锥的外接球的表面积为　 　．‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 请在答题卡各自题目的答题区域内作答。‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ ‎ 某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数的检测数据，结果统计如下：‎ API 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 ‎4‎ ‎13‎ ‎18‎ ‎30‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎15‎ 记某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：元），空气质量指数为．在区间对企业没有造成经济损失；在区间对企业造成经济损失成直线模型（当为150时造成的经济损失为500元，当为200时，造成的经济损失为700元）；当大于300时造成的经济损失为2000元．‎ ‎（Ⅰ）求的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，其它非供暖季有7天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 ‎100‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎18．（本题满分12分）‎ ‎ 已知，，分别为三个内角，，的对边，.‎ ‎（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求边，.‎ ‎19．（本题满分12分） ‎ ‎ 如图，直四棱柱中，.‎ 点P为线段的中点.‎ ‎（I）求证：AP//平面；‎ ‎（II）求证：平面平面.‎ ‎20．(本题满分12分) ‎ ‎ 已知椭圆：()的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值.‎ ‎21．(本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，‎ ‎（1）求函数的最大值；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的最大值与实数的最小值.‎ 请考生在22~23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（I）写出的极坐标方程，并求与的交点的极坐标；‎ ‎（II）设是椭圆上的动点，求面积的最大值.‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎ (Ⅰ) 若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ 永春一中高三年上学期期初月考数学(文)科试卷（2019.08）‎ 参考答案 一、选择题：（每题5分，满分60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B B B D A C B C C C A 二、填空题：（每题5分，满分20分）‎ ‎13. 1； 14．2； 15．5； 16．. ‎ 三、解答题： ‎ ‎17．(本小题满分12分) ‎ 解：（Ⅰ）（1）由题意得，当时，；‎ ‎ 当时，可设，且有，解得，所以；当时，，综上所述可得，‎ ‎ （6分）‎ ‎（Ⅱ）根据题意，列联表为：‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 合计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 因为，‎ 所以可以判断有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关。 （12分）‎ ‎18. (本小题满分12分) ‎ ‎ (1)由及正弦定理得，‎ 整理得，, ‎ 因为，且，‎ 所以,, 又，所以，. ----6分 ‎ (2)因为的面积，所以， ① ‎ 由余弦定理得，，,‎ 所以， ②‎ 联立①②解得，. -------12分 ‎19．（本小题满分12分） ‎ ‎20．(本小题满分12分) ‎ ‎（Ⅰ） ∵点为椭圆的一个焦点，∴，又，‎ ‎∴， ∴椭圆方程为。 （4分）‎ ‎（Ⅱ）当直线斜率不存在时，直线方程为，‎ 此时，，与的面积相等，所以。 ‎ 当直线斜率存在时，设直线方程为()，‎ 设，显然异号.‎ 由，得，显然，方程有实根，‎ 且，，‎ 此时 ‎ ，由 ‎ 可得，当且仅当时等号成立。‎ 所以的最大值为。 （12分）‎ ‎21．(本小题满分12分）‎ 解：（I）由得 ‎ 。‎ ‎ 因为在区间上，所以在区间上单调递减。‎ ‎ 从而。 （4分）‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎ “”等价于“”， “”等价于“” ，‎ ‎ 令，则，‎ ‎ 当时，对任意恒成立。‎ ‎ 当时，因为对任意，，‎ 所以在区间上单调递减。从而对任意恒成立。‎ ‎ 当时，存在唯一的使得。‎ ‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎ ‎ 因为在区间上是增函数，所以。‎ 进一步，“对任意恒成立”‎ 当且仅当，即，‎ ‎ 综上当且仅当时，对任意恒成立；‎ ‎ 又当且仅当时，对任意恒成立。‎ ‎ 所以，若对任意恒成立，‎ 则a最大值为，b的最小值为1. （12分）‎ ‎22．（本小题满分10分） ‎ ‎ (Ⅰ)因为，所以的极坐标方程为， ‎ 直线的直角坐标方程为，‎ 联立方程组，解得或， ‎ 所以点的极坐标分别为. 5分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)易得 ‎ 因为是椭圆上的点，设P点坐标为， ‎ ‎ 则到直线的距离， ‎ ‎ 所以，‎ ‎ 当时，取得最大值1. 10分 ‎23．(本小题满分10分) ‎ 解：（I）不等式化为，‎ 则，或，或，‎ 解得，所以不等式的解集为． （5分）‎ ‎（II）不等式等价于，‎ 即，‎ 由绝对值三角不等式知．‎ 若存在实数，使得不等式成立，‎ 则，解得，‎ 所以实数的取值范围是． （10分）‎