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文档介绍
新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学2020届高三上学期月考数学(理)试题
数学试卷(理数) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分) 1.若集合表示实数集,则下列选项错误的是( ) A. B. D. 2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.9盏 B.5盏 C.3盏 D.1盏 3.函数“ 是偶函数”的否定是( ) A. B. C. D. A. 16 B. 4 C. 1 D. 5.直三棱柱中,所有棱长都相等,M是的中点,N是的中点,则AM与NC1所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 6.若 分别是 的中点,则的值为( ) A. B. C. D. 8.一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为( ) A. B. C. D. 9.三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC且PA=2,△ABC是边 长为的等边三角形,则该三棱锥外接球的表面积为( ) A. B.4π C.8π D.20π 11.已知函数的定义在R上的奇函数,当时,满足,则在区间内( ) A. 没有零点 B. 恰有一个零点 C. 至少一个零点 D. 至多一个零点 12. 在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +,则+的最大值为( ) A.3 B.2 C. D.2 二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上) 13. 已知向量满足且则与的夹角为_________. 14.定积分的值为 ; 15.定义:,已知数列满足:,若对任意正整数,都有成立,则的值为_________. 16. 定义在R上的函数为减函数,且函数的图象关于点(1,0)对称,若且,则的取值范围是_________。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|. (1)求f(x)的最小值m; (2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:++≥3. 18.(本小题满分12分)已知f(x)=sin(π+ωx)·sin-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T=π. (1)求f的值; (2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2a-c)cos B=bcos C,求角B的大小以及f(A)的取值范围. 19. (本小题满分12分)已知等差数列的前n项和为Sn,公差d≠0, 且,成等比数列. (1)求数列的通项公式; (2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的前n项和Tn. 20.(本小题满分12分)如图1,平面五边形中,∥,,,△是边长为2的正三角形. 现将△沿折起,得到四棱(如图2),且. (1)求证:平面平面; (2)在棱上是否存在点,使得∥平面?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分12分)已知数列,满足,,. (Ⅰ)求证:数列为等差数列; (Ⅱ)设,求. 22. (本小题满分12分)已知函数 (为常数,)· (Ⅰ)若是函数的一个极值点,求的值;(Ⅱ)求证:当时,在上是增函数;(Ⅲ)若对任意的,总存在,使不等式成立,求实数m的取值范围. 数学试卷(理数)答案 一. 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A D A C D C B D B A 二. 填空题 三.解答题 17.(1)当,; 当,; 当,。 综上,的最小值。 ......5分 (2),,均为正实数,且满足。 又因为。 (当且仅当时,取“”) 所以,即。 ......10分 18.解 (1)f(x)=sin(π+ωx)·sin-cos2ωx=sin ωx·cos ωx-cos2ωx =sin 2ωx-cos 2ωx-=sin. ∵最小正周期为T=π,∴=π,ω=1. ∴f(x)=sin. ∴f=sin. (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, ∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A. ∵sin A>0,∴cos B=,∵B∈(0,π),∴B=. ∴A∈,2A-, ∴sin.即f(A)的取值范围为. 19.解 (1)依题意得解得 所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1. (2)=3n-1,bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1, Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,① 3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,② ①-②得-2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·-(2n+1)3n=-2n·3n,所以Tn=n·3n. 20.(Ⅰ)证明:由已知得,. 因为,所以平面. 又平面,所以平面平面. (2)在棱上存在点,使得∥平面,此时. 理由如下: 设的中点为,连接,, 则 ∥,. 因为∥,且, 所以∥,且, 所以 四边形是平行四边形, 所以 ∥. 因为平面,且平面, 所以∥平面. 21.证明(Ⅰ)由,得, , 数列是首项为1,公差为的等差数列, (Ⅱ)解:设, 由(Ⅰ)得,数列是首项为1,公差为的等差数列, , 即, , 且 是首项,公差为的等差数列, 22.试题解析: (Ⅰ)由已知,得且, (Ⅱ)当时, 当时, 又 故在上是增函数 (Ⅲ)时,由(Ⅱ)知,在上的最大值为 于是问题等价于:对任意的,不等式恒成立。 记 则 当时, 在区间上递减,此时 由于,时不可能使恒成立,故必有 若,可知在区间上递减,在此区间上,有 ,与恒成立相矛盾,故,这时, 在上递增,恒有,满足题设要求, 即所以实数的取值范围为 查看更多