河北省廊坊市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含解析

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河北省廊坊市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 一、选择题 ‎1. 数列前几项为，则此数列的通项可能是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 数列为其分母为，分子是首项为，公差为的等比数列，故通项公式为.‎ 点睛：本题主要考查根据数列的前几项，猜想数列的通项公式.首项观察到数列有部分项是分数的形式，所以考虑先将所有项都写成分数的形式，每项的分母都为，而分子是首项为，公差为的等比数列，由此可求得数列的通项公式.要注意的是，由部分项猜想的通项公式可以有多个.‎ ‎2. 对于任意实数a，b，c，则下列四个命题：‎ ‎①若，，则；②若，则；‎ ‎③若，则；④若，则.‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质判断各个命题，错误的可举反例说明．‎ ‎【详解】时，若，则，①错误；‎ 若，则，②错误；‎ 若，则，∴，③正确；‎ ‎，若，仍然有，④错误．‎ - 15 -‎ 正确的只有1个．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．‎ ‎3. 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 关于面对称的点为 ‎ ‎4. 直线在轴上的截距是-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设直线 的倾斜角是 ，则直线的倾斜角为 ‎ ‎∵ ，∴直线m的斜率∴直线的斜截式方程为：， ，故选B ‎5. 圆心为且与直线相切的圆的方程为( )‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设圆方程，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，‎ - 15 -‎ ‎，故圆的方程为，故选C.‎ ‎6. 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．‎ 考点：等差数列与等比数列的性质．‎ ‎7. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设， 解集为 所以二次函数图像开口向下，且与 交点为，由韦达定理得 所以 的解集为 ，故选B.‎ ‎8. 某观察站与两灯塔的距离分别为米和米，测得灯塔在观察站西偏北，灯塔在观察站北偏东，则两灯塔间的距离为（ ）‎ A 米 B. 米 C. 米 D. 米 ‎【答案】A - 15 -‎ ‎【解析】‎ 依题意，作出上图，∵ ，∴由余弦定理得：，故选A.‎ ‎9. 设为空间不重合的直线，是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是（ ）‎ ‎①//，//，则//；‎ ‎②，，则//；‎ ‎③若； ‎ ‎④若∥，，，则∥；‎ ‎⑤若 ‎⑥，则 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：①显然正确；②可能相交；③l可能在平面内；④l可能为两个平面的交线，两个平面可能相交；⑤ 可能相交；⑥显然正确，故选C．‎ 考点：空间中线面，线线，面面关系 ‎【易错点睛】解决有关线面平行，面面平行的判定与性质的基本问题要注意：‎ ‎（1）注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．‎ ‎（2）结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．‎ ‎（3）会举反例或用反证法推断命题是否正确．‎ - 15 -‎ ‎10. 设是内一点，且的面积为2，定义，其中分别是，，的面积，若内一动点满足，则的最小值是（ ）‎ A. 1 B. 4 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知得 ‎ ‎ ，故选C.‎ ‎11. 若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×＝，所以R2＝＋＝，则该球的表面积为4πR2＝．‎ 二、填空题 ‎12. 若直线与互相垂直，则点到轴的距离为__________．‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：由题意首先求得实数m的值，然后求解距离即可.‎ 详解：由直线垂直的充分必要条件可得：‎ - 15 -‎ ‎，即：，‎ 解得：，，‎ 当时点到轴的距离为0，‎ 当时点到轴的距离为5，‎ 综上可得：点到轴的距离为或.‎ 点睛：本题主要考查直线垂直的充分必要条件，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎13. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积．‎ ‎【详解】设圆锥的底面半径为，高为，‎ 已知圆锥的母线长为，侧面积为，‎ 则，得，所以，圆锥的高为，‎ 因此，该圆锥的体积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的侧面积、体积，解题时要明确圆锥底面半径、母线长以及高之间的关系，考查计算能力，是基础题．‎ ‎14. 若实数x，y满足，则的最小值是______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出满足条件的可行域，令，根据图像求出目标函数的最小值.‎ - 15 -‎ ‎【详解】‎ 三角形阴影部分为满足不等式的解集；‎ 令，则；‎ 由，‎ 当直线过点时截距最小，‎ 此时最小.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.‎ ‎15. 已知点是直线（）上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的方程得出圆心和半径，由圆的性质，得到四边形的面积，再确定的面积的最小值,得出当取最小值时，最小；根据点到直线距离公式，列出方程求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】圆的圆心为，半径为，‎ - 15 -‎ 由圆的性质可知，四边形的面积，‎ 又四边形的最小面积是2，则的最小值为，‎ 则，‎ 因为，所以当取最小值时，最小；‎ 又点是直线上的动点，‎ 当垂直于直线时，最小，即为圆心到直线的距离；‎ 所以，解得，‎ 因为，所以．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、圆的切线长公式，圆的性质和四边形的性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎16. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 15 -‎ ‎（1）利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，求解即可；‎ ‎（2）利用余弦定理以及题设条件得出，最后由三角形面积公式求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）在中，由条件及正弦定理得 ‎∴‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴. ‎ ‎（2）∵，‎ 由余弦定理得 ‎∴. ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.‎ ‎17. 如图，在四棱锥中，底面的平行四边形，，，平面，为的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由余弦定理结合勾股定理可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得结果；（2）根据“等积变换”可得 - 15 -‎ ‎，进而直接用棱锥的体积公式求解.‎ 试题解析：（1）证明：因面，又平面 所以，‎ 又因为，，‎ 在中，由余弦定理有： ‎ 所以，‎ 即：，‎ 又因为，又平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以.‎ ‎（2）由已知有：，所以，,因为面 且为的中点，所以点到平面的距离为，‎ 所以 ‎ ‎18. 已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.‎ ‎(Ⅰ)求和的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设出数列的公比和数列的公差，由题意列出关于 - 15 -‎ 的方程组，求解方程组得到的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得，然后利用错位相减法注得数列的前项和．‎ 试题解析：（Ⅰ）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）有 ,设的前n项和为 ,则 两式相减得 所以．‎ 考点：等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【易错点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于和不等于两种情况求解．‎ ‎19. 已知圆，直线，.‎ ‎（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；‎ ‎（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；‎ ‎（3）是否存在实数，使得圆上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）M的轨迹方程是，它是一个以 - 15 -‎ 为圆心，以为半径的圆；（3）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依据题设可以运用圆心与直线的距离或考虑动直线过定点分析判断；（2）借助题设条件运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；（3）依据题设借助图形的直观，运用圆心距与直线的位置和数量关系建立不等式：‎ ‎【详解】（1）圆的圆心为，半径为，所以圆心C到直线的距离．‎ 所以直线与圆C相交，即直线与圆总有两个不同的交点；‎ 或：直线的方程可化为，无论m怎么变化，直线过定点，由于，所以点是圆C内一点，故直线与圆总有两个不同的交点． ‎ ‎（2）设中点为，因为直线恒过定点，‎ 当直线的斜率存在时，，又，，‎ 所以，化简得． ‎ 当直线的斜率不存在时，中点也满足上述方程．‎ 所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆．‎ ‎(3) 假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，由于圆心，半径为，则圆心到直线的距离为 化简得，解得或．‎ - 15 -‎ ‎【点睛】解答本题的关键要搞清楚动直线过定点的特征，然后再运用直线与圆的位置关系分析求解．求解第一问时，充分借助圆心与直线的距离进行分析求解从而使得问题获解；解答第二问时，依据题设条件充分运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；求解第三问时依据题设条件借助图形的直观，运用圆心与直线的距离之间与的数量关系建立不等式，通过解不等式使得问题获解．‎ ‎20. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：‎ ‎(1)设与相交于点，由即可证得平面.‎ ‎(2)利用题意找到二面角的平面角为；‎ ‎(3)利用(2)中的结论找到线面角，计算可得直线与平面所成角的正弦值为.‎ - 15 -‎ 试题解析：（1）设与相交于点，连接，则为中点，‎ 为中点，.‎ 又平面，平面 平面.‎ ‎（2）正三棱柱，底面.‎ 又，，‎ 就是二面角的平面角.‎ ‎，，.‎ ‎，即二面角的大小是.‎ ‎（3）由（2）作，为垂足.‎ ‎，平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 平面，.‎ ‎，平面，连接，则就是直线与平面所成的角.‎ ‎，，在中，，‎ ‎，.‎ ‎ .‎ 直线与平面所成角的正弦值为.‎ - 15 -‎ ‎（备注：也可以建立空间直角坐标系来解答.）‎ - 15 -‎