安徽省青阳县第一中学2019-2020学年高二11月月考数学（理）试题

安徽省青阳县第一中学2019-2020学年高二11月月考数学（理）试题

青阳一中2019-2020学年度11月份月考 高二数学试卷（理科）‎ 考试时间：120分钟；满分150分 ‎ 一、选择题（每题5分）‎ ‎1、过点,且斜率为的直线的方程是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎2、已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（   ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎3、已知,,则直线过( )‎ A.第一、第二、第三象限 B.第一、第二、第四象限 C.第一、第三、第四象限 D.第二、第三、第四象限 ‎4、直线与圆相切，则实数的值为(  )‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎5、一条直线过点，且在轴，轴上截距相等，则这直线方程为（   ）‎ A.‎ B.‎ C.或 D.或 ‎6、下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是(　　)‎ A.①③‎ B.①④‎ C.②③‎ D.②④‎ ‎7、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则这个球的体积为（   ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎8、点在圆：上，点在圆：上，则的最小值是（   ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎9、已知，，在轴上有一点，使得为最短，则点的坐标是（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎10、若圆的弦被点平分,则直线的方程为( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎11、如图,在底面是正方形的四棱锥中,面面,为等边三角形,那么与平面所成的角的正切值为( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎12、设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 二、填空题（每题5分）[来源:学|科|网]‎ ‎13、已知圆：，为圆的一条直径，点，则点的坐标为______.‎ ‎14、经过点,且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线的方程是_______.‎ ‎15、设光线从点出发,经过轴反射后经过点,则光线与轴的交点坐标为______.‎ ‎16、如图，在正方体中，，分别是和的中点，则下列命题：‎ ‎①，，，四点共面；‎ ‎②，，三线共点；‎ ‎③和所成的角为；‎ ‎④平面.其中正确的是__________（填序号）.‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18、19、20、21、22题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17、（本题满分10分）‎ 如图，已知长方形的两条对角线的交点为，且与所在的直线方程分别为与． ‎ ‎（1）求所在的直线方程；   ‎ ‎（2）求出长方形的外接圆的方程.‎ ‎18、（本题满分12分）‎ 如图,在三棱锥中,平面,,点为线段的中点.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)若,直线与平面所成角为,求三棱锥的体积.‎ ‎19、（本题满分12分）‎ 已知圆，直线．‎ ‎(1)求证：直线恒过定点．‎ ‎(2)判断直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短长度．‎ ‎20、（本题满分12分）‎ 已知动点到点的距离是它到点的距离的一半，求：‎ ‎(1)动点的轨迹方程；‎ ‎(2)若为线段的中点，试求点的轨迹．‎ ‎21、（本题满分12分）‎ 如图,在中,,点在边上,,为垂足.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(1)若的面积为,求的长;‎ ‎(2)若,求角的大小.‎ ‎22、（本题满分12分）‎ 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若二面角为，‎ ‎①证明：平面平面；‎ ‎②求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎11月考（理科）答案解析 第1题答案C ,即.‎ 第2题答案C 线段的中点坐标为，直线的斜率，∴直线的斜率，‎ ‎∴直线的方程为.‎ 第3题答案B 因为,,所以均不为零,在直线方程中,‎ 令得,令得,‎ 因为,,所以,所以,所以,所以直线通过第一、第二、第四象限.‎ 第4题答案C ‎ 圆的方程变形为，于是，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，[来源:学&科&网]‎ 得，即，解得或．‎ 第5题答案C ①当直线经过原点的时候，其斜率为，代入直线方程的点斜式可以得到，整理得.‎ ‎②当直线不经过原点的时候，设其方程为，将点的坐标代入方程得，∴此时所的直线方程为.综上所述，所求直线方程为或.‎ 第6题答案B 在①中设过点且垂直于上底面的棱与上底面交点为，则由，可知平面平行平面，即平面；在④中平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行，所以平面.‎ 第7题答案D ∵榜长为的正方体的体对角线长为，∴球的半径，‎ ‎∴球体积．‎ 第8题答案 C 圆：，即，圆心为；圆：，即，圆心为，两圆相离，的最小值为.‎ 第9题答案B 关于轴的对称点，通过两点式给出直线方程：‎ ‎，即，再求出直线与轴的交点为.‎ 第10题答案 B 圆,得到圆心坐标为,又,∴,弦所在的直线方程斜率为,又为的中点,则直线的方程为,即.‎ 第11题答案B ∵平面，∴为直线与平面所成的角，设底面正方形边长为，则，，∴.‎ ‎∴直线与平面所成的角的正切值为.‎ 第12题答案B 由题意可得动直线过定点，斜率，‎ 直线可化为，斜率.‎ 令解得即.‎ 又，故两直线垂直，即交点为,∴，[来源:Zxxk.Com]‎ 由基本不等式可得，∴，解得，‎ 当且仅当“”时取等号.故选B...‎ 第13题答案 由得，，所以圆心．设，又，由中点坐标公式得，解得，所以点的坐标为．‎ 第14题答案或 设所求直线方程为或,将点代入上式可得或.‎ 第15题答案 设光线与轴的交点坐标为,则由题意可得,直线和直线关于直线对称,他们的倾斜角互补,斜率互为相反数,即,即,解得.‎ 第16题答案 ①②④‎ 由题意，故，，，四点共面；由，故与相交，记交点为，则平面，平面，所以点在平面与平面的交线上，故，，三线共点；即为与所成角，显然；因为，平面，平面，所以平面.故①②④正确.‎ 第17题答案 （1）；（2）‎ ‎（1）由于，则由于，则可设直线的方程为：，‎ 又点到与的距离相等，则， ‎ 因此，，或（舍去），则直线所在的方程为．‎ ‎（2）由直线的方程解出点的坐标为，则即为长方形的外接圆半径. 故长方形的外接圆的方程为．    ‎ 第18题答案见解析;‎ (1) ‎∵,为线段的中点,∴,∴平面,∴,‎ ‎∴平面,‎ 又∵平面,∴平面平面.‎ ‎(2)∵,,∴为正三角形,,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∵平面,直线与平面成角为,∴,∴,[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎∴.‎ 第19题答案 解：(1)证明略；‎ ‎(2)直线被圆截得的弦最短时的值是，最短长度是．‎ 解：(1)直线的方程经整理得 ‎．由于的任意性，于是有，解此方程组，得．即直线恒过定点．‎ ‎(2)因为直线恒经过圆内一点，所以(用《几何画板》软件，探究容易发现)当直线经过圆心时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线垂直于时被截得的弦长最短．由，，可知直线的斜率为，所以当直线被圆截得弦最短时，直线的斜率为，于是有，解得．此时直线l的方程为，即．又．所以，最短弦长为．直线被圆截得的弦最短时的值是，最短长度是．‎ 第20题答案（1）；（2）.‎ 解：（1）设 整理得到所以动点轨迹方程为；‎ ‎（2）,为线段的中点，即有 ‎，而点在上，‎ ‎，∴点轨迹方程为 ‎∴点轨迹为圆心半径为的圆.即：‎ 第21题答案(1);(2).‎ ‎(1)由已知得,又,,∴,.在中,由余弦定理,得.∴.‎ ‎(2)∵,在中,由正弦定理,得,又,得,解得,所以.‎ 第22题答案（1）略（2）①略②‎ （1） 取中点，连接，因为为的中点，‎ 则且，‎ 又由于为的中点，且,又平面，而平面，‎ ‎∴平面；‎ （2） ‎①连接，因为，而为的中点，‎ 故，‎ 所以为二面角的平面角，‎ 在中，由，，可得，‎ 在中，由，，可得，‎ 在中，，，‎ 由余弦定理的，所以为直角，，‎ 又，从而，‎ 此，平面，又平面，‎ 所以平面；‎ ‎②连接，由①可知，平面 所以为直线与平面所成的角，‎ 由以及已知，得到为直角，‎ 而，可得，‎ 又，故在直角三角形中，‎ ‎.‎