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文档介绍
河南省开封市铁路中学2020高三下学期模拟考试数学(理)试卷
数学试卷(理科) 一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合,集合 , 则( ). A. B. C. D. 2.设为虚数单位,复数( ). A. B. C. D. 3.下列结论中正确的是( ). ①命题:的否定是; ②若直线上有无数个点不在平面内,则; ③若随机变量服从正态分布,且,则; ④等差数列的前项和为,若,则. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.已知双曲线的一条渐近线平行于直线,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线方程为( ). A. B. C. D. 5.某产品的研发费用万元与销售利润万元的统计数据如表所示, 研发费用(万元) 4 2 3 5 利润(万元) 49 26 39 根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预计研发费用为6万元时,利润为65.5,则( ). A. B. C. D. 6.在中,分别是角的对边,若成等比数列,,( ). A. B. 1 C. D. 7.已知一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的表面积为( ). A. B. C. D. 8.若实数满足不等式组则的最大值是 ( ). A.1 0 B.1 1 C.1 3 D.1 4 9.利用如图所示的算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆 内的有( ). A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 10.设函数在上可导,其导函数为,且函数在处 取得极大值,则函数的图像可能是( ). 11.已知双曲线(,)的两条渐近线与抛物线()的准线分别交于,两点,为坐标原点,若双曲线的离心率为,的面积为,则的内切圆半径为( ). . . . . 12.已知定义在上的函数满足.当时,.设在上的最大值为,且的前项和为,则 ( ). A. B. C. D. 二、填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知,那么的展开式中的常数项为 . 14.已知向量与向量的夹角为,若且,则在上的投影为 . 15.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧面是等边三角形,且侧面底面,则四棱锥的外接球的表面积为___ ____. 16.直线分别与曲线,交于,两点,则的最小值为_______. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且2cosB(acosC+ccosA)+b=0. (Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)若a=3,点D在AC边上且BD⊥AC,BD=,求c. 18.(12分)如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点.将△ABE沿BE折起使A到点P的位置,平面PEB⊥平面BCDE,如图2. (Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PEC; (Ⅱ)求二面角B﹣PE﹣D的余弦值. 19.(12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,2017年双11期间,某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系,现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (Ⅰ)完成下面的 2×2列联表,并回答是否有99%的把握,认为商品好评与服务好评有关? 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 200 (Ⅱ)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X: (1)求对商品和服务全好评的次数X的分布列; (2)求X的数学期望和方差. 附: P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (,其中n=a+b+c+d) 20.(12分)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的离心率,其“准圆”的方程为x2+y2=4. (I)求椭圆C的方程; (II)点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N. (1)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线l1,l2的方程,并证明l1⊥l2; (2)求证:线段MN的长为定值. 21.(12分)已知函数f(x)=(t﹣1)xex,g(x)=tx+1﹣ex. (Ⅰ)当t≠1时,讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,求t的取值范围. 选修4-4:极坐标与参数方程 22.(10分)已知直线l:3x﹣y﹣6=0,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ﹣4sinθ=0. (Ⅰ)将直线l写成参数方程(t为参数,α∈[0,π),)的形式,并求曲线C的直角坐标方程; (Ⅱ)过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线,交l于点A,求|AP|的最值. 选修4-5:不等式选讲 23.已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}. (I)求实数m、n的值; (II)设a、b、c均为正数,且a+b+c=n﹣m,求++的最小值. 答案部分 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D A A D D D B D C B 二、填空题 13. 14. 15. 16. 17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且2cosB(acosC+ccosA)+b=0. (Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)若a=3,点D在AC边上且BD⊥AC,BD=,求c. 【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c, 且2cosB(acosC+ccosA)+b=0. 则:2cosB(sinAcosC+sinCcosA)+sinB=0, 整理得:2cosBsin(A+C)=﹣sinB, 由于:0<B<π, 则:sinB≠0, 解得:, 所以:B=. (Ⅱ)点D在AC边上且BD⊥AC, 在直角△BCD中,若a=3,BD=, 解得:, 解得:, 则:,, 所以:cos∠ABD===, 则:在Rt△ABD中,, =. 故:c=5 18.(12分)如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点.将△ABE沿BE折起使A到点P的位置,平面PEB⊥平面BCDE,如图2. (Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PEC; (Ⅱ)求二面角B﹣PE﹣D的余弦值. 【解答】(Ⅰ)证明:∵AD=2AB,E为线段AD的中点, ∴AB=AE, 取BE中点O,连接PO,则PO⊥BE, 又平面PEB⊥平面BCDE,平面PEB∩平面BCDE=BE, ∴PO⊥平面BCDE,则PO⊥EC, 在矩形ABCD中,∴AD=2AB,E为AD的中点, ∴BE⊥EC,则EC⊥平面PBE, ∴EC⊥PB, 又PB⊥PE,且PE∩EC=E, ∴PB⊥平面PEC,而PB⊂平面PBC, ∴平面PBC⊥平面PEC; (Ⅱ)解:以OB所在直线为x轴,以平行于EC所在直线为y轴,以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系, ∵PB=PE=2,则B(,0,0),E(﹣,0,0),P(0,0,),D(﹣2,,0), ∴,,=(,,﹣). 设平面PED的一个法向量为, 由,令z=﹣1,则, 又平面PBE的一个法向量为, 则cos<>==. ∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为. 19.(12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,2017年双11期间,某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系,现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (Ⅰ)完成下面的 2×2列联表,并回答是否有99%的把握,认为商品好评与服务好评有关? 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 200 (Ⅱ)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X: (1)求对商品和服务全好评的次数X的分布列; (2)求X的数学期望和方差. 附: P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (,其中n=a+b+c+d) 【解答】解:(Ⅰ)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下: 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 K2=≈11.111>6.635, 故有99%的把握,认为商品好评与服务好评有关. (Ⅱ)(1)每次购物时,对商品和服务全为好评的概率为,且X的取值可以是0,1,2,3. 其中P(X=0)=()3=, P(X=1)==, P(X=2)=, P(X=3)==, X的分布列为: X 0 1 2 3 P (2)∵X~B(3,), ∴E(X)=, D(X)=3×=. 20.(12分)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的离心率,其“准圆”的方程为x2+y2=4. (I)求椭圆C的方程; (II)点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N. (1)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线l1,l2的方程,并证明l1⊥l2; (2)求证:线段MN的长为定值. 【解答】解:(I)由准圆方程为x2+y2=4,则a2+b2=4,椭圆的离心率e===, 解得:a=,b=1, ∴椭圆的标准方程:; (Ⅱ)证明:(1)∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2), 设过点P(0,2)且与椭圆相切的直线为y=kx+2, 联立,整理得(1+3k2)x2+12kx+9=0. ∵直线y=kx+2与椭圆相切,∴△=144k2﹣4×9(1+3k2)=0,解得k=±1, ∴l1,l2方程为y=x+2,y=﹣x+2.∵=1,=﹣1, ∴•=﹣1,则l1⊥l2. (2)①当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设直线l1斜率不存在, 则l1:x=±, 当l1:x=时,l1与准圆交于点(,1)(,﹣1), 此时l2为y=1(或y=﹣1),显然直线l1,l2垂直; 同理可证当l1:x=时,直线l1,l2垂直. ②当l1,l2斜率存在时,设点P(x0,y0),其中x02+y02=4. 设经过点P(x0,y0)与椭圆相切的直线为y=t(x﹣x0)+y0, ∴由得 (1+3t2)x2+6t(y0﹣tx0)x+3(y0﹣tx0)2﹣3=0. 由△=0化简整理得 (3﹣x02)t2+2x0y0t+1﹣y02=0, ∵x02+y02=4.,∴有(3﹣x02)t2+2x0y0t+(x02﹣3)=0. 设l1,l2的斜率分别为t1,t2, ∵l1,l2与椭圆相切,∴t1,t2满足上述方程(3﹣x02)t2+2x0y0t+(x02﹣3)=0, ∴t1•t2=﹣1,即l1,l2垂直. 综合①②知:∵l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直. ∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径,|MN|=4, ∴线段MN的长为定值. 21.(12分)已知函数f(x)=(t﹣1)xex,g(x)=tx+1﹣ex. (Ⅰ)当t≠1时,讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,求t的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=(t﹣1)xex,得f′(x)=(t﹣1)(x+1)ex, 若t>1,则x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)递减,x>﹣1时,f′(x)>0,f(x)递增, 若t<1,则x<﹣1时,f′(x)>0,f(x)递增,x>﹣1时,f′(x)<0,f(x)递减, 故t>1时,f(x)在(﹣∞,﹣1)递减,在(﹣1,+∞)递增, t<1时,f(x)在(﹣∞,﹣1)递增,在(﹣1,+∞)递减; (2)f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立, 即(t﹣1)xex﹣tx﹣1+ex≤0对∀x≥0成立, 设h(x)=(t﹣1)xex﹣tx﹣1+ex, h(0)=0,h′(x)=(t﹣1)(x+1)ex﹣t+ex,h′(0)=0, h″(x)=ex[(t﹣1)x+2t﹣1], t=1时,h″(x)=ex≥0,h′(x)在[0,+∞)递增, ∴h′(x)≥h′(0)=0,故h(x)在[0,+∞)递增, 故h(x)≥h(0)=0,显然不成立, ∴t≠1,则h″(x)=ex(x+)(t﹣1), 令h″(x)=0,则x=﹣, ①当﹣≤0即t<或t>1时, 若t≤,则h″(x)在[0,+∞)为负,h′(x)递减, 故有h′(x)≤h′(0)=0,h(x)在[0,+∞)递减, ∴h(x)≤h(0)=0成立, 若t≥1,则h″(x)在[0,+∞)上为正,h′(x)递增, 故有h′(x)≥h′(0)=0,故h(x)在[0,+∞)递增, 故h(x)≥h(0)=0,不成立, ②﹣≥0即≤t≤1时, h″(x)在[0,﹣)内有h′(x)≥h′(0)=0,h(x)递增, 故h(x)在[0,﹣)内有h(x)≥h(0)=0不成立, 综上,t的范围是(﹣∞,]. 选修4-4:极坐标与参数方程 22.(10分)已知直线l:3x﹣y﹣6=0,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ﹣4sinθ=0. (Ⅰ)将直线l写成参数方程(t为参数,α∈[0,π),)的形式,并求曲线C的直角坐标方程; (Ⅱ)过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线,交l于点A,求|AP|的最值. 【解答】解:(Ⅰ)直线l:3x﹣y﹣6=0,转化为直角坐标方程为: (t为参数), 曲线C:ρ﹣4sinθ=0.转化为直角坐标方程为:x2+y2﹣4y=0. (Ⅱ)首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为:x2+(y﹣2)2=4, 所以经过圆心,且倾斜角为30°的直线方程为:, 则:, 解得:, 则:=, 则:|AP|的最大值为:, |AP|的最小值为:. 选修4-5:不等式选讲 23.已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}. (I)求实数m、n的值; (II)设a、b、c均为正数,且a+b+c=n﹣m,求++的最小值. 【解答】解:(Ⅰ)∵|x+1|+|2x﹣1|≤3, ∴或或, 解得:﹣1≤x≤1, 故m=﹣1,n=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)a+b+c=2, 则++ =(++)(a+b+c) =[1+1+1+(+)+(+)+(+)] ≥+(2+2+2) =+3=, 当且仅当a=b=c=时“=”成立.查看更多