河南省开封市铁路中学2020高三下学期模拟考试数学(理)试卷

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河南省开封市铁路中学2020高三下学期模拟考试数学(理)试卷

数学试卷(理科)‎ 一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合,集合 , 则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设为虚数单位,复数( ).‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.下列结论中正确的是( ).‎ ‎①命题:的否定是;‎ ‎②若直线上有无数个点不在平面内,则;‎ ‎③若随机变量服从正态分布,且,则;‎ ‎④等差数列的前项和为,若,则.‎ A.①② B.②③ C.③④ D.①④‎ ‎4.已知双曲线的一条渐近线平行于直线,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线方程为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎5.某产品的研发费用万元与销售利润万元的统计数据如表所示,‎ 研发费用(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 利润(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4,据此模型预计研发费用为6万元时,利润为65.5,则( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.在中,分别是角的对边,若成等比数列,,( ).‎ A. B. 1 C. D.‎ ‎7.已知一个三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的表面积为( ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.若实数满足不等式组则的最大值是 ( ).‎ A.1 0 B.1 1 C.1 3 D.1 4‎ ‎9.利用如图所示的算法在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点在圆 内的有( ).‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎10.设函数在上可导,其导函数为,且函数在处 取得极大值,则函数的图像可能是( ).‎ ‎11.已知双曲线(,)的两条渐近线与抛物线()的准线分别交于,两点,为坐标原点,若双曲线的离心率为,的面积为,则的内切圆半径为( ).‎ ‎. . . .‎ ‎12.已知定义在上的函数满足.当时,.设在上的最大值为,且的前项和为,则 ( ).‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:本大题共四小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.‎ ‎13.已知,那么的展开式中的常数项为 .‎ ‎14.已知向量与向量的夹角为,若且,则在上的投影为 .‎ ‎15.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧面是等边三角形,且侧面底面,则四棱锥的外接球的表面积为___ ____.‎ ‎16.直线分别与曲线,交于,两点,则的最小值为_______.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且2cosB(acosC+ccosA)+b=0.‎ ‎(Ⅰ)求角B的大小;‎ ‎(Ⅱ)若a=3,点D在AC边上且BD⊥AC,BD=,求c.‎ ‎18.(12分)如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点.将△ABE沿BE折起使A到点P的位置,平面PEB⊥平面BCDE,如图2.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PEC;‎ ‎(Ⅱ)求二面角B﹣PE﹣D的余弦值.‎ ‎19.(12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,2017年双11期间,某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系,现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.‎ ‎(Ⅰ)完成下面的 2×2列联表,并回答是否有99%的把握,认为商品好评与服务好评有关?‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎(Ⅱ)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X:‎ ‎(1)求对商品和服务全好评的次数X的分布列;‎ ‎(2)求X的数学期望和方差.‎ 附:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(,其中n=a+b+c+d)‎ ‎20.(12分)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的离心率,其“准圆”的方程为x2+y2=4.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(II)点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N.‎ ‎(1)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线l1,l2的方程,并证明l1⊥l2;‎ ‎(2)求证:线段MN的长为定值.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=(t﹣1)xex,g(x)=tx+1﹣ex.‎ ‎(Ⅰ)当t≠1时,讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,求t的取值范围.‎ 选修4-4:极坐标与参数方程 ‎22.(10分)已知直线l:3x﹣y﹣6=0,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ﹣4sinθ=0.‎ ‎(Ⅰ)将直线l写成参数方程(t为参数,α∈[0,π),)的形式,并求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线,交l于点A,求|AP|的最值.‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}.‎ ‎(I)求实数m、n的值;‎ ‎(II)设a、b、c均为正数,且a+b+c=n﹣m,求++的最小值.‎ 答案部分 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D A A D D D B D C B 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且2cosB(acosC+ccosA)+b=0.‎ ‎(Ⅰ)求角B的大小;‎ ‎(Ⅱ)若a=3,点D在AC边上且BD⊥AC,BD=,求c.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,‎ 且2cosB(acosC+ccosA)+b=0.‎ 则:2cosB(sinAcosC+sinCcosA)+sinB=0,‎ 整理得:2cosBsin(A+C)=﹣sinB,‎ 由于:0<B<π,‎ 则:sinB≠0,‎ 解得:,‎ 所以:B=.‎ ‎(Ⅱ)点D在AC边上且BD⊥AC,‎ 在直角△BCD中,若a=3,BD=,‎ 解得:,‎ 解得:,‎ 则:,,‎ 所以:cos∠ABD===,‎ 则:在Rt△ABD中,,‎ ‎=.‎ 故:c=5‎ ‎18.(12分)如图1,在矩形ABCD中,AD=2AB=4,E是AD的中点.将△ABE沿BE折起使A到点P的位置,平面PEB⊥平面BCDE,如图2.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面PEC;‎ ‎(Ⅱ)求二面角B﹣PE﹣D的余弦值.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:∵AD=2AB,E为线段AD的中点,‎ ‎∴AB=AE,‎ 取BE中点O,连接PO,则PO⊥BE,‎ 又平面PEB⊥平面BCDE,平面PEB∩平面BCDE=BE,‎ ‎∴PO⊥平面BCDE,则PO⊥EC,‎ 在矩形ABCD中,∴AD=2AB,E为AD的中点,‎ ‎∴BE⊥EC,则EC⊥平面PBE,‎ ‎∴EC⊥PB,‎ 又PB⊥PE,且PE∩EC=E,‎ ‎∴PB⊥平面PEC,而PB⊂平面PBC,‎ ‎∴平面PBC⊥平面PEC;‎ ‎(Ⅱ)解:以OB所在直线为x轴,以平行于EC所在直线为y轴,以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,‎ ‎∵PB=PE=2,则B(,0,0),E(﹣,0,0),P(0,0,),D(﹣2,,0),‎ ‎∴,,=(,,﹣).‎ 设平面PED的一个法向量为,‎ 由,令z=﹣1,则,‎ 又平面PBE的一个法向量为,‎ 则cos<>==.‎ ‎∴二面角B﹣PE﹣D的余弦值为.‎ ‎19.(12分)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,2017年双11期间,某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系,现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.‎ ‎(Ⅰ)完成下面的 2×2列联表,并回答是否有99%的把握,认为商品好评与服务好评有关?‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 合计 ‎200‎ ‎(Ⅱ)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X:‎ ‎(1)求对商品和服务全好评的次数X的分布列;‎ ‎(2)求X的数学期望和方差.‎ 附:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(,其中n=a+b+c+d)‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下:‎ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 ‎80‎ ‎40‎ ‎120‎ 对商品不满意 ‎70‎ ‎10‎ ‎80‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ K2=≈11.111>6.635,‎ 故有99%的把握,认为商品好评与服务好评有关.‎ ‎(Ⅱ)(1)每次购物时,对商品和服务全为好评的概率为,且X的取值可以是0,1,2,3.‎ 其中P(X=0)=()3=,‎ P(X=1)==,‎ P(X=2)=,‎ P(X=3)==,‎ X的分布列为:‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)∵X~B(3,),‎ ‎∴E(X)=,‎ D(X)=3×=.‎ ‎20.(12分)给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的离心率,其“准圆”的方程为x2+y2=4.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(II)点P是椭圆C的“准圆”上的动点,过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N.‎ ‎(1)当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求直线l1,l2的方程,并证明l1⊥l2;‎ ‎(2)求证:线段MN的长为定值.‎ ‎【解答】解:(I)由准圆方程为x2+y2=4,则a2+b2=4,椭圆的离心率e===,‎ 解得:a=,b=1,‎ ‎∴椭圆的标准方程:;‎ ‎(Ⅱ)证明:(1)∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2),‎ 设过点P(0,2)且与椭圆相切的直线为y=kx+2,‎ 联立,整理得(1+3k2)x2+12kx+9=0.‎ ‎∵直线y=kx+2与椭圆相切,∴△=144k2﹣4×9(1+3k2)=0,解得k=±1,‎ ‎∴l1,l2方程为y=x+2,y=﹣x+2.∵=1,=﹣1,‎ ‎∴•=﹣1,则l1⊥l2.‎ ‎(2)①当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设直线l1斜率不存在,‎ 则l1:x=±,‎ 当l1:x=时,l1与准圆交于点(,1)(,﹣1),‎ 此时l2为y=1(或y=﹣1),显然直线l1,l2垂直;‎ 同理可证当l1:x=时,直线l1,l2垂直.‎ ‎②当l1,l2斜率存在时,设点P(x0,y0),其中x02+y02=4.‎ 设经过点P(x0,y0)与椭圆相切的直线为y=t(x﹣x0)+y0,‎ ‎∴由得 (1+3t2)x2+6t(y0﹣tx0)x+3(y0﹣tx0)2﹣3=0.‎ 由△=0化简整理得 (3﹣x02)t2+2x0y0t+1﹣y02=0,‎ ‎∵x02+y02=4.,∴有(3﹣x02)t2+2x0y0t+(x02﹣3)=0.‎ 设l1,l2的斜率分别为t1,t2,‎ ‎∵l1,l2与椭圆相切,∴t1,t2满足上述方程(3﹣x02)t2+2x0y0t+(x02﹣3)=0,‎ ‎∴t1•t2=﹣1,即l1,l2垂直.‎ 综合①②知:∵l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直.‎ ‎∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径,|MN|=4,‎ ‎∴线段MN的长为定值.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=(t﹣1)xex,g(x)=tx+1﹣ex.‎ ‎(Ⅰ)当t≠1时,讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,求t的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=(t﹣1)xex,得f′(x)=(t﹣1)(x+1)ex,‎ 若t>1,则x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)递减,x>﹣1时,f′(x)>0,f(x)递增,‎ 若t<1,则x<﹣1时,f′(x)>0,f(x)递增,x>﹣1时,f′(x)<0,f(x)递减,‎ 故t>1时,f(x)在(﹣∞,﹣1)递减,在(﹣1,+∞)递增,‎ t<1时,f(x)在(﹣∞,﹣1)递增,在(﹣1,+∞)递减;‎ ‎(2)f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,‎ 即(t﹣1)xex﹣tx﹣1+ex≤0对∀x≥0成立,‎ 设h(x)=(t﹣1)xex﹣tx﹣1+ex,‎ h(0)=0,h′(x)=(t﹣1)(x+1)ex﹣t+ex,h′(0)=0,‎ h″(x)=ex[(t﹣1)x+2t﹣1],‎ t=1时,h″(x)=ex≥0,h′(x)在[0,+∞)递增,‎ ‎∴h′(x)≥h′(0)=0,故h(x)在[0,+∞)递增,‎ 故h(x)≥h(0)=0,显然不成立,‎ ‎∴t≠1,则h″(x)=ex(x+)(t﹣1),‎ 令h″(x)=0,则x=﹣,‎ ‎①当﹣≤0即t<或t>1时,‎ 若t≤,则h″(x)在[0,+∞)为负,h′(x)递减,‎ 故有h′(x)≤h′(0)=0,h(x)在[0,+∞)递减,‎ ‎∴h(x)≤h(0)=0成立,‎ 若t≥1,则h″(x)在[0,+∞)上为正,h′(x)递增,‎ 故有h′(x)≥h′(0)=0,故h(x)在[0,+∞)递增,‎ 故h(x)≥h(0)=0,不成立,‎ ‎②﹣≥0即≤t≤1时,‎ h″(x)在[0,﹣)内有h′(x)≥h′(0)=0,h(x)递增,‎ 故h(x)在[0,﹣)内有h(x)≥h(0)=0不成立,‎ 综上,t的范围是(﹣∞,].‎ 选修4-4:极坐标与参数方程 ‎22.(10分)已知直线l:3x﹣y﹣6=0,在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ﹣4sinθ=0.‎ ‎(Ⅰ)将直线l写成参数方程(t为参数,α∈[0,π),)的形式,并求曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线,交l于点A,求|AP|的最值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)直线l:3x﹣y﹣6=0,转化为直角坐标方程为:‎ ‎(t为参数),‎ 曲线C:ρ﹣4sinθ=0.转化为直角坐标方程为:x2+y2﹣4y=0.‎ ‎(Ⅱ)首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为:x2+(y﹣2)2=4,‎ 所以经过圆心,且倾斜角为30°的直线方程为:,‎ 则:,‎ 解得:,‎ 则:=,‎ 则:|AP|的最大值为:,‎ ‎|AP|的最小值为:.‎ 选修4-5:不等式选讲 ‎23.已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}.‎ ‎(I)求实数m、n的值;‎ ‎(II)设a、b、c均为正数,且a+b+c=n﹣m,求++的最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵|x+1|+|2x﹣1|≤3,‎ ‎∴或或,‎ 解得:﹣1≤x≤1,‎ 故m=﹣1,n=1;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)a+b+c=2,‎ 则++‎ ‎=(++)(a+b+c)‎ ‎=[1+1+1+(+)+(+)+(+)]‎ ‎≥+(2+2+2)‎ ‎=+3=,‎ 当且仅当a=b=c=时“=”成立.‎
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