【数学】重庆市沙坪坝区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题(解析版)

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【数学】重庆市沙坪坝区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题(解析版)

www.ks5u.com 重庆市沙坪坝区第一中学2019-2020学年 高二上学期期末考试试题 一、选择题:本题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.直线的斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】将直线方程化为斜截式得,因此,该直线的斜率为.‎ 故选:B.‎ ‎2.若双曲线的焦距为,则实数( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知,双曲线的焦点在轴上,其焦距为,解得.‎ 故选 :D.‎ ‎3.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知,圆是圆心为原点,半径为的圆,抛物线的准线方程为,‎ 由于抛物线的准线方程与圆相切,则,解得.‎ 故选:B.‎ ‎4.函数在区间[-1,1]上的最大值是( )‎ A. 4 B. 2 C. 0 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】令,解得或.‎ ‎,故函数的最大值为,所以本小题选B.‎ ‎5.已知空间中三条不同的直线、、和平面,下列结论正确的是( )‎ A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 ‎【答案】A ‎【解析】对于A选项,若,,由直线与平面垂直的性质定理可知,A选项正确;‎ 对于B选项,若,,则与平行、相交或异面,B选项错误;‎ 对于C选项,若,,则与平行或异面,C选项错误;‎ 对于D选项,若,,则与平行、相交或异面,D选项错误.‎ 故选:A.‎ ‎6.定义在上的函数满足,且,则不等式的解集为 ‎( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】的解集即为的解集 构造函数,则,‎ 因为,所以 所以在上单调递增,且 所以的解集为,‎ 不等式的解集为.‎ 故选C.‎ ‎7.函数的图像大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,.‎ 解不等式,即,得;‎ 解不等式,即,得或.‎ 所以,函数的单调递增区间为和,‎ 单调递减区间为.‎ 令,即,得或;‎ 令,即,得.‎ 所以,符合条件的函数为B选项中的图象,‎ 故选B.‎ ‎8.在三棱锥中,底面,是的中点,已知,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】以点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,‎ 由题意可得:,,,,‎ 则,,‎ ‎,,,‎ 设异面直线与所成角为,则.‎ 本题选择A选项.‎ ‎9.已知双曲线过点且其渐近线方程为,的顶点、恰为 的两焦点,顶点在上,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于双曲线过点,则其焦点在轴,‎ 设该双曲线的标准方程为,则,‎ 双曲线的渐近线方程为,得,‎ 所以,双曲线的标准方程为,其焦距为.‎ ‎,‎ 故选:C.‎ ‎10.已知函数,若,,,则实数、、大小关系为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的定义域为,,该函数为偶函数,‎ 当时,,‎ 则函数在区间上为增函数,则,‎ 指数函数为增函数,则,‎ 对数函数在上为增函数,则,即,‎ ‎,则,因此,.‎ 故选:D.‎ ‎11.已知是椭圆的左焦点,经过原点的直线与椭圆交于两点,若,且,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设椭圆的右焦点F′,连接PF′,QF′,由∠PFQ=120°,则∠FPF′=60°,‎ 由正弦定理定理可知:∠PFF′=30°,∠PF′F=90°,‎ 则|FF′|=|QF|,即2c=|QF|,2a=|PF|+|QF|=3|QF|,‎ ‎∴椭圆的离心率e==,‎ 故选A.‎ ‎12.设表示不大于实数的最大整数,函数,若关于的方程有且只有5个解,则实数的取值范围为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先,确定在x>0上,方程f(x)=1的解.‎ 时,在,‎ ‎,所以由取整意义有[lnx]=-(n+1),‎ 又 即在上,恒有 取n=0,,令此时有一根,‎ 当n≥1时,恒有f(x)-1>1,此时在上无根.‎ 在上,,,‎ 又 所以在上,恒有,‎ ‎.‎ n=1时,在上,有 n=2时,在有 即 所以此时有两根,‎ 这样在有三根,‎ 在显然有一根 所以在有且仅有一根,‎ 由“洛必达法则”‎ 是先增后减,‎ 得或a>0.‎ 单调递增,‎ 即 故选A 二、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分.‎ ‎13.已知函数,的导函数为,则的值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,,‎ 因此,.‎ 故答案为:.‎ ‎14.已知函数,若是函数的极小值点,则实数的值为 ‎________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,定义域为,且,‎ 由题意得,解得,此时,.‎ 令,得或,列表如下:‎ 极大值 极小值 所以,函数在处取得极小值.‎ 故答案为:.‎ ‎15.在正方体中,、分别是、的中点,则直线与平面所成角的正弦值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正方体的棱长为,如下图所示:‎ 连接交于点,则为的中点,‎ 由于、分别是、的中点,,‎ 则直线与平面所成角和直线与平面所成角相等,‎ 设直线与平面所成角为,‎ 则,.‎ 三棱锥的体积为.‎ 是边长为的正三角形,其面积为,‎ 设点到平面的距离,则,‎ ‎,所以,,‎ 因此,直线与平面所成角的正弦值为.‎ 故答案为:.‎ ‎16.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于,两点.‎ 若(为坐标原点),则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,则由抛物线的定义可得 ‎,则,‎ 故,故直线的方程为代入抛物线方程整理可得 ‎,则,则,‎ 所以,应填答案.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数在处的切线为.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)求的单调区间.‎ ‎【解】(1)依题意可得:‎ ‎,‎ 又函数在处的切线为,‎ ‎,解得:‎ ‎(2)由(1)可得:f'(x)=1+lnx,‎ 当时,f'(x)≤0,f(x)单调递减;‎ 当时,f'(x)>0,f(x)单调递增,‎ ‎∴的单调减区间为的单调增区间为.‎ ‎18.如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,,,‎ 平面平面,、分别为、的中点,,‎ ‎,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求三棱锥的体积.‎ ‎【解】(1)因为,为的中点,,且,‎ 四边形为平行四边形,,‎ 又平面,平面,所以平面; ‎ ‎(2)因为,.‎ 因为,,,,‎ 又平面平面,平面平面,平面,‎ 平面,的面积为,‎ 连接,则.‎ 又是线段的中点,,‎ 故三棱锥的体积为.‎ ‎19.已知抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,且.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点,若,求的值.‎ ‎【解】(1)已知抛物线过点,且 则,∴,‎ 故抛物线的方程为;‎ ‎(2)设,,‎ 联立,得,‎ ‎,得,‎ ‎,,‎ 又,则,‎ 或,经检验,当时,直线过坐标原点,不合题意,‎ 又,综上:的值为-8.‎ ‎20.如图1,在直角中,,分别为的中点,连结并延长交于点,将沿折起,使平面平面,如图2所示.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【解】(1)证明:由条件可知,而为的中点, , ‎ 又面面,面面,且, 平面 又因为平面, .‎ ‎(2)由(1)可知,两两相互垂直,如图建立空间直角坐标系,‎ 则: ‎ 易知面的法向量为, ‎ 设平面的法向量为,则:,易得 ‎ 设平面与平面所成锐二面角为,则 ‎21.椭圆:()的离心率为,其左焦点到点的距离是 ‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若直线:被圆:截得的弦长为3,且与椭圆交于,两点,求△面积的最大值.‎ ‎【解】(1)由题意可得,,‎ 解得,,,‎ 即有椭圆的方程为;‎ ‎(2)∵到的距离,‎ ‎∴,∴.‎ 设,,把代入得,‎ ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∵‎ ‎,‎ ‎∴当,即时,.‎ ‎22.(1)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;‎ ‎(2)已知函数,,如果函数 有两个极值点、,求证:.(参考数据:,,,为自然对数的底数)‎ ‎【解】(1)令,其中,且有,‎ ‎,‎ 令,则.‎ ① 当时,即当时,对任意的,,即,‎ 所以,函数在区间上为增函数,当时,,合乎题意;‎ ‎②当时,则或.‎ ‎(i)当时,对任意的,,即,‎ 所以,函数在区间上为增函数,当时,,合乎题意;‎ ‎(ii)当时,设函数的两个极值点分别为、,设,‎ 由韦达定理得,则必有,‎ 当时,,当时,.‎ 所以,,不合乎题意.‎ 综上所述,实数的取值范围是;‎ ‎(2)若,‎ 则有两个不同的零点、.‎ 由题意,相加有,①‎ 相减有,从而,‎ 代入①有,‎ 即,‎ 不妨设,则,由(1)有.‎ 又,‎ 所以,即,‎ 设,则,在单调递增,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,因此.‎
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