- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】重庆市沙坪坝区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题(解析版)
www.ks5u.com 重庆市沙坪坝区第一中学2019-2020学年 高二上学期期末考试试题 一、选择题:本题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线的斜率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将直线方程化为斜截式得,因此,该直线的斜率为. 故选:B. 2.若双曲线的焦距为,则实数( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意知,双曲线的焦点在轴上,其焦距为,解得. 故选 :D. 3.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可知,圆是圆心为原点,半径为的圆,抛物线的准线方程为, 由于抛物线的准线方程与圆相切,则,解得. 故选:B. 4.函数在区间[-1,1]上的最大值是( ) A. 4 B. 2 C. 0 D. -2 【答案】B 【解析】令,解得或. ,故函数的最大值为,所以本小题选B. 5.已知空间中三条不同的直线、、和平面,下列结论正确的是( ) A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 【答案】A 【解析】对于A选项,若,,由直线与平面垂直的性质定理可知,A选项正确; 对于B选项,若,,则与平行、相交或异面,B选项错误; 对于C选项,若,,则与平行或异面,C选项错误; 对于D选项,若,,则与平行、相交或异面,D选项错误. 故选:A. 6.定义在上的函数满足,且,则不等式的解集为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】的解集即为的解集 构造函数,则, 因为,所以 所以在上单调递增,且 所以的解集为, 不等式的解集为. 故选C. 7.函数的图像大致是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,. 解不等式,即,得; 解不等式,即,得或. 所以,函数的单调递增区间为和, 单调递减区间为. 令,即,得或; 令,即,得. 所以,符合条件的函数为B选项中的图象, 故选B. 8.在三棱锥中,底面,是的中点,已知,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】以点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意可得:,,,, 则,, ,,, 设异面直线与所成角为,则. 本题选择A选项. 9.已知双曲线过点且其渐近线方程为,的顶点、恰为 的两焦点,顶点在上,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于双曲线过点,则其焦点在轴, 设该双曲线的标准方程为,则, 双曲线的渐近线方程为,得, 所以,双曲线的标准方程为,其焦距为. , 故选:C. 10.已知函数,若,,,则实数、、大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】函数的定义域为,,该函数为偶函数, 当时,, 则函数在区间上为增函数,则, 指数函数为增函数,则, 对数函数在上为增函数,则,即, ,则,因此,. 故选:D. 11.已知是椭圆的左焦点,经过原点的直线与椭圆交于两点,若,且,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设椭圆的右焦点F′,连接PF′,QF′,由∠PFQ=120°,则∠FPF′=60°, 由正弦定理定理可知:∠PFF′=30°,∠PF′F=90°, 则|FF′|=|QF|,即2c=|QF|,2a=|PF|+|QF|=3|QF|, ∴椭圆的离心率e==, 故选A. 12.设表示不大于实数的最大整数,函数,若关于的方程有且只有5个解,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】首先,确定在x>0上,方程f(x)=1的解. 时,在, ,所以由取整意义有[lnx]=-(n+1), 又 即在上,恒有 取n=0,,令此时有一根, 当n≥1时,恒有f(x)-1>1,此时在上无根. 在上,,, 又 所以在上,恒有, . n=1时,在上,有 n=2时,在有 即 所以此时有两根, 这样在有三根, 在显然有一根 所以在有且仅有一根, 由“洛必达法则” 是先增后减, 得或a>0. 单调递增, 即 故选A 二、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分. 13.已知函数,的导函数为,则的值为_______. 【答案】 【解析】,, 因此,. 故答案为:. 14.已知函数,若是函数的极小值点,则实数的值为 ________. 【答案】 【解析】,定义域为,且, 由题意得,解得,此时,. 令,得或,列表如下: 极大值 极小值 所以,函数在处取得极小值. 故答案为:. 15.在正方体中,、分别是、的中点,则直线与平面所成角的正弦值为________. 【答案】 【解析】设正方体的棱长为,如下图所示: 连接交于点,则为的中点, 由于、分别是、的中点,, 则直线与平面所成角和直线与平面所成角相等, 设直线与平面所成角为, 则,. 三棱锥的体积为. 是边长为的正三角形,其面积为, 设点到平面的距离,则, ,所以,, 因此,直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为:. 16.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于,两点. 若(为坐标原点),则_______. 【答案】 【解析】设,则由抛物线的定义可得 ,则, 故,故直线的方程为代入抛物线方程整理可得 ,则,则, 所以,应填答案. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数在处的切线为. (1)求实数的值; (2)求的单调区间. 【解】(1)依题意可得: , 又函数在处的切线为, ,解得: (2)由(1)可得:f'(x)=1+lnx, 当时,f'(x)≤0,f(x)单调递减; 当时,f'(x)>0,f(x)单调递增, ∴的单调减区间为的单调增区间为. 18.如图,在四棱锥中,四边形为直角梯形,,, 平面平面,、分别为、的中点,, ,. (1)求证:平面; (2)求三棱锥的体积. 【解】(1)因为,为的中点,,且, 四边形为平行四边形,, 又平面,平面,所以平面; (2)因为,. 因为,,,, 又平面平面,平面平面,平面, 平面,的面积为, 连接,则. 又是线段的中点,, 故三棱锥的体积为. 19.已知抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,且. (1)求抛物线的方程; (2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点,若,求的值. 【解】(1)已知抛物线过点,且 则,∴, 故抛物线的方程为; (2)设,, 联立,得, ,得, ,, 又,则, 或,经检验,当时,直线过坐标原点,不合题意, 又,综上:的值为-8. 20.如图1,在直角中,,分别为的中点,连结并延长交于点,将沿折起,使平面平面,如图2所示. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【解】(1)证明:由条件可知,而为的中点, , 又面面,面面,且, 平面 又因为平面, . (2)由(1)可知,两两相互垂直,如图建立空间直角坐标系, 则: 易知面的法向量为, 设平面的法向量为,则:,易得 设平面与平面所成锐二面角为,则 21.椭圆:()的离心率为,其左焦点到点的距离是 . (1)求椭圆的方程; (2)若直线:被圆:截得的弦长为3,且与椭圆交于,两点,求△面积的最大值. 【解】(1)由题意可得,, 解得,,, 即有椭圆的方程为; (2)∵到的距离, ∴,∴. 设,,把代入得, ∴,, ∴ , ∵ , ∴当,即时,. 22.(1)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围; (2)已知函数,,如果函数 有两个极值点、,求证:.(参考数据:,,,为自然对数的底数) 【解】(1)令,其中,且有, , 令,则. ① 当时,即当时,对任意的,,即, 所以,函数在区间上为增函数,当时,,合乎题意; ②当时,则或. (i)当时,对任意的,,即, 所以,函数在区间上为增函数,当时,,合乎题意; (ii)当时,设函数的两个极值点分别为、,设, 由韦达定理得,则必有, 当时,,当时,. 所以,,不合乎题意. 综上所述,实数的取值范围是; (2)若, 则有两个不同的零点、. 由题意,相加有,① 相减有,从而, 代入①有, 即, 不妨设,则,由(1)有. 又, 所以,即, 设,则,在单调递增, 又, , ,因此.查看更多