【数学】2021届一轮复习人教A版概率与统计热点问题学案

【数学】2021届一轮复习人教A版概率与统计热点问题学案

‎2021届一轮复习人教A版 概率与统计热点问题 学案 三年考情分析 热点预测 真题印证 核心素养 统计图表 ‎2018·Ⅰ，3‎ 数学抽象、数据分析 二项分布 ‎2018·Ⅰ，20；2017·Ⅰ，19‎ 数学运算、数据分析 分布列、期望 ‎2017·Ⅲ，18；2016·Ⅰ，19‎ 数学运算、数据分析 正态分布 ‎2017·Ⅰ，19‎ 数据分析 条件概率 ‎2016·Ⅱ，18‎ 数据分析 回归分析 ‎2018·Ⅱ，18；2016·Ⅲ，18‎ 直观想象、数据分析 独立性检验 ‎2018·Ⅲ，18；2017·Ⅱ，18‎ 数据分析 审题答题指引 ‎1.教材与高考对接——统计图表、独立性检验 ‎【题根与题源】(必修3P70茎叶图)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下：‎ 甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；‎ 乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.‎ 绘制甲乙两名运动员得分的茎叶图，根据茎叶图判断哪名运动员的成绩更好？并说明理由.‎ ‎【试题评析】‎ 统计的基本思想是由样本来估计总体，根据茎叶图能够用样本的数字特征估计总体的数字特征，从而作出统计推断.‎ ‎【教材拓展】‎ ‎ 甲、乙两名同学在7次数学测试中的成绩如茎叶图所示，其中甲同学成绩的众数是85，乙同学成绩的中位数是83，试分析甲乙两名同学哪个一个成绩较稳定.‎ 解　根据众数及中位数的概念易得x＝5，y＝3，‎ 故甲同学成绩的平均数为＝85，‎ 乙同学成绩的平均数为＝85，‎ 故甲同学成绩的方差为×(49＋36＋25＋49＋121)＝40，‎ 乙同学成绩的方差为×(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝>40，‎ 故成绩较稳定的是甲.‎ ‎【探究提高】‎ ‎(2018·全国Ⅲ卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图：‎ ‎(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；‎ ‎(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：‎ 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 ‎(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？‎ 附：K2＝，‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 解：(1)第一种生产方式时间集中在区间[80，90]，且平均工作时间1＝84.‎ 第二种生产方式的时间集中在区间[70，80)，且平均工作时间2＝74.7.‎ ‎∴1>2，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，‎ ‎∴第二种生产方式的效率更高.‎ ‎(2)由茎叶图数据得到m＝80.‎ 由此填写列联表如下：‎ 超过m 不超过m 总计 第一种生产方式 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 第二种生产方式 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎(3)根据(2)中的列联表计算.‎ K2＝＝＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.‎ ‎2.教你如何审题——回归分析问题 ‎【例题】 如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.‎ 注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.‎ ‎(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量.‎ 附注：‎ 参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.‎ 参考公式：相关系数r＝，‎ 回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－ .‎ ‎【审题路线】‎ ‎ ‎ ‎【自主解答】‎ ‎ 解　(1)由折线图中数据和附注中参考数据得 ＝4，(ti－)2＝28，＝0.55.‎ (ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89，‎ r≈≈0.99.‎ 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.‎ ‎(2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.10，‎ ＝－ ≈1.331－0.103×4≈0.92.‎ 所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.‎ 将2020年对应的t＝13代入回归方程得＝0.92＋0.10×13＝2.22.‎ 所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为2.22亿吨.‎ ‎【探究提高】‎ 在两个变量的回归分析中要注意以下两点：‎ ‎(1)求回归直线方程要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算.‎ ‎(2)借助散点图，观察两个变量之间的关系.若不是线性关系，则需要根据相关知识转化为线性关系.‎ ‎【尝试训练】 某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第x年与年销售量y(单位：万件)之间的关系如表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎12‎ ‎28‎ ‎42‎ ‎56‎ ‎(1)在图中画出表中数据的散点图；‎ ‎(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合y与x的关系(不必说明理由)；‎ ‎(3)建立y关于x的回归方程，预测第5年的销售量.‎ 参考公式：回归直线x的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ＝＝，＝－.‎ 解　(1)作出的散点图如图：‎ ‎(2)根据散点图观察，可以用线性回归模型拟合y与x的关系.观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出表格：‎ x y x2‎ xy ‎1‎ ‎1‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎12‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎28‎ ‎4‎ ‎56‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎42‎ ‎9‎ ‎126‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎56‎ ‎16‎ ‎224‎ ‎∑‎ ‎10‎ ‎138‎ ‎30‎ ‎418‎ 可得＝，＝，‎ 所以＝＝＝，‎ ＝－＝－×＝－2.‎ 故回归直线方程为＝x－2.‎ ‎(3)当x＝5时，＝×5－2＝71.‎ 故预测第5年的销售量大约为71万件.‎ ‎3.满分答题示范——分布列、期望、方差问题 ‎【例题】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15)‎ ‎[15，20)‎ ‎[20，25)‎ ‎[25，30)‎ ‎[30，35)‎ ‎[35，40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ ‎【规范解答】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.高考状元满分心得 ‎❶得步骤分：抓住得分点的步骤、步步为赢：如第(1)问，指出随机变量X所有的可能取值，有则得1分，无则没有分；随机变量X 的各个值对应的概率也是每个1分，列出其分布列是1分，每个步骤都有分，都是得分点，第(2)问也是如此.‎ ‎❷得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分，如第(2)问中，根据n的范围求E(Y)，即当300≤n≤500时，E(Y)＝640－2n；当200≤n≤300时，E(Y)＝160＋1.2n，若这两个关键运算结果有误，即使有计算过程和步骤也不得分.‎ ‎❸得计算分：解题过程中计算正确，是得满分的保证，如第(1)问中三个概率值的计算要正确，否则不得分.‎ ‎【构建模板】‎ ‎ ‎ ‎【规范训练】 (2018·佛山模拟)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.‎ ‎(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；‎ ‎(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？‎ 解　(1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.‎ P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；‎ P(ξ＝3)＝＝.‎ 应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.‎ 设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0，1，2，3.‎ P(η＝0)＝C＝；‎ P(η＝1)＝C＝；‎ P(η＝2)＝C＝；‎ P(η＝3)＝C＝.‎ 应聘者乙正确完成题数η的分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.‎ ‎(或因为η～B，所以E(η)＝3×＝2)‎ ‎(2)因为D(ξ)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝，D(η)＝3××＝.‎ 所以D(ξ)

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