河南广东等省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学（理）试题 Word版含解析

河南广东等省2020届高三普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，则集合的真子集有（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合，确定集合中元素的个数，利用真子集个数公式可求得结果.‎ ‎【详解】由，集合有个元素，‎ 因此，集合的真子集个数为个.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查集合的真子集个数，需要解一元二次不等式，以及需要注意，属简单题．‎ ‎2.已知是虚数单位，则化简的结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出，再利用的周期性可求得结果.‎ ‎【详解】，又，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数指数幂的计算，涉及复数的除法运算以及的周期性的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎3.若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）‎ ‎ ‎ A. 4500元 B. 5000元 C. 5500元 D. 6000元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设目前该教师的退休金为元，利用条形图和折线图列出方程，可得结果.‎ ‎【详解】刚退休时就医费用为：元，现在为就医费用占退休金的10%，‎ 设目前该教师的退休金为元，则由题意得 ‎，‎ 解得 ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题通过统计图表考查考生的数据处理能力，属于简单题 ‎4.将包括甲、乙、丙在内的人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.‎ ‎【详解】①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有种方法；‎ - 24 -‎ ‎②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有种方法；‎ ‎③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有种方法．‎ 所以满足条件的概率为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题．‎ ‎5.已知抛物线的焦点为，过点和抛物线上一点的直线交抛物线于另一点，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线的方程，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的横坐标，利用抛物线的定义可求得的值.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，所以，‎ 由得：，‎ ‎，，，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查过拋物线焦点的弦，考查方程思想的应用，考查计算能力，属中等题．‎ ‎6.在所有棱长都相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 24 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正三棱柱的所有边长均为，取的中点，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线与平面所成角的正弦值，进而可得出该角的余弦值.‎ ‎【详解】设正三棱柱的所有边长均为，取的中点，连接，‎ 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 如下图所示：‎ 则点、、、、，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由，得，取，则，，，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题以直三棱柱为材料考查了直线与平面所成 - 24 -‎ 角，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和计算能力，属中等题．‎ ‎7.已知点，点为不等式组所表示平面区域上的任意一点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组所表示的平面区域，标出点的位置，利用图形可观察出使得最小时点的位置，利用两点间的距离公式可求得的最小值.‎ ‎【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图所示：‎ 联立，解得，‎ 由图知的最小值即为、两点间的距离，‎ 所以的最小值为.‎ 故选：C．‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等题．‎ ‎8.给出下列说法：‎ ‎①定义在上的偶函数的最大值为；‎ ‎②“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎③命题“，”的否定形式是“，”．‎ 其中正确说法的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的定义求得、的值，利用二次函数的基本性质可判断①的正误；解方程，利用充分条件和必要条件的定义可判断②的正误；根据特称命题的否定可判断③的正误.综合可得出结论.‎ ‎【详解】对于命题①，二次函数的对称轴为直线，‎ 该函数为偶函数，则，得，且定义域关于原点对称，则，‎ 所以，，定义域为，，命题①正确；‎ 对于命题②，解方程得，‎ 所以，，，‎ 则“”是“”的充分不必要条件，命题②正确；‎ 对于命题③，由特称命题的否定可知③正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题以考查命题真假性的形式，考查函数奇偶性、二次函数最值，充分条件与必要条件 - 24 -‎ 还有特称命题的否定，考查的知识点较多，能较好地检测考生的逻辑推理能力，属中等题．‎ ‎9.已知， ，，，则、、间的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出，利用指数函数和对数函数的单调性比较、和三个数的大小关系，再由指数函数的单调性可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】，所以，对数函数为上增函数，则，‎ ‎，‎ 又指数函数为上的增函数，故，即.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属中等题．‎ ‎10.元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（秤斤，斤两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给个人，则得银最少的一个人得银（ ）‎ A. 两 B. 两 C. 两 D. 两 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出银的质量为两，设分银最少的为两，由题意可知人的分银量构成首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式可求得的值.‎ ‎【详解】共有银两，‎ 设分银最少的为两，则人的分银量构成首项为，公比为2的等比数列，‎ - 24 -‎ 故有，所以，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题以元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提出的问题为背景，贴近生活，考查了等比数列的求和问题，本题注重考查考生的阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力，属中等题．‎ ‎11.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用边角互化思想结合等式可得，利用边角互化思想可得，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值.‎ ‎【详解】，，即，‎ ‎、均为锐角且，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题．‎ ‎12.已知为奇函数，为偶函数，且，不等式 - 24 -‎ 对恒成立，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为奇函数，函数为偶函数，利用方程组法求出这两个函数的解析式，由得出，换元，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的最大值.‎ ‎【详解】函数为奇函数，为偶函数，且，①‎ ‎，即，②‎ ‎①②得：，，，‎ 由得，‎ 令，，则.‎ 当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.‎ 所以，当时，函数取得最小值，即，‎ ‎.‎ - 24 -‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性．恒成立问题，需要结合导数求函数的最值，属于难题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.已知向量，，则在方向上的投影等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设与的夹角，利用向量的数量积的坐标运算可求得在方向上的投影为.‎ ‎【详解】设与的夹角，则在方向上的投影为．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题通过求一个向量在另一个向量上的投影，考查平面向量的坐标运算，属简单题．‎ ‎14.在中，，、是双曲线的左、右焦点，点在上，且，则的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦定理求出，利用双曲线的定义建立与的等量关系，进而可求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】由题意，，，中，，‎ ‎．‎ 由双曲线的定义得，得：．‎ - 24 -‎ 因此，该双曲线的离心率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率问题，涉及余弦定理与双曲线定义的应用，属中等题．‎ ‎15.已知函数是奇函数，且在上单调递减，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据函数为奇函数结合的取值范围可求得的值，化简可得，由求得，可得出，进而得出关于的不等式组，由此可得出实数的最大值.‎ ‎【详解】函数是奇函数，则，‎ ‎，，.‎ ‎，.‎ 函数在区间上单调递减，则，‎ ‎，解得，‎ 因此，的最大值是.‎ 故答案为：.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，主要考查利用奇偶性与单调性求参数，考查计算能力，属中等题．‎ ‎16.已知三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图形，求的中点为，连接，确定外接球球心在线段上，设外接球的半径为，可得出，然后在中利用勾股定理可求得的值，最后利用球体体积公式可求得结果.‎ ‎【详解】平面平面，，取的中点为，连接，‎ 的外接圆圆心为点，则外接球的球心在上，且，，，‎ 设外接球半径为，则，‎ 中，，即，得，‎ 因此，三棱锥的外接球的体积为．‎ 故答案为：.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查外接球体积的计算，解答时要分析几何体的结构，确定球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答 ‎（一）必考题：共60分 ‎17.已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和为，证明：．‎ ‎【答案】（1）．（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令求得的值，令，由得出，两式相减得出，由此可得出数列为常数列，进而可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）利用放缩法得出，再利用不等式的基本性质和裂项求和法可证得所证不成立成立.‎ ‎【详解】（1）当时，，即，‎ 当时，①，‎ ‎②，‎ ‎①②，得：，即，‎ ‎，且，‎ 数列是以每一项均为的常数列，则，即；‎ - 24 -‎ ‎（2）由（1）得，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题第（1）问通过给出数列的项与其前项和的关系，求的递推关系式，进一步求数列的前项和，第（2）问考查了用裂项相消法求和，主要考查考生的基础知识和基本技能是否扎实，属中等题．‎ ‎18.如图，在以、、、、、为顶点五面体中，四边形为正方形，， ，．‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明出平面，然后利用线面平行的性质定理可证明出，再利用空间平行线的传递性可得出结论；‎ ‎（2）证明出平面平面，然后作，垂足为，可得出平面，由此以点为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，为单位长建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）四边形为正方形，，‎ 平面，平面，平面，‎ 平面，平面平面，，因此，；‎ ‎（），，，平面，‎ - 24 -‎ 平面，平面平面，‎ 作，垂足为，平面，平面平面，平面，‎ 以点为坐标原点，方向为轴正方向，为轴正方向，为单位长，如图建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，，，．‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，取，则，，所以， ，‎ 又，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则即，令，则，，，‎ 设二面角的平面角为，．‎ 即二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题第（1）问考查了空间中直线、平面平行的判定定理和性质定理，第（2）问求二面角，考查空间向量坐标运算，属中等题．‎ ‎19.已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足 - 24 -‎ ‎.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设,过点的动直线与曲线 交于(不同于)两点.问：直线与的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.‎ ‎【答案】(1) ;(2)是定值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,根据,用 表示,代入即可求出轨迹的方程.‎ ‎(2)设出直线方程,与轨迹的方程联立,由韦达定理求出交点坐标的关系,对斜率之比进行化简即可判断.‎ ‎【详解】(1)解:设,则..‎ ‎ 解得 ‎ ‎ 在上, ,整理得 故动点的轨迹的方程为.‎ ‎(2)解:由题意知, 的斜率不为0,则设, ,‎ 与曲线 方程联立得 ,整理得 ‎ 则 ‎ 直线的斜率,直线的斜率 此时 ‎ - 24 -‎ 所以直线与的斜率之比是定值,为.‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程,考查了直线与椭圆的位置关系.对于过定点的直线问题,一般在设的时候,如果可以确定斜率存在,则可用点斜式;若可以确定斜率不为0,但不确定斜率存在与否,则可设直线方程为.本题难点是,有韦达定理找出.‎ ‎20.某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗、、．经过引种实验发现，引种树苗的自然成活率为，引种树苗、的自然成活率均为．‎ ‎（1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及其数学期望；‎ ‎（2）将（1）中的数学期望取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率．该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活．‎ ‎①求一棵种树苗最终成活的概率；‎ ‎②若每棵树苗引种最终成活可获利元，不成活的每棵亏损元，该农户为了获利期望不低于万元，问至少要引种种树苗多少棵？‎ ‎【答案】（1）分布列见解析，；（2）①；②棵.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得出随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得随机变量的数学期望；‎ ‎（2）①由（1）知当时，最大，然后分一棵种树苗自然成活和非自然成活两种情况，可求得所求事件的概率；‎ ‎②记为棵树苗的成活棵数，由题意可知，利用二项分布的期望公式得出，根据题意得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解.‎ ‎【详解】（1）依题意，的所有可能值为、、、，‎ 则，‎ ‎，‎ - 24 -‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，随机变量的分布列为：‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）知当时，取得最大值．‎ ‎①一棵种树苗最终成活的概率为：，‎ ‎②记为棵树苗的成活棵数，则，，‎ ‎，．‎ 所以该农户至少要种植棵树苗，才可获利不低于万元．‎ ‎【点睛】本题通过“果树种植”的例子，第（1）问考查了随机变量及其分布列，数学期望等基础知识点，第（2）问考查了考生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属中等题．‎ ‎21.已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）的最大值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得出，进而可求得实数的值；‎ ‎（2）求得，由参变量分离法得出，构造函数 - 24 -‎ ‎，利用导数求出函数在区间上的最小值，进而可得出整数的最大值.‎ ‎【详解】（1），，‎ 函数的图象在处的切线斜率为，，‎ 即，因此，；‎ ‎（2）由（）知．‎ 对任意恒成立，对任意恒成立，‎ 令，则，‎ 令，则，‎ ‎，，在为增函数，‎ ‎，，‎ 存在，使，‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增.‎ ‎，‎ 故有对恒成立．‎ ‎，，因此，的最大值为．‎ ‎【点睛】本题第（1）问考查切线问题，较基础；第（2）问考查恒成立问题，使用适当的变换，可以归结为函数的最值问题．需要注意的是，这里需要用到设而不求的未知数的技巧，主要考查了转化与化归思想的使用，数形结合能力和运算求解能力，对考生的要求较高，属难题．‎ - 24 -‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22.以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线：垂直，求点的直角坐标；‎ ‎（2）设直线与曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（1）点的坐标为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出曲线的普通方程，根据题意求出直线的方程，再将直线的方程与曲线的方程联立，即可求得点的坐标；‎ ‎（2）设直线的方程为（其中为直线的斜率），求出直线与半圆相切时直线的斜率的值，设点，，，求出直线、的斜率，利用数形结合思想可求得直线的斜率的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由，所以，曲线的直角坐标方程为：，‎ 点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线：垂直，‎ 直线与直线：平行，‎ 直线的斜率，即的方程为，‎ 由，得：．‎ - 24 -‎ 即点的坐标为；‎ ‎（2）将直线化为普通方程：（为直线的斜率），‎ 当直线与半圆相切时，则有．‎ ‎，或，‎ 设点，，，则，．‎ 由图象知，当直线与半圆相切时，则，此时.‎ 因此，当直线与半圆有且只有一个公共点时，直线的斜率的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题第（1）问考查极坐标与直角坐标的转化，圆的切线问题；第（2）问考查利用直线与圆位置关系求参数，考查数形结合思想的应用，属中等题．‎ ‎23.设函数，.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式在实数范围内解集为空集，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数表示为分段函数的形式，然后分、、三段解不等式，综合可得出该不等式的解集；‎ ‎（2）由题意可知关于的不等式恒成立，进而得出，求出函数的最小值，然后解不等式即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数可化为．‎ 当时，由，可得，解得，此时；‎ 当时，由，可得，解得，此时；‎ 当时，由，得，解得，此时.‎ 综上所述，不等式的解集为；‎ ‎（2）关于的不等式在实数范围内解集为空集，‎ 则关于的不等式恒成立，所以，.‎ 当时，，此时，函数单调递减，则；‎ 当时，，此时，函数单调递增，则，即；‎ 当时，，此时函数单调递增，则.‎ 综上所述，.‎ ‎，即，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题第（1）问是求解含绝对值的不等式，是基础问题；第（2）问以“不等式无解”的方式提出问题，其实可以转化为恒成立问题，最终转化为最值问题，属中等题．‎ ‎ ‎ - 24 -‎ - 24 -‎