2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省大庆市铁人中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意先求出集合N，然后根据交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：，又，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题.‎ ‎2．设，，则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先分析得到，再比较b,c的大小关系得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ ‎,‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3．设函数，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】推导出f（2）1，从而f（f（2））＝f（1），由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x），‎ ‎∴f（2）1，‎ f（f（2））＝f（1）＝12＝1．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎4．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 根据函数奇偶性和单调性，‎ A，（0，+∞）上是单调递减，错误 B，偶函数，（0，+∞）上是递增，正确．‎ C，奇函数，错误，‎ D，x＞0时，（0，+∞）上是函数递减，错误，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键 ‎5．在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.‎ ‎【详解】‎ 函数，与，‎ 答案A没有幂函数图像，‎ 答案B.中，中，不符合，‎ 答案C中，中，不符合，‎ 答案D中，中，符合，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.‎ ‎6．已知则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用及诱导公式求解可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查角的变换和诱导公式的运用，考查变换和应用能力，解题时注意等号前后的符号是否要改变，属容易题．‎ ‎7．方程log2x+3x-2=0的根所在的区间为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】构建函数，判断函数在定义域上为单调增函数，再用零点存在定理判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：构建函数f（x）＝log2x+3x﹣2，函数在R上连续单调增函数，‎ ‎∵f（1）＝3﹣2＞0，f（）＝﹣12＜0，‎ ‎∴f（x）＝log2x+3x﹣2的零点所在区间为（，1），‎ ‎∴方程log2x+3x﹣2＝0的根所在的区间为（，1），‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方程与函数之间的联系，考查零点存在定理的运用，属于基础题．‎ ‎8．函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】题意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，结合不等式的恒成立对k进行分类讨论即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，kx2﹣kx+1＞0恒成立，‎ 当k＝0时，1＞0恒成立，‎ 当k≠0时，，‎ 解可得，0＜k＜4，‎ 综上可得，k的范围[0，4）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的定义域恒成立问题，体现了转化及分类讨论思想的应用．‎ ‎9．已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将a＝sin利用诱导公式化为 a＝sin，利用角的范围判断a>0>b>-1,而c＜﹣1．大小关系即可确定．‎ ‎【详解】‎ a＝sin;∵π，‎ 即﹣1＜b＜0．‎ 又正切函数在（0，）上单调递增，‎ ‎∵；‎ ‎∴tantan1；‎ ‎∴c＝tan（）＝﹣tan1，‎ ‎∴a＞0＞b＞﹣1＞c，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查非特殊角三角函数值大小比较，可化为同角或同名函数再进行比较，用到的知识有同角三角函数基本关系式，三角函数的单调性．‎ ‎10．在平面直角坐标系中，为坐标原点，为单位圆上一点，以轴为始边，为终边的角为，，若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得点的坐标．‎ ‎【详解】‎ 为单位圆上一点，以轴为始边，为终边的角为，，‎ 若将绕点顺时针旋转至，则点的横坐标为，‎ 点的纵坐标为，故点的坐标为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，考查基本的运算求解能力．‎ ‎11．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造特殊函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论 ‎【详解】‎ 构造特殊函数f（x）＝﹣x2+1，‎ 当x＞0时，0，得﹣x2+1＜0，即x＞1，‎ 当x＜0时，得﹣x2+1＞0，﹣1＜x＜0，‎ 故解集为：（﹣1，0）∪（1，+∞），‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的解法，构造特殊函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．‎ ‎12．已知函数,则方程的实数根的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数 ,将方程看作交点个数，运用图象判断根的个数．‎ ‎【详解】‎ 画出函数 令有两解 ，则分别有3个，2个解，故方程的实数根的个数是3+2=5个 故选：D ‎【点睛】‎ 本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．幂函数在上为减函数，则的值为______　；‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意可得m2﹣3m+3＝1，求得m值，再满足3m﹣4＜0即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4是幂函数，‎ ‎∴m2﹣3m+3＝1，即m2﹣3m+2＝0，解得m＝1或m＝2．‎ 又幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4在（0，+∞）上为减函数，‎ ‎∴3m﹣4＜0，即m，‎ 故m＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的性质，明确m2﹣3m+3＝1是关键，是基础题．‎ ‎14．函数的单调增区间是____________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据条件先把的系数化正，再求出函数的递增区间即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵y＝sin（）＝﹣sin（），‎ ‎∴由2kπ2kπ，k∈Z．‎ 得4kπx≤4kπ，k∈Z．‎ ‎∴当k＝0时，递增区间为[，2π]，‎ 当k取其它值时与区间[0，2π]无交集；‎ 即在[0，2π]内的单调增区间是[，2π]．‎ 故答案为：[，2π]．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的单调性的应用，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于基础题．‎ ‎15．函数在是减函数，则的范围是________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意利用复合函数的单调性，可得 函数y＝﹣x2+ax+3在[1，2]是减函数且 y＞0，故有 ，由此求得a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）＝log2（﹣x2+ax+3）在[1，2]是减函数，‎ ‎∴函数y＝﹣x2+ax+3在[1，2]是减函数且 y＞0，‎ ‎∴，求得a≤2，‎ 故答案为：（，2]．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，注意保证真数大于0，属于中档题．‎ ‎16．定义域为的函数满足，当时， .若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以当时，，‎ 则，‎ 当时，,当时，,‎ 所以当时，的最小值是，‎ 又因为存在，使得不等式成立，等价于，‎ 则, 则实数的取值范围是.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】（1）解不等式log2（x+1）＜2，求出集合A，解不等式，求出集合B，再求A∩B．‎ ‎（2）由B∩C＝B得出B⊆C，根据集合包含关系列出不等式组，解出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵log2（x+1）＜2，∴0＜x+1＜4，∴﹣1＜x＜3，∴集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，‎ 又∵，∴﹣1≤x＜2，∴集合B＝{x|﹣1≤x＜2}，‎ ‎∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}；‎ ‎（2）∵B∩C＝B，∴B⊆C，‎ 又∵集合B＝{x|﹣1≤x＜2}，集合C＝{x|2a﹣1＜x≤a+5}，‎ ‎∴，解得：﹣3≤a＜0，‎ ‎∴a的取值范围为：[﹣3，0）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的基本运算，以及解对数不等式，指数不等式，注意端点的开闭，是基础题．‎ ‎18．（1）已知，，求的值；‎ ‎（2）已知=2，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）把已知等式两边平方，求得sinxcosx，进一步求解sinx﹣cosx，与已知联立求解sinx与cosx的值，则tanx的值可求；‎ ‎（2）直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由①，‎ 两边 平方，，故，‎ ‎，，所以②，‎ 由①②解得， 所以 ‎（2）原式=‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．‎ ‎19．已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期、单调区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值和最大值.‎ ‎【答案】(1) ,增区间是，减区间是 (2) ，‎ ‎【解析】（1）根据余弦函数的图象与性质，求出f（x）的最小正周期和单调增、减区间；‎ ‎（2）求出x∈[，]时2x的取值范围，从而求得f（x）的最大最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数f（x）cos（2x）中，它的最小正周期为Tπ，‎ 令﹣π+2kπ≤2x2kπ，k∈Z，‎ 解得kπ≤xkπ，k∈Z，‎ 所以f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；‎ 令2kπ≤2xπ+2kπ，k∈Z，‎ 解得kπ≤xkπ，k∈Z，‎ 所以f（x）的单调减区间为[kπ，kπ]，k∈Z；‎ ‎（2）x∈[，]时，2x≤π，所以2x；‎ 令2x，解得x，此时f（x）取得最小值为f（）（）＝﹣1；‎ 令2x0，解得x，此时f（x）取得最大值为f（）1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，熟记单调区间是关键，是基础题．‎ ‎20．已知二次函数 时，求函数的最小值 若函数有两个零点，在区间上只有一个零点，求实数取值范围 ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）由函数f（x）对称轴为x＝m，开口向上，然后对m进行分类讨论，结合二次函数的性质即可求解，‎ ‎（2）由题意结合零点判定定理即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数对称轴为,‎ 当时，在单调递增，故 时，在先减后增，故 时，在单调递减，故 ‎（2）函数，在区间上只有一个零点 ‎，得.‎ 考虑边界情况：‎ 由，得，，或，‎ 满足 由，得，∴或，‎ 综上，得. ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数闭区间上的最值求解及函数的零点判定定理的应用，体现了分类讨论思想的应用．‎ ‎21．（1）判断函数在上的单调性并证明你的结论？‎ ‎（2）求使不等式在上恒成立时的实数的取值范围？‎ ‎【答案】(1) 在上是减函数，在上是增函数. 证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】（1）f（x）为对勾函数，分类讨论证明单调性，（2）分离参数，利用（1）的结论求最值可求解 ‎【详解】‎ ‎（1）在上是减函数，在上是增函数.‎ 证明：设任意，则 ‎= ‎ 又设，则故　 ‎ 在上是减函数 ‎ 又设，则故　　‎ 在上是增函数. ‎ ‎（2）不等式在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立 ‎ 由（1）中结论，可知函数在上的最大值为，‎ 此时 ‎ 要使原命题成立，当且仅当 ‎ 解得或 实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性和恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若存在，使得，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若对于恒成立，试问是否存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）不存在实数，使得成立.‎ ‎【解析】（1）由可得，根据指数函数的单调性可得，从而可得结果； ‎ ‎（2）设函数，在区间上的值域分别为，，存在，使得，等价于，根据单调性求出两个函数的值域，利用交集的定义列不等式求解即可；（3）由对于恒成立，可得，且，结合函数的单调性可得，，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）即，∴，∴.‎ ‎（2）设函数，在区间上的值域分别为，，‎ 因为存在，使得，‎ 所以，‎ ‎∵在上为增函数，∴，‎ ‎∵，，∴，∴.‎ ‎∴即.‎ ‎（3）∵对于恒成立，‎ ‎∴，，且.‎ ‎∵为增函数，且时，，∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴不存在实数，使得成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数的单调性、函数的值域以及不等式恒成立问题，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.‎