2018-2019学年河南省洛阳市第一中学高一3月月考数学试题（解析版）

2018-2019学年河南省洛阳市第一中学高一3月月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河南省洛阳市第一中学高一3月月考数学试题 一、单选题 ‎1．终边在直线y=x上的角α的集合是( )．‎ A．{α|α=k•360°+45°，k∈Z} B．{α|α=k•360°+225°，k∈Z}‎ C．{α|α=k•180°+45°，k∈Z} D．{α|α=k•180°-45°，k∈Z}‎ ‎【答案】C ‎【解析】终边在直线上的角有两类，即终边分别在第一、三象限内，然后根据终边相同的角的表示方法得到两类角的集合，再求并集后可得所求．‎ ‎【详解】‎ 由题意得终边在直线上的角的集合为 ‎．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题时注意两点：（1）终边与角相同的角连同角在内，可以构成一个集合 ‎；（2）由于角的终边为射线，所以终边在一条直线上的角应包括两类．‎ ‎2． =（ ）‎ A． B． C． D．-‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据诱导公式,化简即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由诱导公式可得 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了利用诱导公式化简三角函数并求值，属于基础题。‎ ‎3．给出下列四个命题：‎ ‎①是第二象限角；②是第三象限角；③是第四象限角；④是第一象限角.其中正确的命题有( )‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】C ‎【解析】利用象限角的定义逐一判断每一个选项的正误.‎ ‎【详解】‎ ‎－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，所以②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.‎ 故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查象限角的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设出圆的半径，表示出边长；利用弧长公式即可求得圆心角的弧度数。‎ ‎【详解】‎ 设圆的半径为r，则圆内接正方形的边长为 ‎ 由弧长公式可得 则弧度数为 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了圆内接正多边形的边长与半径关系，弧长与圆心角关系，属于基础题。‎ ‎5．如果，那么的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由诱导公式，可求得的值，再根据诱导公式化简即可。‎ ‎【详解】‎ 根据诱导公式，‎ 所以 而 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式在三角函数式化简中的应用，属于基础题。‎ ‎6．已知，则+1的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据同角三角函数关系式及，可求得，代入即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由同角三角函数关系式，‎ ‎，解得 所以 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数关系式的应用，属于基础题。‎ ‎7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三角函数的图象，求出周期T，再求得；再根据最值判断出A，通过最高点的坐标求得的值即可。‎ ‎【详解】‎ 由函数图象可知，所以 ‎ 根据周期公式，所以 ‎ 由图象的最小值可知 ‎ 所以，最低点坐标为 代入解析式得 ‎ ‎ 解得 ‎ 所以解析式为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数图象的求法，属于基础题。‎ ‎8．将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】的图象沿轴向右平移个单位，即，化简后求得的表达式.‎ ‎【详解】‎ 依题意的图象沿轴向右平移个单位，得到，即，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数图像变换，属于基础题.变换过程中要注意的系数的影响.‎ ‎9．已知为第二象限角，则的值是（   ）‎ A．-1 B．1 C．-3 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵为第二象限角，‎ ‎∴。‎ ‎∴。选B。‎ ‎10．已知函数的部分图象如图，则　　（ ）‎ A． B． C．0 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意得，，因为，周期为，一个周期的和为零，所以0，选B.‎ ‎【考点】三角函数解析式及周期性质 ‎11．给出下列命题：‎ ‎①正切函数图象的对称中心是唯一的；‎ ‎②若函数的图像关于直线对称，则这样的函数是不唯一的；‎ ‎③若，是第一象限角，且，则；‎ ‎④若是定义在上的奇函数，它的最小正周期是，则．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】①中，由正切函数的性质可知，正切函数的对称中心是不唯一的，所以是错误的；‎ ‎②中，图象关于直线的函数由多个，所以是正确的；‎ ‎③中，如，此时，此时，所以不正确；④中，由，，所以，所以正确，‎ ‎【详解】‎ 由题意，①中，由正切函数的性质可知，正切函数的对称中心是不唯一的，所以是错误的；‎ ‎②中，图象关于直线的函数由多个，所以是正确的；‎ ‎③中，若是第一象限角，且，‎ 如，此时，此时，所以不正确；④中，若函数是定义在上的奇函数，它的最小正周期为，‎ 则，，所以，所以正确，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中熟记三角函数的相关知识，逐个判定是解答的关键，解答时要认真审题，注意函数性质的合理运用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题．‎ ‎12．已知函数是偶函数，且，若，，则下列说法错误的是 （ ）‎ A．函数的最小正周期是10‎ B．对任意的，都有 C．函数的图像关于直线对称 D．函数的图像关于中心对称 ‎【答案】A ‎【解析】根据的为偶函数以及，可得到函数是周期为的周期函数，假设出符合题意的函数.对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项.‎ ‎【详解】‎ 由于是偶函数，且，所以函数是周期为的周期函数，不妨设.对于选项，由于，所以函数的最小正周期为，故A选项说法错误.对于B选项，函数，由于是的周期，故是的周期，故，故B选项说法正确.对于C选项，由于，结合前面分析可知，故C选项判断正确.对于D选项.， ，故函数关于对称，D选项说法正确.综上所述，本小题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性等知识，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知是第四象限角，且，则_______，________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由为第四象限角，且的值，利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可确定出的值，进而确定的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵是第四象限角，且，‎ ‎∴，即，‎ 将其代入恒等式可得，‎ 即，（舍负），，‎ 故答案为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.‎ ‎14．当时，函数的值域为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据同角三角函数关系式，将化为关于的表达式，再根据x的取值范围即可求出值域。‎ ‎【详解】‎ 因为 所以 因为，所以 ‎ 所以 即的值域为 ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数关系式的应用，余弦函数值域的求法，属于基础题。‎ ‎15．已知，则____．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数g（x）＝‎ 满足g（﹣x）＝＝﹣g（x），‎ 所以g（x）是奇函数．‎ 函数，f（a）＝4，‎ 可得f（a）＝，可得＝2，‎ 则f（﹣a）＝（﹣a）+2＝﹣2+2＝0．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力．‎ ‎16．已知函数 则函数（，是自然对数的底数）的所有零点之和为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意结合函数的解析式和函数的对称性确定所有零点之和即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，，函数在定义域内单调递增，‎ 由可得.‎ 当时，的图像关于对称，‎ 绘制函数图像如图所示，易知两个零点之和为，‎ 综上可得，函数的所有零点之和为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数零点的定义，函数对称性的应用，分段函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ 三、解答题 ‎17．(1)已知,求的值；‎ ‎(2)已知, ,求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】(1)由诱导公式化简原式 ，令其分母为1，结合，利用同角三角函数的关系求解即可；（2）先求出的平方的值，利用判断的符号，再开平方即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)原式 = sinacosa= =.‎ ‎(2) ∵sinacosa =, ∴ (sina - cosa)2 = 1 - 2sinacosa =, ‎ ‎∵0 < a <, ∴ sina < cosa, ∴sina - cosa = -.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式，以及同角三角函数之间的关系（平方关系）的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.‎ ‎18．已知函数 ‎（1）若,求的值.‎ ‎（2）若,且, 求的值；‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据同角三角函数关系式，将化简，代入中，即可求出的值。‎ ‎（2）先求得的值，进而求得的值，化简即可得解。‎ ‎【详解】‎ 解: ‎ ‎（1）由得, ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ 又，‎ ‎ ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数关系式的应用，三角函数化简求值，属于基础题。‎ ‎19．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0‎ 且函数表达式为． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得．‎ 因为的对称中心为，．‎ 令，解得， ．‎ 由于函数的图象关于点成中心对称，令，‎ 解得，．由可知，当时，取得最小值． ‎ ‎【考点】“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．‎ ‎20．已知函数。‎ ‎（1）求函数f(x)的周期；‎ ‎（2）求函数f(x)的单增区间；‎ ‎（3）求函数f(x)在上的值域。‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）先由诱导公式化简函数表达式，再根据周期公式即可求得周期。‎ ‎（2）根据正弦函数的单调区间即可求得解，注意函数式前的符号。‎ ‎（3）根据x的取值范围，求得正弦函数的值域即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数 ‎（2）由 得 单调增区间为 ‎（3）由 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数诱导公式的简单应用，三角函数的周期、单调性、值域的求解，属于基础题。‎ ‎21．已知函数,,‎ ‎⑴时,求函数的最大值和最小值;‎ ‎⑵求的取值范围,使在上是单调函数.‎ ‎【答案】（1）当x＝时，f(x)取得最小值，为－，当x＝－1时，f(x)取得最大值，为；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：⑴把－代入，通过配方求出二次函数的对称轴，求出函数的最大值和最小值；‎ ‎⑵通过配方求出二次函数的对称轴，据二次函数的单调性与对称轴的关系，列出不等式，通过解三角不等式求出的取值范围；‎ 解析：(1)当θ＝－时，‎ f(x)＝x2－x－1＝－，x∈[－1， ]．‎ ‎∴当x＝时，f(x)取得最小值，为－；‎ 当x＝－1时，f(x)取得最大值，为.‎ ‎(2)函数f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ的图象的对称轴为x＝－tan θ.‎ ‎∵y＝f(x)在区间[－1，]上单调，‎ ‎∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，‎ 即tan θ≥1或tan θ≤－.‎ 又θ∈，‎ ‎∴θ的取值范围是∪.‎ 点睛：本题主要考查了二次函数的最值的求法及其几何意义，函数单调性的性质以及正切函数的单调性，还考查了在对称轴处分成两个单调区间。求出函数的解析式，根据二次函数的性质即可求出函数的最值，通过二次函数的性质得到函数的单调性，求出的范围，即可求出的取值范围。‎ ‎22．设圆C满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程．‎ ‎【答案】解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2。 又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r2=a2+1。从而得2b2-a2=1。又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2‎ ‎=1，当且仅当a=b时，上式等号成立，从而要使d取得最小值，则应有，解此方程组得或。又由r2=2b2知r=。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。------10分 解法二 同解法一得d=，∴a-2b=±d，得a2=4b2±bd+5d2①‎ 将a2=2b2-1代入①式，整理得2b2±4bd+5d2+1="0 " ② 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d2-1)≥0，得5d2≥1。所以5d2有最小值1，从而d有最小值。将其代入②式得2b2±4b+2=0，解得b=±1。将b=±1代入r2=2b2得r2=2，由r2=a2+1得a=±1。综上a=±1，b=±1，r2=2。由|a-2b|=1知a，b同号。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。--------10分 ‎【解析】试题分析：本题考察的是求圆的方程，圆被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，劣弧所对的圆心角为，设圆的圆心为，圆截轴所得的弦长为，截轴所得弦长为2，可得圆心轨迹方程，圆心到直线的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．‎ 试题解析：设圆心为，半径为．‎ 则到轴、轴的距离分别为和．‎ 由题设知：圆截轴所得劣弧所对的圆心角为，故圆截轴所得弦长为．‎ ‎∴（6分）‎ 又圆截轴所得弦长为2．‎ ‎∴．又∵到直线的距离为 ‎（10分）∴．∴．‎ 将代入上式得：．‎ 上述方程有实根，故 ‎，‎ ‎∴．‎ 将代入方程得．‎ 又∴．‎ 由知、同号．‎ 故所求圆的方程为或．（14分）‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系