【数学】2019届一轮复习人教A版与球相关的外接与内切问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版与球相关的外接与内切问题学案

一．方法综述 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体。‎ 与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径。‎ 二．解题策略 类型一 构造法（补形法）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解。长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。 ‎ ‎【例2】一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。 ‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、如图所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝，若AD＝R(R为球O的半径)，则球O的表面积为(　　)‎ A．π B．2π C．4π D．8π ‎【答案】D ‎【解析】因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB＝AC＝，所以AE＝，AD＝R，DE＝2R，则有R2＋6＝(2R)2，解得R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.故选D。‎ ‎2、如图所示，已知三棱锥ABCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝，BC＝2，CD＝，则球O的表面积为(　　)‎ A．12π B．7π C．9π D．8π ‎【答案】A　‎ ‎【解析】由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥ABCD可以补成以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)2＝AC2＋BC2＋CD2＝3＋4＋5＝12，所以S球＝4πR2＝12π.故选A。‎ ‎3、在三棱锥ABCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】43π ‎【解析】依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则得a2＋b2＋c2＝43，即(2R)2＝a2＋b2＋c2＝43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝43π.‎ ‎ 类型二 正棱锥与球的外接 ‎【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径。 ‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ）‎ A． ‎　 B.　 C. 4　D.‎ ‎【答案】D ‎2、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为(　　)‎ A. B. C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】 (1)由于平面SAB⊥平面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球的对称性可知，当S在“最高点”，即H为AB的中点时，SH最大，此时棱锥SABC的体积最大． ‎ 因为△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r＝OC＝CH＝××2＝.‎ 在Rt△SHO中，OH＝OC＝，‎ 所以SH＝＝1，‎ 故所求体积的最大值为××22×1＝.‎ ‎3、把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎ 类型三 直棱柱的外接球 ‎【例4】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，‎ 则此球的表面积等于 。 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. ‎ ‎【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径。‎ ‎【举一反三】‎ ‎1、已知直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，则该球的体积等于________．‎ ‎【答案】4π ‎【解析】设该球的球心为O，△ABC所在圆面的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC且OO1＝1.在△ABC中，因为AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，所以△ABC外接圆的半径r＝BC＝＝，所以该球的半径R＝＝＝，所以该球的体积V＝πR3＝4π. ‎ ‎2、已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,,则球的半径为 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为BC中点M。计算AM=，由垂径定理，OM=6，所以半径R=,选C.‎ ‎3、 正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .[ 学 ]‎ ‎【答案】大 ‎ 三．强化训练 ‎1、矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】 C ‎2、棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】 D ‎ ‎3、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ‎ ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．‎ 设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，‎ 解出R=5，所以根据球的体积公式，该球的体积V===．故选A．‎ ‎4、如图是一个几何体的三视图， 则这个几何体外接球的表面积为(　　)‎ A．8π B．16π C．32π D．64π ‎　　‎ ‎　‎ ‎【答案】C ‎【解析】 该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径为2，表面积为4π×(2)2＝32π.故选C。‎ ‎5、已知四棱锥S ABCD的所有顶点在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋16，则球O的体积等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎ 6、将半径都为１‎ 的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )‎ A. B. 2+ C. 4+ D. ‎ ‎【答案】C 球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍。‎ 7、 在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。‎ ‎【答案】‎ ‎8、【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 因为平面平面 所以平面 设 所以，所以球的表面积为 ‎9、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为(　　)‎ A. B. C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎10、矩形中，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】 C ‎11、在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球的半径的最大值为（ ）‎ ‎【答案】‎ ‎12、如图 3816所示，ABCDA1B1C1D1是边长为1的正方体，SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)‎ ‎ ‎ 图 3816‎ A.π B.π C.π D.π ‎【答案】D ‎【解析】 如图所示作辅助线，易知球心O在SG1上，设OG1＝x，则OB1＝SO＝2－x，同时由正方体的性质知B1G1＝，则在Rt△OB1G1中，由勾股定理得OB＝G1B＋OG，即(2－x)2＝x2＋，解得x＝，所以球的半径R＝2－＝，所以球的表面积S＝4πR2＝π.‎