【数学】吉林省延边市长白山第一高级中学2019-2020学年高二下学期验收考试（文）

【数学】吉林省延边市长白山第一高级中学2019-2020学年高二下学期验收考试（文）

吉林省延边市长白山第一高级中学2019-2020学年 高二下学期验收考试（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知复数z＝，则z·i在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为(　　)‎ A．y′＝3sin x′ B．y′＝3sin 2x′ C．y′＝3sinx′ D．y′＝sin 2x′‎ ‎3．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：‎ 身高x(cm)‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎170‎ ‎175‎ ‎180‎ 体重y(kg)‎ ‎63‎ ‎66‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎74‎ 根据上表可得回归直线方程：y ＝0.56x＋ ，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为(　　)‎ A．70.09 kg B．70.12 kg C．70.55 kg D．71.05 kg ‎4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是(　　)‎ A．有99%的人认为该栏目优秀 B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系 C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为电视栏目是否优秀与改革有关系 D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系 ‎5．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝(　　)‎ A．2n B．n2 C．3n D．nn ‎6．若＝＝，则△ABC是(　　)‎ A．等边三角形 B有一个内角是30°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个内角是30°的等腰三角形 ‎7．复数z满足|3z＋1|＝|z－i|，则复数z对应点的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．正方形 C．圆 D．椭圆 ‎8．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则(　　)‎ A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1‎ ‎9．进入互联网时代，经常发送电子邮件．一般而言，发送电子邮件要分成以下几个步骤：(a)打开电子信箱；(b)输入发送地址；(c)输入主题；(d)输入信件内容；(e)点击“写邮件”；‎ ‎(f)点击“发送邮件”．正确的步骤是(　　)‎ A．a→b→c→d→e→f B．a→c→d→f→e→b C．a→e→b→c→d→f D．b→a→c→d→f→e ‎10．按照如图的程序计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是(　　)‎ A．6 B．21 C．156 D．231‎ ‎11．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．‎ 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．‎ 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)‎ A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙 ‎12．已知a，b，c，d为正数，S＝＋＋＋，则(　　)‎ A．02，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．‎ ‎14.复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.‎ ‎15.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．‎ ‎16．若三角形内切圆的半径为r，三边长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝r(a＋b＋c)，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V＝________.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（本题满分10分）已知复数z＝－＋i，其共轭复数为.‎ ‎(1)求复数的模；‎ ‎(2)求2的值．‎ ‎18. （本题满分12分）已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．‎ ‎19. （本题满分12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：‎ 满意 不满意 男顾客 ‎40‎ ‎10‎ 女顾客 ‎30‎ ‎20‎ ‎(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；‎ ‎(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？‎ ‎20．(本题满分12分) (本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)．求实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数 ‎21．（本题满分12分）用综合法或分析法证明：‎ ‎(1)如果a，b>0，则lg≥；‎ ‎(2)＋>2＋2.‎ ‎22．（本题满分12分）某市第一次联考后，对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 总计 ‎110‎ ‎(1)请完成上面的列联表；‎ ‎(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？‎ ‎(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．‎ 参考公式与临界值表：K2＝ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考答案 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷　(选择题，共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．已知复数z＝，则z·i在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　因为z＝＝，所以z＝－i，所以z·i＝＋i，对应的点为，在第一象限．故选A.‎ ‎2．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是(　　)‎ A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③①②‎ 答案　D 解析　该“三段论”应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．‎ ‎3．下列说法：‎ ‎①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；‎ ‎②设有一个回归方程y ＝3－5x，变量x增加1个单位时，y 平均增加5个单位；‎ ‎③线性回归方程y ＝ x＋ 必过样本点的中心(，)；‎ ‎④在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系．‎ 其中错误的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　B 解析　数据的方差与加了什么样的常数无关，①正确；对于回归方程y ＝3－5x，变量x增加1个单位时，y 平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的相关概念易知③正确；因为K2＝13.079>k0＝10.828，故有99.9%的把握确认这两个变量间有关系，④正确．‎ ‎4．观察下列各等式：＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为(　　)‎ A.＋＝2‎ B.＋＝2‎ C.＋＝2‎ D.＋＝2‎ 答案　A 解析　观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A正确．‎ ‎5．下面是“神舟七号”宇宙飞船从发射到返回的主要环节：①箭船分离；②出舱行走；③点火发射；④返回地球；⑤轨道舱和返回舱分离．图中正确的是(　　)‎ A.→→→→ B.→→→→ C.→→→→ D.→→→→ 答案　C 解析　根据宇宙飞船的实际发射流程可知C正确．‎ ‎6．下表为某设备维修的工序明细表，其中“紧后工序”是指一个工序完成之后必须进行的下一个工序，‎ 工序代号 工序名称或内容 紧后工序 A 拆卸 B，C B 清洗 D C 电气检修与安装 H D 检查零件 E，G E 部件维修或更换 F F 部件配合试验 G G 部件组装 H H 装配与试车 将这个设备维修的工序明细表绘制成工序网络图，如图，那么图中的1,2,3,4表示的工序代号依次为(　　)‎ A．E，F，G，G B．E，G，F，G C．G，E，F，F D．G，F，E，F 答案　A 解析　工序D检查后出现合格的，可以进行配合试验，不合格的则需进行维修或更换，合格后可以进行组装，根据紧后工序，可知1,2,3,4分别为E，F，G，G.‎ ‎7．某地财政收入x与支出y满足线性回归方程y＝bx＋a＋e(单位：亿元)，其中b＝0.8，a＝2，|e|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过(　　)‎ A．10亿 B．9亿 C．10.5亿 D．9.5亿 答案　C 解析　代入数据得y＝10＋e，因为|e|<0.5，‎ 所以|y|≤10.5，故不会超过10.5亿．‎ ‎8.如图给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是(　　)‎ A．n＝n＋2，i＝15?‎ B．n＝n＋2，i>15?‎ C．n＝n＋1，i＝15?‎ D．n＝n＋1，i>15?‎ 答案　B 解析　①的意图为表示各项的分母，‎ 而分母相差2，∴n＝n＋2.‎ ‎②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，而分母从1到29共15项，∴i>15，故选B.‎ ‎9．下列推理正确的是(　　)‎ A．因为m>n，m>p，所以m－n>m－p B．如果不买体育彩票，那么就不能中大奖，因为你买了体育彩票，所以你一定能中大奖 C．如果m，n均为正实数，则(m＋n)2≥4mn D．如果m，n均为正实数，则lg m＋lg n≥2 答案　C 解析　由m>n，m>p可能有m－n＋＋＋＝1，∴13.841，故有超过95%的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．‎ 解　z＝＝＝ ‎＝＝＝1－i.‎ 因为z2＋az＋b＝(1－i)2＋a(1－i)＋b ‎＝－2i＋a－ai＋b＝(a＋b)－(2＋a)i＝1＋i，‎ 所以解得 ‎18．(本小题满分12分)有以下三个不等式：‎ ‎(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；‎ ‎(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；‎ ‎(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2.‎ 请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论．‎ 解　结论为：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.‎ 证明：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2‎ ‎＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2abcd)‎ ‎＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0，‎ 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.‎ ‎19．(本小题满分12分)PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物)．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否有关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的浓度的数据如下表：‎ 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量x(万辆)‎ ‎100‎ ‎102‎ ‎108‎ ‎114‎ ‎116‎ PM2.5的浓度y ‎(微克/立方米)‎ ‎78‎ ‎80‎ ‎84‎ ‎88‎ ‎90‎ ‎(1)根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎(2)若周六同一时间段车流量是200万辆，试根据(1)求出的线性回归方程，预测此时PM2.5的浓度为多少．‎ 参考公式： ＝， ＝－ .‎ 解　(1)由已知条件可得，＝i＝＝108，‎ ＝i＝＝84，‎ (xi－)(yi－)＝(－8)×(－6)＋(－6)×(－4)＋0×0＋6×4＋8×6＝144，‎ (xi－)2＝(－8)2＋(－6)2＋02＋62＋82＝200，‎ 所以 ＝＝＝0.72，‎ ＝－ ＝84－0.72×108＝6.24.‎ 故y关于x的线性回归方程为y ＝0.72x＋6.24.‎ ‎(2)当x＝200时，y ＝0.72×200＋6.24＝150.24.‎ 所以可以预测此时PM2.5的浓度约为150.24微克/立方米．‎ ‎20．(本小题满分12分)设等差数列{an}的公差为d，Sn是{an}中从第2n－1项开始的连续2n－1项的和，即 S1＝a1，‎ S2＝a2＋a3，‎ S3＝a4＋a5＋a6＋a7，‎ ‎…‎ Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋…＋a2n－1，‎ ‎…‎ 若S1，S2，S3成等比数列，问：数列{Sn}是否成等比数列？请说明你的理由．‎ 解　因为S1，S2，S3成等比数列，所以S1＝a1≠0，且S1·S3＝S，‎ 由S1·S3＝S得a1(a4＋a5＋a6＋a7)＝(a2＋a3)2，‎ 即a1(4a1＋18d)＝(2a1＋3d)2，故2a1d＝3d2，‎ 所以d＝0或a1＝d.‎ 当d＝0时，Sn＝2n－1a1≠0，‎ ＝＝2(常数)，n∈N*，{Sn}成等比数列；‎ 当a1＝d时，Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋…＋a2n－1‎ ‎＝2n－1a2n－1＋d ‎＝2n－1[a1＋(2n－1－1)d]＋d ‎＝2n－1＝d·4n－1≠0，‎ ＝＝4(常数)，n∈N*，{Sn}成等比数列．‎ 综上所述，若S1，S2，S3成等比数列，则{Sn}成等比数列．‎ ‎21．(本小题满分12分)某市第一次联考后，对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 总计 ‎110‎ ‎(1)请完成上面的列联表；‎ ‎(2)根据列联表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？‎ ‎(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．‎ 参考公式与临界值表：K2＝ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 解　(1)‎ 优秀 非优秀 总计 甲班 ‎10‎ ‎50‎ ‎60‎ 乙班 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎(2)根据列联表中的数据，得到 K2＝≈7.486<10.828.‎ 因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．‎ ‎(3)设“抽到9号或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)．所有的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36个．‎ 事件A包含的基本事件有：(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，(5,5)，(4,6)，(6,4)，共7个．‎ 所以P(A)＝，即抽到9号或10号的概率为.‎ ‎22.(本小题满分12分)对任意函数f(x)，x∈D ‎，可按如图所示，构造一个数列发生器，其工作原理如下：‎ ‎①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1＝f(x0)；‎ ‎②若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，将x1反馈回输入端，再输出x2＝f(x1)，并依此规律进行下去．‎ 现定义f(x)＝.‎ ‎(1)若输入x0＝，则由数列发生器产生数列{xn}，写出数列{xn}的所有项；‎ ‎(2)若要使数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值．‎ 解　(1)函数f(x)的定义域 D＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．‎ 所以数列{xn}只有3项x1＝，x2＝，x3＝－1.‎ ‎(2)令f(x)＝＝x，‎ 即x2－3x＋2＝0，解得x＝2或x＝1.‎ 故当x0＝2或x0＝1时，xn＋1＝＝xn，‎ 所以输入的初始数据x0＝1时，得到通项为xn＝1的常数列；‎ x0＝2时，得到通项为xn＝2的常数列．‎