江苏省扬州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题

江苏省扬州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题

2020-2021 学年度第一学期期末检测试题 高二数学 2021.01 （全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、单项选搔题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要 求）． 1．命题“ 0x  ， 2 1 0x x   ”的否定是（ ） A． 0x  ， 2 1 0x x   B． 0x  ， 2 1 0x x   C． 0x  ， 2 1 0x x   D． 0x  ， 2 1 0x x   2．双曲线 2 2 14 x y  的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A． 2 5 5 B．1 C． 4 5 5 D．2 3．若平面 ，  的法向量分别为  1,2,4a   ，  , 1, 2b x   ，并且 / /  ，则 x 的值为（ ） A．10 B． 10 C． 1 2 D． 1 2  4．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟， 初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样 多的布，第一天织 5 尺，最后一天织一尺，三十天织完……．则该女子第 11 天织布（ ） A．11 3 尺 B．105 29 尺 C． 65 29 尺 D． 7 3 尺 5．不等式 1 21x  的解集为（ ） A． 31, 2      B． 31, 2      C．  3,1 ,2      D．  3,1 ,2      6．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，则点 A 到平面 1 1A B CD 的距离为（ ） A． 2 3 3 B． 2 C．2 D． 2 2 7．在数列 np 中，如果对任意  *2n n N  ，都有 1 1 n e n n p p kp p     （k 为常数），则称数列 np 为比等 差数列，k 称为比公差．则下列说法正确的是（ ） A．等比数列一定是比等差数列，且比公差 1k  B．等差数列一定不是比等差数列 C．若数列 na 是等差数列， nb 是等比数列，则数列 n na b 一定是比等差数列 D．若数列 na 满足 1 2 1a a  ，  1 1 2n n na a a n    ，则该数列不是比等差数列 8．已知 a，b 均为正数，且 2 0a b ab   ，则 2 21 2 4 baa b    的最大值为（ ） A． 9 B． 8 C． 7 D． 6 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得 5 分。有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分） 9．已知 a，b，c 为数彀，且 0a b  ，则下列不等式正确的是（ ） A． 1 1 a b  B． 2 2ac bc C． b a a b  D． 2 2a ab b  10．下列命题正确的是（ ） A．已知u  ， v  是两个不共线的向量。若 a u v    ， 3 2b u v    ， 2 3c u v    则 a  ，b  ， c  共面 B．若向量 / /a b   ，则 a  ，b  与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．若  1,0,0A ，  0,1,0B ，则与向量 AB  共线的单位向最为 2 2, ,02 2e        D．在三棱锥O ABC 中，若侧棱 OA，OB，OC 两两垂直，则底面 ABC 是锐角三角形 11．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a  ，  1 * 1 1, 2 2 1, 2 1 n n n a n ka k Na n k         ．则下列选项正确的为 （ ） A． 6 14a  B．数列  * 2 1 3ka k N   是以 2 为公比的等比数列 C．对于任意的 *k N ， 1 2 2 3k ka   D． 1000nS  的最小正整数 n 的值为 15 12．在平面直角坐标系 xOy 中，  ,P x y 为曲线 2 2: 4 2 2 4C x y x y    上一点，则（ ） A．曲线 C 关于原点对称 B． 1 3,1 3x       C．曲线 C 围成的区域面积小于 18 D．P 到点 10, 2      的最近距离为 3 2 三、填空题（本大题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分） 13．若存在实数 x，使得不等式 2 0x ax a   成立，则实数 a 的取值范围为______________． 14．已知数列 na 是等比数列， 2 4a  ， 8 16a  ，则 5a  ___________． 15．设椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左焦点为 F、右准线为 1，若 l 上存在点 P，使得线段 PF 的中点 恰好在椭圆 C 上，则椭圆 C 的离心率的最小值为_____________． 16．已知函数        24 4 4 2f x a x a x a a R       ，则该函数  f x 的图像恒过定点_________； 若满足   0f x  的所有整数解的和为 6 ，则实数 a 的取值范围是________．（第一个空 2 分，第二个 空 3 分）． 四、解答题（本大题共 6 小题。计 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 已知命题 p：实数 m 满足不等式  2 23 2 0 0m am a a    ；命题 q：实数 m 满足方程 2 2 11 5 x y m m    表示双曲线． （1）若命题 q 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若Р是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 18．（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中，M 为 BC 的中点， 3PA PB PC AB AC     ， 2 6BC  ． （1）求二面角 P BC A  的大小； （2）求异面直线 AM 与 PB 所成角的余弦值． 19．（本小题满分 12 分） 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，数列 nb 为正项等比数列，其满足 1 1 2a b  ， 4 5 3S a b  ， 3 2 8a b  ． （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）若_______，求数列 nc 的前 n 项和 nT ． 在① 1 1 n n n n c ba a    ，② n n nc a b ，③ 1 1 2 n n n n n ac a a b   这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对 其求解． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解签计分． 20．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1 2AA AB AC   ， AB AC ，M 是棱 BC 的中点，点 P 在 线段 AB 上． （1）若 P 是线段 1A B 的中点，求直线 MP 与平面 1 1ABB A 所成角的大小； （2）若 N 是 1CC 的中点，平面 PMN 与平面 CMN 所成锐二面角的余弦值为 5 37 37 ，求线段 BP 的长度． 21．（本小题满分 12 分） 设抛物线  2 2 0x py p  的焦点为 F，其准线与 y 轴交于 M．抛物线上一点的纵坐标为 4，且该点到 焦点 F 的距离为 5． （1）求抛物线的方程； （2）自 M 引直线交抛物线于 P、Q 两个不同的点，设 MP MQ  ．若 4 70, 3PQ     ，求实数 a 的 取值范围． 22．（本小题满分 12 分） 已知直线 :l y kx m  与椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     交于 A，B 两个不同的点，点 M 为 AB 中点， 点 O 为坐标原点．且椭圆 C 的离心率为 2 2 ，长轴长为 4． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若 OA，OB 的斜率分别为搏 1k ， 2k ， 2 2k  ，求证： 1 2k k 为定值； （3）已知点  1, 2N ，当 AOB 的面积 S 最大时，求OM ON  的最大值．