高中数学北师大版新教材必修一同步课件：3-1 指数幂的拓展
第三章 指数运算与指数函数
§1
指数幂的拓展
必备知识
·
自主学习
1.n
次方根
如果
x
n
=a,
那么
x
叫
a
的
n
次方根
,
其中
n>1,n∈N
*
.
可用下表表示
:
n
为奇数
n
为偶数
a∈R
a>0
a=0
a<0
x=
______
x=
______
x=0
不存在
【
思考
】
正数
a
的
n
次方根一定有两个吗
?
请说明理由
.
提示
:
不一定
.
当
n
为偶数时
,
正数
a
的
n
次方根有两个
,
且互为相反数
,
当
n
为奇数时
,
正数
a
的
n
次方根只有一个且仍为正数
.
2.
根式
(1)
式子 叫作根式
,n
叫作根指数
,a
叫作被开方数
.
(2)
性质
:
当
n>1,n∈N
*
时
,
①( )
n
=__;
② =
a
【
思考
】
式子
( )
4
与 中的
a
的范围一样吗
?
为什么
?
提示
:
不一样
,
式子
( )
4
中
a≥0,
中
a∈R.
3.
分数指数幂的意义
(a>0,m,n∈N
*
,
且
n>1)
【
思考
】
分数指数幂中
,
为什么规定底数
a>0?
提示
:
当
a=0
时
,a
0
及
a
的负分数指数幂没有意义
;
当
a<0
时
,
若
n
为偶数
,
m
为奇数
,
则 无意义
.
4.
无理数指数幂
一般地
,
给定正数
a,
对于任意的正无理数
α,a
α
是一个实数
.
规定
:a
-α
=
【
思考
】
指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的
?
提示
:
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”
,
错的打“
×”)
(1) =-2. (
)
(2) (
)
(3)
是一个确定的实数
. (
)
提示
:
(1)×.
(2)×.
(3)√.
由无理数指数幂的定义知正确
.
2.
若
n
0,
所以原式
=-(m+n)-(m-n)=-2m.
3.(
教材二次开发
:
例题改编
) =
_______
.
【
解析
】
答案
:
关键能力
·
合作学习
类型一
n
次方根的概念及相关的应用
(
数学抽象
)
【
题组训练
】
1.
的值为
(
)
A.-6 B.2 -2 C.2 D.6
2.
把
(a-1)
根号外的
(a-1)
移到根号内等于
(
)
A.- B. C.- D.
3.
若
,
则实数
a
的取值范围是
.
【
解析
】
1.
选
A. =-6,
所以原式
=-6+4- + -4=-6.
2.
选
C.
由 ≥
0
且
1-a≠0
得
a<1,
则
a-1<0,
所以
(a-1)
3.
因为
= ,
所以
1-3a≥0,
所以
a≤ .
答案
:
【
解题策略
】
根式化简与求值的思路及注意点
(1)
思路
:
首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式
,
然后运用根式的性质进行化简
.
(2)
注意点
:
①
正确区分
( )
n
与 两式
.
②
运算时注意变式、整体代换
,
以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用
,
必要时要进行讨论
.
类型二 写分数指数幂
(
数学抽象
)
【
典例
】
把下列各式中的正数
a
写成分数指数幂的形式
:
(1)a
7
=26;
(2)a
-3
=4
7
;
(3)a
m
=5
n
(m,n∈N
+
);
(4)a
-2m
=7
6n
(m,n∈N
+
).
【
思路导引
】
根据分数指数幂的定义书写
.
【
解析
】
(1)a= ;
(2)a= ;
(3)a= ;
(4)a=
【
解题策略
】
关于写分数指数幂
写分数指数幂时可以利用等价式
a
n
=b
m
⇔a= (a,b>0,m,n∈N
+
,m,n
互素
,n>1),
书写时注意
m,n
的顺序不能颠倒
.
【
跟踪训练
】
把下列各式中的
b(b>0)
写成分数指数幂的形式
:
(1)b
-4
=81;
(2)b
3
=5
-4
;
(3)b
-3n
=
π
5m
(m,n∈N
+
).
【
解析
】
(1)b=81 ;(2)b= ;(3)b=
类型三 分数指数幂的计算
(
数学运算
)
角度
1
用分数指数幂表示根式
【
典例
】
用分数指数幂表示下列各式
:
(1) (m>0);
(2) (a>b).
【
思路导引
】
利用分数指数幂与根式的关系表示
.
【
解析
】
(1)
(2)
【
变式探究
】
本例
(1)
若变为
,
用分数指数幂怎样表示
?
【
解析
】
角度
2
分数指数幂的计算
【
典例
】
计算
:
【
思路导引
】
利用指数幂的定义计算
.
【
解析
】
(1)
设
b=27 ,
则
b
3
=27
2
=729=9
3
,
所以
b=9.
【
解题策略
】
关于分数指数幂的计算
分数指数幂计算的依据是定义
,
一般先将要求的指数幂设为
b,
再变形后利用同方次的指数幂底数相等来求值
.
【
题组训练
】
1.
根式 等于
(
)
【
解析
】
选
A.
原式
=
2.
计算
=
.
【
解析
】
设
b= ,
则
b
3
=
所以
b= ,
所以
答案
:
课堂检测
·
素养达标
1.
下列各等式中成立的是
(a>0) (
)
【
解析
】
选
B.
因为
所以成立的是
2.
若
x<3,
则
-|x-6|
的值是
(
)
A.-3 B.3 C.-9 D.9
【
解析
】
选
A.
若
x<3,
则
x-3<0,x-6<0,
所以
-|x-6|=|x-3|-|x-6|=3-x+x-6=-3.
3.
将 化成分数指数幂为
(
)
【
解析
】
选
D.
4.(
教材二次开发
:
例题改编
)
已知
m
10
=2,
则
m
等于
(
)
【
解析
】
选
D.
因为
m
10
=2,
所以
m
是
2
的
10
次方根
,
又因为
10
是偶数
,
所以
2
的
10
次方根有两个
,
且互为相反数
,
所以
m=± .
