2018-2019学年山西省大同市灵丘县高一下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年山西省大同市灵丘县高一下学期期中数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山西省大同市灵丘县高一下学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．，则=‎ A．2 B．1 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】将原式的分子分母同时除以，化为关于的三角式求解．‎ ‎【详解】‎ 将原式的分子分母同时除以，得到：；‎ 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系，考查学生转化计算能力，属于基础题．‎ ‎2．已知向量，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知向量的坐标运算直接求得的坐标．‎ ‎【详解】‎ ‎∵向量（-2，﹣1），（3，2），‎ ‎∴.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.‎ ‎3．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值，需熟记诱导公式以及常见的三角函数值，属于基础题.‎ ‎4．已知点是角终边上一点，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用三角函数的定义即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由三角函数的定义可得，‎ 解得，又，得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义，掌握余弦函数的定义是解题的关键，属于基础题.‎ ‎5．函数在区间上的零点个数为（ ）‎ A．0 B．3 C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据零点与方程根的关系，令，解方程即可求解.‎ ‎【详解】‎ 令，‎ 解得，即.‎ ‎∵，∴，；，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要了三角函数的值求角、函数零点的定义，属于基础题.‎ ‎6．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是（ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】以 作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵分别是的中点，‎ ‎∴.‎ 又，∴.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．‎ ‎7．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图像求出周期再根据可得，再由，代入可求，进而可求出解析式.‎ ‎【详解】‎ 由图象可知，，得， ‎ 又∵，∴.‎ 当时，，即，‎ 解得.又，则，‎ ‎∴函数的解析式为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由三角函数的图像求函数解析式，需熟记正弦型三角函数的周期公式，属于基础题.‎ ‎8．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为30米，径长（两段半径的和）为14米，则该扇形田的面积为（ ）‎ A．150平方米 B．210平方米 C．100平方米 D．105平方米 ‎【答案】D ‎【解析】根据题意列出面积表达式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 扇形田的面积为（平方米）.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了扇形面积公式，解题的关键理解“径乘周四而一”的意义，属于基础题.‎ ‎9．已知向量，则在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标运算，在方向上的投影为即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设向量与的夹角为，‎ 在方向上的投影为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量数量积的坐标运算以及向量数量积的几何意义，属于基础题.‎ ‎10．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先排除时x的值，再利用夹角为锐角的平面向量的数量积为正数即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 若，则，解得.‎ 因为与的夹角为锐角，∴.‎ 又，由与的夹角为锐角，‎ ‎∴，即，解得.‎ 又∵，所以.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用平面向量的数量积判断角的类型，注意排除向量平行的可能，属基础题.‎ ‎11．若函数在区间上存在最小值，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意不妨设，求出的范围，根据三角函数的单调性可得，从而可求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 对于函数，‎ 令，得，‎ 当时，在上单调递减，当时，.‎ 又因为在上存在最小值，所以的最小值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的性质，掌握性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎12．定义ad﹣bc，已知函数f（x）（x∈[0，π]），若f（x）的最大值与最小值的和为1，则实数m的值是（　　）‎ A．4+2或﹣4﹣2 B．4﹣2或﹣4+2‎ C．4﹣2 D．﹣4+2‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据定义化简函数，再根据三角函数关系转化为二次函数，根据二次函数性质求最值,最后根据最值和为1求结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 ‎①当时，‎ 因为f（x）的最大值与最小值的和为1，所以，舍去 ‎②当时，‎ 因为f（x）的最大值与最小值的和为1，所以，舍去 ‎③当时，‎ 因为f（x）的最大值与最小值的和为1，‎ 所以，‎ 因为，所以 ‎④当时，‎ 因为f（x）的最大值与最小值的和为1，‎ 所以，‎ 因为，所以 综上：或 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数新定义以及二次函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.‎ 二、填空题 ‎13．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先利用向量数量积的坐标运算求出向量的夹角，再根据向量的坐标求出向量的模即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，向量模的求法，属于基础题.‎ ‎14．若，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将平方，利用同角三角函数的基本关系求出，从而求出的值，利用余弦的二倍角公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.由上知，为第二象限的角，∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎15．已知向量，则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用向量线性坐标运算以及向量模的坐标运算可得，再利用辅助角公式可得，由三角函数的性质即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 所以 ‎ ‎，‎ 所以的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量模的求法、辅助角公式以及三角函数的性质，属于基础题.‎ ‎16．给出下列命题：‎ ‎①函数的定义城是且；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若定义在上函数满足，则是周期为2的函数；‎ ‎④函数图象的一条对称轴是，则函数 图象关于对称.‎ 其中正确的命题是___________（填序号）‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】根据正切函数的定义域整体代入即可判断①；由三角函数的诱导公式以及三角函数值可判断②；根据周期的定义可判断③；由正弦函数的对称轴可得，求出，再根据正弦函数的对称点，将代入即可验证.‎ ‎【详解】‎ 对于①，令，得，①错；‎ 对于②，若，则 ‎，②正确；‎ 对于③，由，得，故周期为2，③正确；‎ 对于④，当时，，，‎ ‎，又∵，‎ ‎∴，当时，，④正确：‎ 故正确的命题是②③④.‎ 故答案为：②③④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正切型函数的定义域、诱导公式、周期的定义以及正弦函数的对称轴与对称中心，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知，且是方程的两根.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）-1；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用韦达定理可得，然后再利用两角和的正切公式即可求解.‎ ‎（2）由题意可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，由二倍角的正弦公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）依题意有：，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由题意可得，‎ 又∵，‎ ‎∴，.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两角和的正切公式、同角三角函数的平方关系以及二倍角的正弦公式，属于基础题.‎ ‎18．已知向量，向量.‎ ‎（1）当为何值时，向量与垂直？‎ ‎（2）当为何值时，向量与平行？‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用向量垂直数量积等于即可求解. ‎ ‎（2）利用向量共线的坐标表示即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ 若向量与垂直，‎ 则，‎ 解得.‎ ‎（2）若向量与平行，‎ 则，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量垂直数量积等于、向量共线的坐标表示，属于基础题.‎ ‎19．设函数，其中.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）是否存在使角，是方程的两个不同的实根？若存在，求角的大小；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，.‎ ‎【解析】（1）利用向量数量积的坐标表示以及辅助角公式即可求解.‎ ‎（2）由（1）根据题意可得，求出，，根据三角形的内角和定理即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎（2），即，‎ 或，‎ 即或，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，或.‎ 即存在使角，是方程的两个不同的实根.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量数量积的坐标运算、辅助角公式以及根据三角函数值求角，属于基础题.‎ ‎20．如图，在中，，点，分别在边上，且.‎ ‎（1）若，试用，线性表示；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用向量减法的几何意义可得，将已知代入即可求解.‎ ‎（2）由（1）可得，结合，代入利用向量数量积的定义即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，∴，‎ 又，∴.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量减法的几何意义、向量数量积的定义，属于基础题.‎ ‎21．已知向量.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据向量线性的坐标运算以及向量模的求法即可求解.‎ ‎（2）由（1）利用同角三角函数的基本关系可得，再利用二倍角公式以及诱导公式可得，根据两角和的正弦公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，‎ 得，‎ ‎，即，‎ 整理可得，即.‎ ‎（2）∵，∴，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量模的坐标求法、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎22．已知函数，将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.‎ ‎（1）若，求函数的解析式；‎ ‎（2）若在区间上的单调增函数，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）先求出图象上所有的点向左平行移动个单位长度的解析式，代入化简，即可求出结果；‎ ‎（2）先求出的单调递增区间，是单调递增区间的子集，即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，‎ 得到图象对应的函数解析式为.‎ 当时，‎ 函数.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎∴令，‎ 解得，‎ 可得函数的单调递增区间为.‎ ‎∵函数在上的单调增函数，‎ ‎∴‎ 解得.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数平移求解析式，以及利用单调区间求参数，属于中档题.‎