上海市七宝中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

上海市七宝中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

七宝中学2019-2020学年高二上10月月考数学卷 一、填空题(本大题共12题，满分54分)只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.‎ ‎1.三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用代数余子式的定义直接求解.‎ ‎【详解】三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为：‎ ‎.‎ 故答案为：6.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三阶行列式中元素的代数余子式的求法，属于中档题.‎ ‎2.计算__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二阶矩阵乘法法则进行计算,即可得到结论 ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查二阶矩阵的乘法,考查运算能力 ‎3.已知向量=(-2，2)，=(5，k)，若，则实数k的取值范围是___________.‎ ‎【答案】[-6，2]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到,根据模的定义代入不等式,解出即可 ‎【详解】由题,, ,,即 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查向量加法的坐标运算,考查模的定义,考查运算能力 ‎4.若，且，则向量与的夹角为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依题意，故.‎ ‎5.已知，，，若，，可构成三角形，则m=____________.‎ ‎【答案】-7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若，，可构成三角形,则可得,代入求解即可 ‎【详解】若、、可构成三角形,则,即 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量法判断三角形,考查向量的加减法,考查运算能力,考查平面向量基本定理的应用 ‎6.己知行列式中的元素(=1，2，3，，9)是等比数列的第n+j 项，则此行列式的值是___________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,得到每两行元素成比例,进一步得到结果 ‎【详解】由题可知元素(=1，2，3，，9)是等比数列的第n+j项,则该行列式的两行元素成比例,故行列式为0‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】本题考查行列式的运算,考查行列式的性质,考查等比数列的定义 ‎7.已知向量=(1，2)，=(2，3)，则“”是“向量与向量=(3，-1)的夹角为钝角”成立的___________条件.‎ ‎【答案】充分非必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“向量与向量=(3，-1)的夹角为钝角”求出的范围,进而判断是何种条件 ‎【详解】由题, ,若与的夹角为钝角,则且与不是共线且反向的向量,即且,即 ‎“”是“向量与向量=(3，-1)的夹角为钝角”的充分非必要条件.‎ 故答案为：充分非必要 ‎【点睛】本题考查向量法求夹角,考查充分非必要条件,考查数量积的应用,考查运算能力 ‎8.若平面向量满足且,则可能的值有____________个.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，所以 ‎，设，因为，，所以 ‎，因为，‎ 所以当时，，‎ 当，时，‎ 当，时，‎ 当，时，‎ 综上可能的值有3个。‎ 考点：向量的综合应用。‎ 点评：本题的难度较大，考查的知识点较多，较灵活。对学生的要求较高，尤其是学生的分析问题、解决问题的能力。‎ ‎9.在△ABC中，°，M是AB的中点，若|AB|=2，|BC|=2，D在线段AC上运动，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对、用、表示,并可将整理成关于的二次函数,由余弦定理可解得,即确定的范围,进一步求得其最小值 ‎【详解】由题,,‎ ‎,‎ 设,由余弦定理得,,即,整理后可得,解得或（舍）‎ 当时, 取得最小值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查数量积的应用,考查余弦定理的应用,考查平面向量基本定理的应用,考查二次函数求最值,考查运算能力 ‎10.已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为A1，A2，A3，，A2019，其图像与x轴的交点从左到右依次记为B1，B2，B3，，B2019，则___________.‎ ‎【答案】-8072‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数可得,分别写出各点坐标,进一步得到向量坐标,求数量积时会发现每一个数量积均为,整理后即可得到结果 ‎【详解】由题可知,‎ 为,为,为,…,为；‎ 为,为,为,…,为 ‎,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数周期性,考查向量的坐标表示,考查数量积的坐标运算 ‎11.设，0为坐标原点，是函数图象上横坐标为的点，向量，和=(6，0)的夹角为，则满足的最大正整数是___________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到,由于的终点在轴上,所以为的纵横坐标之比,再代入不等式进行化简可得,对依次赋值,即可找到使不等式成立的最大正整数 ‎【详解】由题,,‎ 和=(6，0)的夹角为,‎ ‎,‎ 当时,原式；当时,原式；当时,原式；当时,原式,不成立 故符合条件的最大正整数是3‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标表示,考查等比数列求和,考查裂项相消法求数列的和,考查运算能力 ‎12.已知O是三角形ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°.若，则=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析题意,可得,对两边同乘,整理后即可得到的值 ‎【详解】由题可得,,‎ ‎,‎ 由,可得,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查数量积的应用,考查余弦定理的应用,考查运算能力 二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13.若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的端点，得到的向量中有个是两两不相等的，则n的最大值是（ ）‎ A. 6 B. 8 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形,根据相等向量的定义找到符合条件的向量即可 ‎【详解】‎ 如图,两两互不相等的有：、、、、、、、,共8个 故选：B ‎【点睛】本题考查相等向量的定义,方向大小均相同的向量为相等向量,与位置无关 ‎14.任意四边形ABCD内有一点O满足，则O点的位置是（ ）‎ A. 对角线的交点 B. 对边中点连线的交点 C. BD的点 D. AC的中点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 任意画出一个四边形,将式子中的四个向量分为两组,可得,即可得到结果 ‎【详解】‎ 如图,点、分别为、的中点,‎ ‎,‎ ‎,易得、共线,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查平行四边形法则求加法,考查数形结合能力 ‎15.已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 不妨设 ‎∵，．‎ ‎∴、．‎ ‎∴点在以为圆心半径为圆上．‎ ‎∴与的夹角为直线的倾斜角．‎ 设 ‎∴．‎ 即，则．‎ 又∵，．‎ ‎∴、夹角．‎ 故选．‎ ‎16.三角形ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于D，M，若，AB=2，则AC=（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 先令,代入中,可得,由余弦定理即可求解 ‎【详解】由题,‎ ‎,即 ‎ 由余弦定理得,‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查数量积的应用,考查余弦定理解三角形,考查整体思想 三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.用行列式讨论关于x，y的方程组的解的情况.‎ ‎【答案】(1)，无解；(2)，无穷多解；(3)且，唯一解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将方程组化为一般形式,再分别求出,,,再讨论即可 ‎【详解】由题,方程组的一般形式为,‎ 当时,,,方程组无解；‎ 当时,,方程组有无穷多解组解；‎ 当且时,,方程组有唯一解,解为 ‎【点睛】本题考查行列式解二元一次方程组,先分别求出,,,（1）,,方程组无解；‎ ‎（2）,方程组有无穷多解组解；（3）,方程组有唯一解 ‎18.△ABC中，，.‎ ‎(1)求AB边的长；‎ ‎(2)求的值，‎ ‎【答案】(1)2；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对和作减法,整理后即可得到的边长；‎ ‎（2）可知, ,展开分式,再利用正弦定理进行边角互化,整理后即可求解 ‎【详解】解：（1），‎ ‎（2）由题,在中,‎ 根据正弦定理可得,原式 ‎,,‎ 由（1）,可得,‎ 代入上式可得,原式 ‎【点睛】本题考查向量的减法运算,考查向量的模,考查正、余弦定理的应用 ‎19.已知两点M(-1，0)，N(1，0)，且点P(x，y)使，，成公差小于零的等差数列.‎ ‎(1)求x与y满足关系式，并写出x的取值范围；‎ ‎(2)记为，的夹角，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)，；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先写出各向量的坐标表示,并求出数量积,再由等差中项列式整理即可；‎ ‎（2）利用（1）中结果可得,再列出,进而求出,根据（1）中范围得到范围,从而得到范围 ‎【详解】解：（1）,,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎，，成公差小于零的等差数列,‎ 且 即且,‎ ‎ ‎ ‎（2）,,‎ 由（1）‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质的应用,考查向量的坐标表示,考查数量积的应用,考查向量的夹角,考查运算能力 ‎20.如图，点Q在第一象限，点F在x轴正半轴上，ΔOFQ的面积为S，和的夹角为，.‎ ‎(1)求S关于的解析式；‎ ‎(2)设，求点Q的坐标；‎ ‎(3)在(2)的条件下，若，求的最小值和此时点Q的坐标.‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3)，Q.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用数量积的定义得到,设过点与轴的垂线的垂足为点,再利用三角形面积公式整理即可；‎ ‎（2）由（1）可分别求出,,,从而得到点的坐标；‎ ‎（3）由题,可得,代入的式子中得到关于的函数,根据的范围求取最值即可,从而得到此时点的坐标 ‎【详解】解：（1）设过点与轴的垂线的垂足为点,‎ ‎ ,‎ ‎（2）由（1）可得,‎ ‎,,‎ 为 ‎（3）,即,‎ 为 ‎,当且仅当时,即时取等,‎ 当时,,此时为 ‎【点睛】本题考查数量积的应用,考查向量的模,考查最值问题,考查运算能力 ‎21.平面角坐标系中，射线和上分别依次有点，，，，和点，，，，，其中(1，1)，(1，2)，(2，4)，且，(n=2，3，4，).‎ ‎(1)用n表示及点的坐标；‎ ‎(2)用n表示及点的坐标；‎ ‎(3)求四边形的面积关于n的表达式，并求的最大值.‎ ‎【答案】(1)，；(2) ，；(3)，的最大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题可得到是首项为,公差为的等差数列,进而得到的通项公式,‎ 并得到点的坐标；‎ ‎（2）由题可得到是首项为,公比为的等比数列,从而得到的通项公式,由图象可得到与的关系,进一步求得点的坐标；‎ ‎（3）由两条直线的倾斜角得到,进而得到,利用割补法和三角形面积公式即可得到,再根据的增减性得到最值 ‎【详解】（1）由题,,,‎ 是首项为,公差为的等差数列,‎ ‎,‎ 在上,‎ 为 ‎（2）由题,,‎ 是首项为,公比为的等比数列,‎ 在上,‎ 为 ‎（3）由直线可得,直线可得 ‎,‎ ‎ ‎ 当时,单调递减,‎ 又,,‎ 当或时,取得最大值为 ‎【点睛】本题考查等差、等比数列的定义与通项公式,考查数列的增减性,考查数列和的最值问题,考查数形结合的思想,考查运算能力 ‎ ‎