甘肃省天水市甘谷一中2019-2020学年高一上学期月考数学试题

甘肃省天水市甘谷一中2019-2020学年高一上学期月考数学试题

甘谷一中2019——2020学年第一学期高一第二次月考 数学试题 一、单选题 ‎1.满足条件的所有集合A的个数是（　）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由易知：集合A⊆，而集合的子集个数为22=4 故选D ‎2.如图所示是水平放置三角形的直观图，点是的边中点，，分别与轴、轴平行，则三条线段，，中（ ）．‎ A. 最长的是，最短的是 B. 最长的是，最短的是 C. 最长的是，最短的是 D. 最长的是，最短的是 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直观图可得竖直放置的，根据其形状可得到三条线段、、长的大小关系.‎ ‎【详解】竖直放置的如图所示：‎ 因为在直观图中，，故在图中，轴，同理，轴，‎ 所以为直角三角形，故，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查斜二测画法，其关键是“横等竖半”即平行于的线段长度不变，平行于轴的线段长度变成原来的一半，如果知道直观图，只需要“横等竖倍”还原即可.‎ ‎3.在同一直角坐标系中，函数，的图像可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别比较两函数的定义域相同时，a的取值范围.‎ ‎【详解】选项A没有幂函数图象，排除A，‎ 选项B，中 ，中，不符.‎ 选项C，中，中，不符.‎ 选项D, 中,中,符合.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图象辨析.‎ ‎4.如图，是⊙O直径，是圆周上不同于的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数有（ ）‎ A. 4个 B. 3个 C. 1个 D. 2个 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ AB是圆O的直径,可得出三角形是直角三角形，由圆O所在的平面，根据线垂直于面性质得出三角形和三角形是直角三角形，同理可得三角形是直角三角形.‎ ‎【详解】∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=，即,三角形是直角三角形.‎ 又∵圆O所在的平面，∴三角形和三角形是直角三角形,且BC在此平面中，∴平面,∴三角形是直角三角形.‎ 综上，三角形，三角形，三角形，三角形.直角三角形数量为4.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】考查线面垂直的判定定理和应用，知识点较为基础.需多理解.难度一般.‎ ‎5.下列四个命题中，正确命题的个数为( )‎ ‎①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；‎ ‎②两条直线一定可以确定一个平面；‎ ‎③若，， ，则；‎ ‎④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；‎ 两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；‎ 若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l，故（3）正确；‎ 空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，‎ 综上所述只有一个说法是正确的，‎ 故选A．‎ ‎6.轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的( )‎ A. 4倍 B. 3倍 C. 倍 D. 2倍 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求出圆锥的底面面积，侧面面积，即可得到比值．‎ ‎【详解】圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r，则它的底面积为πr2；‎ 圆锥的侧面积为：2rπ•2r＝2πr2；‎ 圆锥的侧面积是底面积的2倍．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查圆锥的特征，底面面积，侧面积的求法，考查计算能力．‎ ‎7.一个球的表面积是，那么这个球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求球半径，再求球体积.‎ ‎【详解】因为，所以,选B.‎ ‎【点睛】本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题.‎ ‎8.已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求出圆柱的高和底面圆半径，再求圆柱的体积．‎ ‎【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为，所以底面积为，所以体积为，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和体积的计算问题，是基础题．‎ ‎9.在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将平移到一起，根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.‎ ‎【详解】连接如下图所示，由于分别是棱和棱中点，故，根据正方体的性质可知，所以是异面直线 所成的角，而三角形为等边三角形，故.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎10.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:),则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据正视图，左视图，俯视图可得该几何体为圆柱，然后根据圆柱表面积公式求解即可.‎ 详解：由题得该几何体为圆柱，底面半径为2，高为4，所以表面积为：‎ ‎，‎ 故选A.‎ 点睛：考查三视图，能正确推理出几何体的形状是解题关键，属于基础题.‎ ‎11.已知是偶函数，它在上是增函数.若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．‎ ‎【详解】∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是增函数，若f（lgx）＞f（1）．‎ ‎∴不等式等价为f（|lgx|）＞f（1），‎ 即|lgx|＞1，即lgx＞1或lgx＜﹣1，‎ 即x＞10或0＜x．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．‎ ‎12.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正四棱锥的外接球的球心在它的高上,求出球的半径即可求出球的表面积.‎ ‎【详解】解：如图,正四棱锥中,为正四棱锥的高,‎ 根据球的相关知识可知,正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上延长交球面于一点,‎ 连接,由球性质可知直角三角形且,‎ 根据平面几何中的射影定理可得,‎ 因为,‎ 所以侧棱长,‎ ‎,所以,所以.‎ 所以 故选A ‎【点睛】本题考查球的表面积球的内接几何体问题考查计算能力,是基础题.‎ 二、填空题 ‎13.下列命题正确的有________(只填序号)‎ ‎①若直线与平面有无数个公共点,则直线在平面内;‎ ‎②若直线l上有无数个点不平面α内,则l∥α;‎ ‎③若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;‎ ‎④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;‎ ‎⑤若平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a∥b.‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间线线、线面和面面位置关系有关定理，对五个命题逐一分析，由此得出正确命题的序号.‎ ‎【详解】对于①，根据公理，直线有两个点在平面内，则直线在平面内，故①正确.‎ 对于②，当直线和平面相交时，直线上有无数个点不在平面内，故②错误.‎ 对于③，若两条异面直线中的一条与一个平面平行，另一条直线可能在该平面内，故③错误.‎ 对于④，当直线和平面平行时，与平面没有公共点，故直线和平面内的直线平行或异面，故④正确.‎ 对于⑤，两条直线可能异面，故⑤错误.‎ 综上所述，正确的命题序号是：①④.‎ 故填：①④.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间中线线、线面和面面位置关系的命题真假性判断，属于基础题.‎ ‎14.已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为1， ，2，则其外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎ 设长方体的外接球的半径为，‎ ‎ 则长方体的对角线长等于外接球的直径，即，解得，‎ ‎ 所以外接球的表面积为.‎ ‎15.设，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再求.‎ ‎【详解】 ‎ ‎.‎ 故答案为-2‎ ‎【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单题型.‎ ‎16.如图，已知三棱锥中，，，，则二面角的平面角的大小为______．‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，由等腰三角形三线合一可知，；由二面角平面角定义可知为所求角，根据长度关系可知为等边三角形，从而得到结果.‎ ‎【详解】取中点，连接 ‎，，为中点 ，‎ 即为二面角的平面角 又， 为等边三角形 ‎，即二面角的大小为 故答案为 ‎【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解问题，关键是能够根据二面角平面角的定义，利用垂直关系在图形中得到二面角的平面角.‎ 三、解答题 ‎17.已知集合．‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解指数不等式可得集合A，根据对数函数的单调性可得集合B；（2）将集合间的的包含关系转化为不等式组求解可得所求范围．‎ ‎【详解】（1）不等式即为，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以．‎ 因为对数函数 在上单调递增，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）得．‎ ‎①当时，满足，此时，‎ 解得．‎ ‎② 当时，由得 ，解得，‎ 综上．‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】（1）集合的运算常与不等式的解法结合在一起考查，体现知识间的综合．‎ ‎（2）根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，一般要借助于数轴将其转化为不等式（组）求解，解题时一定要注意不等式中的等号是否能成立，解题的关键是正确理解集合包含关系的定义．‎ ‎18.在四棱锥中，平面，∥，，‎ ‎（1）求证：平面 ‎（2）求证：平面平面 ‎【答案】（1）证明见解析; （2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 要证平面，先证DC垂直面中两条相交直线即可.‎ ‎（2） 要证面面垂直，先证面中一条直线垂直于另一面即可.‎ ‎【详解】（1） 平面 平面， ，‎ 又，且，平面.‎ ‎（2） 平面，且∥，平面，‎ 又平面，平面平面 ‎【点睛】考查线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理.难度一般.‎ ‎19.已知函数f（x）是定义域为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+2x．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）若不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）f（x）=；（2）（，+∞）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）运用奇函数的定义，可得x＜0的解析式，进而得到f（x）的解析式；‎ ‎（2）求出f（x）在R上递增．不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0即为f（1+2t）＞﹣f（t﹣2）=f（2﹣t），即有1+2t＞2﹣t，解不等式即可得到所求范围．‎ 解：（1）∵函数f（x）是定义域为R上的奇函数，‎ ‎∴f（x）=﹣f（﹣x）‎ 又∵当x＞0时，f（x）=x2+2x．‎ 若x＞0，则﹣x＜0．f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x ‎∴f（x）=﹣f（﹣x）=2x﹣x2．‎ ‎∴f（x）=；‎ ‎（2）当x＞0时，f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1，‎ 区间（0，+∞）在对称轴x=﹣1的右边，为增区间，‎ 由奇函数的性质，可得f（x）在R上递增．‎ 不等式f（t﹣2）+f（2t+1）＞0即为 f（1+2t）＞﹣f（t﹣2）=f（2﹣t），‎ 即有1+2t＞2﹣t，解得t＞‎ 则t的取值范围是（，+∞）．‎ 考点：函数与方程的综合运用．‎ ‎20.（本题满分分）‎ 如图，在长方体中，底面为正方形，为底面的对角线，为的中点．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）求证：．‎ ‎（Ⅱ）求证：平面．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：(1)要证明 ，即证明平面 ，进而转证线线垂直即可；(2)要证明平面，转证线线平行即可.‎ 试题解析：‎ ‎（）证明：连接．‎ ‎∵在四棱柱中，平面，平面，‎ ‎∴．‎ ‎∵四边形是正方形，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴平面．‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎（）证明：设，连接．‎ ‎∵是正方形，∴是中点，‎ 又∵是中点，∴．‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎21.如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，，点、分别为棱、的中点．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取PC的中点G，连接GF，证明AEGF是平行四边形，得到∥平面.‎ ‎（2）先计算，根据等体积法得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）取PC的中点G，连接GF，因为F为PD的中点，‎ 所以，GF∥CD且 又E为AB的中点，ABCD是正方形，‎ 所以，AE∥CD且,故AE∥GF且 所以，AEGF是平行四边形，故AF∥EG，而平面，‎ 平面，所以，AF∥平面.‎ ‎（2）点到平面的距离为，,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎，解得，即点到平面的距离 ‎【点睛】本题考查了线面平行，点到平面的距离，利用等体积法可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎22.已知一个几何体的三视图如图所示.‎ ‎（1）求此几何体的表面积；‎ ‎（2）如果点，在正视图中所示位置，为所在线段中点，为顶点，求在几何体侧面的表面上，从点到点的最短路径的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，底面圆半径长a，圆柱高为‎2a，圆锥高为a．‎ ‎（2）将圆柱侧面展开，在平面矩形内线段PQ长为所求．‎ ‎【详解】（1）由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是圆锥的侧面积、‎ 圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.‎ ‎，，，‎ 所以.‎ ‎（2）沿点与点所母线剪开圆柱侧面，如图.‎ 则，所以从点到点在侧面上的最短路径的长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求面积，解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征及其度量，再由公式求出表面积，还考查曲面距离最值问题，采用化曲面为平面的办法．须具有空间想象能力、转化、计算能力．‎ 此处有视频，请去附件查看】‎