- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
【数学】湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试试题(理)(解析版)
湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试数学试题(理) 一、选择题: 1.已知集合,若,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】化简,,, 可得a=0,可得,可得, 故选:D. 2.已知复数满足,则在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】由题意,可得,, ,在复平面对应的点为, 故选:A. 3.已知是各项均为正数的等比数列,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设的公比为q,由,可得, 可得,由是各项均为正数,可得,可得, 故选:B. 4.已知,,,则的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】,即; ,, 可得, 故选:D. 5.等腰直角三角形中,,,点是斜边上一点,且,那么( ) A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】由题意得: , 故选:D. 6.某学校成立了、、三个课外学习小组,每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意4位学生中,恰有2人申请A学习小组的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设每位学生申请课外学习小组为一次试验,这是4次独立重复实验,记“申请A学习小组”为事件A,则,由独立重复实验中事件A恰好发生K次的概率计算公式可知,恰有2人申请A学习小组的概率是:, 故选:D. 7.已知数列的前项和,设,为数列的前 项和,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由数列的前项和, 可得,故, 故, 故=, 不等式恒成立,即恒成立, 即,由,可得,(当n=1时等号成立), 所以,故选:A. 8.已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点,,,抛物线的准线与轴交于点,于点,则四边形的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过点B作与点N,过点B作于点K,设,则, 则,,,可得,可得,, ,则四边形的面积 , 故选:C. 9.如图,已知平行四边形中,,为边的中点,将沿直线翻折成.若为线段的中点,则在翻折过程中,给出以下命题: ①线段的长是定值; ②存在某个位置,使; ③存在某个位置,使平面. 其中,正确命题是( ) A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】如图,取DC的中点N,连接NM、NB,易得且=定值,且=定值,易得=定值,由余弦定理可得:,可得为定值,故A正确; ②若,设,由易得DE=1, ,可得,即,因为,可得面,可得 与已知相矛盾,故②错误; ③易得,,可得面面,所以平面,故③正确, 故选:B. 10.函数的部分图像如图所示,给下列说法: ①函数的最小正周期为; ②直线为函数的一条对称轴; ③点为函数的一个对称中心; ④函数的图像向右平移个单位后得到的图像. 其中不正确说法的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】由图像可知:,,可得,故①正确; 由,可得,所以, 又,可得,,可得,故,令,可得,当时,对称轴为, 故②正确; 令,可得,当时,对称中心为,故③正确; 函数的图像向右平移个单位后得到, 即,故④错误. 故选:A. 11.已知,分别为双曲线的左、右焦点,过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点,记得内切圆半径为,的内切圆半径为,则的值等于( ) A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】由题意得:, 由过且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点,设A点在上方, 可得,, 可得,可得, 化简可得,可得, 故选:A. 12.已知函数的最小值分别为,则( ) A. B. C. D. 的大小关系不确定 【答案】A 【解析】由题意得:, 易得,设,可得,可得,由与图像可知存在,使得,可得当,,当,,可得得最小值为,即; 同理:, 设,可得或者,由与得图像可知,存在,使得,可得当时,,当时,,当时,,可得即为得最小值,可得,故, 故选:A. 二、填空题: 13.的展开式中,项的系数是__________. 【答案】240 【解析】由题意得:,只需,可得, 代回原式可得, 故答案:240. 14.已知一组数据10,5,4,2,2,2,,且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍,则所有可能的取值为__________. 【答案】或3或17 【解析】由题意可得这组数据的平均数为:, 众数为2,若,可得,可得; 若,则中位数为x,可得,可得; 若,则中位数为4,可得,可得, 故答案为:或3或17. 15.过动点作圆:的切线,其中为切点,若(为坐标原点),则的最小值是__________. 【答案】 【解析】由圆的方程可得圆心C的坐标为(2,2),半径等于1. 由M(a,b),则|MN|2=(a−2)2+(b−2)2−12=a2+b2−4a−4b+7, |MO|2=a2+b2. 由|MN|=|MO|,得a2+b2−4a−4b+7=a2+b2. 整理得:4a+4b−7=0. ∴a,b满足的关系为:4a+4b−7=0. 求|MN|的最小值,就是求|MO|的最小值. 在直线4a+4b−7=0上取一点到原点距离最小, 由“垂线段最短”得,直线OM垂直直线4a+4b−7=0, 由点到直线的距离公式得:MN的最小值为: . 16.用表示函数在闭区间上的最大值,若正数满足,则的为__________. 【答案】或 【解析】由题意得:①当,,,, 可得,故不成立; ②当,,,,可得,; ③当,,,,可得, ; ④当,,,不满足, 故答案为:或. 三、解答题: 17.在中,已知,,是边上的一点,,. (1)求; (2)求的面积. 解:(1)在中,由余弦定理,得, 所以,从而. 在中,由正弦定理, 得,所以. (2)由(1)知, 且. 所以, , 所以 18.如图,在直角三棱柱中,,,,,分别为,,的中点. (1)证明:平面平面; (2)求二面角的正弦值. (1)证明:因为,, 所以. 因为平面,平面, 所以. 因为, 所以平面. 因为平面, 所以. 易证, 因为, 所以平面, 因为平面, 所以平面平面. (2)解;过作,垂足为, 过作于, 连接, 则可证为二面角的平面角. 在中,求得; 在中,求得. 所以. 19.已知椭圆的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点,且焦点到椭圆上的点的最短距离为1. (1)求椭圆的方程; (2)若不过原点的直线与椭圆交于,两点,求面积的最大值. 解:(1)由及, 得. 所以,椭圆的方程为. (2)当直线的斜率存在时,设其方程为, 代入椭圆方程,整理,得. 由,得. 设, 则,. 于是. 又,坐标原点到直线的距离为. 所以,的面积. 所以, 当直线的斜率不存在时,设其方程为, 同理可求得 所以,的面积的最大值为. 20.某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户.为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额,健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额,分组如下:,,,…,(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图: (1)请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户,称为“健身达人”,经数据处理,现在列联表中得到一定的相关数据,请补全空格处的数据,并根据列联表判断是否有的把握认为“健身达人”与性别有关? 健身达人 非健身达人 总计 男 10 女 30 总计 (3)为吸引顾客,在健身项目之外,该健身馆特别推出健身配套营养品的销售,现有两种促销方案. 方案一:每满800元可立减100元; 方案二:金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折. 若某人打算购买1000元的营养品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案. 附: 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 解:(1)因为(元), 所以,预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元. (2)列联表如下: 健身达人 非健身达人 总计 男 10 40 50 女 20 30 50 总计 30 70 100 因为, 因此有的把握认为“健身达人”与性别有关系. (3)若选择方案一:则需付款900元; 若选择方案二:设付款元,则可能取值为700,800,900,1000. , , , . 所以(元) 因为,所以选择方案二更划算. 21.已知函数. (1)若对恒成立,求实数的值; (2)若存在不相等的实数,,满足,证明:. 解:(1)令, 则, 由题意,知对恒成立,等价. 当时,由知在上单调递增. 因为,所以不合题意; 当时,若, 则,若,则, 所以,在单调递减,在上单调递增. 所以 记, 则. 易知在单调递增,在单调递减, 所以, 即. 而, 所以,解得. (2)因为, 所以. 因为, 所以 令, 则. 记, 则,所以上单调递增. 又,由, 得, 所以,即. 另证:不妨设,因为,所以为增函数. 要证,即要证,即要证. 因为, 即要证. 记, 则. 所以, 从而,得证. 22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为. (1)写出的普通方程和的直角坐标方程; (2)若与轴交于点,与相交于、两点,求的值. 解:(1)方程可化为. 方程可化为. (2)将代入, 得. 设方程的两个根分别为,,则 . 23.(1)已知,若存在实数,使成立,求实数的取值范围; (2)若,,且,求证:. 解:(1)方法一:因为, 因为存在实数,使成立,所以,解得. 方法二:当时,符合题意. 当时, 因为, 所以. 因为存在实数,使成立,所说义. 当时,同理可得. 综上,实数的取值范围为. (2)因为, 所以, 当且仅当时取等号.查看更多