内蒙古自治区赤峰市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

内蒙古自治区赤峰市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

‎2019～2020学年高二上学期期末考试 数学（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.‎ ‎2.请将各题答案填写在答题卡上.‎ ‎3.本试卷主要考试内容：必修1～5占50%，选修1-1的第1、2章占50%.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出集合，的范围，然后根据并集运算即可.‎ ‎【详解】由题知，，‎ 解得，，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题.‎ ‎2.若椭圆，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值分别为（ ）‎ A. 3，1 B. C. 2，1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中椭圆方程求出椭圆基本量，，，然后根据，，的值求出椭圆上的点到两焦点距离的最大，最小值即可.‎ ‎【详解】由题知，，‎ 所以，‎ 所以距离的最大值为，‎ 距离的最小值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值，属于基础题.‎ ‎3.已知向量，，若，，三点共线，则（ ）‎ A. 10 B. ‎80 ‎C. －10 D. －80‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,,三点共线,得到,根据平面向量基本定理即可求得,得到向量,即可求得.‎ ‎【详解】解：因为,,三点共线,‎ 所以,则,,‎ 所以,‎ 故.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查共线向量与平面向量的数量积,考查运算求解能力.‎ ‎4.某几何体的三视图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位:)是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图还原出原几何体，确定几何体的结构后求体积．‎ ‎【详解】由三视图知，原几何体是一个正方体在旁边挖去一个三棱柱，尺寸见三视图，‎ 其体积为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查三视图，考查柱体的体积．解题关键是由三视图还原出原几何体．‎ ‎5.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎3 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由渐近线方程得出，再由离心率公式以及的关系求解即可.‎ ‎【详解】由题可得，所以．‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于基础题.‎ ‎6.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，‎ 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ A. 可以预测，当时， B. ‎ C. 变量，之间呈负相关关系 D. 该回归直线必过点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 将代入回归直线方程，即可判断A选项；算出的平均数，根据样本点中心一定在回归直线上，判断BD选项；根据回归直线的斜率判断C选项.‎ ‎【详解】对于A选项，当时，，A选项正确；‎ 对于B选项，，‎ 将点（，）的坐标代入回归直线方程得 解得，B选项正确；‎ 对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量，之间呈负相关关系，选项正确；‎ 对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点，D选项不正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了由回归直线方程求参数等，属于基础题.‎ ‎7.双曲线与双曲线有相同的（ ）．‎ A. 离心率 B. 渐近线 C. 实轴长 D. 焦点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线方程得出离心率，渐近线方程，实轴长，焦点坐标即可判断.‎ ‎【详解】由双曲线的方程得，离心率为，渐近线方程为，实轴长为，焦点为 由双曲线方程得，离心率为，渐近线方程为，实轴长为，焦点为．‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质，属于基础题.‎ ‎8.“点在圆内”是“直线与圆相离”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点与圆，直线与圆的位置关系判断即可.‎ ‎【详解】若点在圆内，则 则圆心到直线距离 则直线与圆相离 反之 直线与圆相离，则圆心到直线的距离，即，则点在圆内 所以“点在圆内”是“直线与圆相离”的充分必要条件 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断，涉及点与圆，直线与圆的位置关系，属于基础题.‎ ‎9.椭圆，点，为椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点，点在以原点为圆心，为半径的圆上，则椭圆的离心率取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中圆与椭圆的几何关系，列出不等式求解即可.‎ ‎【详解】由题知在以原点为圆心，为半径的圆上，‎ 所以，‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了根据几何关系求椭圆离心率的取值范围，属于基础题.‎ ‎10.下列命题中错误的是（ ）‎ A. 已知，若命题，则命题 B. 命题“若，则且”的逆否命题为“若或，则”‎ C. 命题“，”为真命题 D. 命题，，则，‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简命题，的不等式，根据否定的定义判断A选项；根据逆否命题的定义判断B选项；利用辅助角公式以及正弦函数的性质判断C选项；根据否定的定义判断D选项.‎ ‎【详解】对于A选项，由命题，得或，由命题，则 而命题应是，则A不正确．‎ 对于B选项，“若，则且”的逆否命题为“若或，则”，则B正确；‎ 对于C选项，，，则C正确；‎ 对于D选项，命题的否定，，则D正确 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了写出原命题的逆否命题，判断命题的真假等，属于基础题.‎ ‎11.若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（ ）‎ A. 11 B. ‎22 ‎C. 44 D. 21‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆和双曲线的定义列出方程组，求解即可得出答案.‎ ‎【详解】，得，即．‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了椭圆和双曲线定义的应用，属于基础题.‎ ‎12.已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义可得，又 即可得到关于的方程，解得.‎ ‎【详解】解：，‎ 即，‎ 化简得，即，‎ 解得或，所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.从，2，5，9中任取两个不同的数，分别记为，，则“”的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用古典概型的概率公式求解即可.‎ ‎【详解】从四个数中任取两个不同的数，，共有12种方法，‎ 其中使的方法为：‎ 时，取，，‎ 时，取，，‎ 时，取，，‎ 共种，‎ 则概率.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题.‎ ‎14.若函数的最小正周期为，则在上的值域为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据最小正周期求出，然后根据定义域范围求出值域范围即可.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，有，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的最小正周期，三角函数值域的求解，属于基础题.‎ ‎15.执行如图所示的程序框图，输出的结果为________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图可知，程序在循环次之后输出，所以求出的最终值即可.‎ ‎【详解】由题知在程序循环次之后，‎ 输出值是以为首项，为公比的等比数列前项和，‎ 即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了程序框图的循环语句，等比数列的求和公式，属于基础题.‎ ‎16.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上一点，且在第一象限，当取得最小值时，点的坐标为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出点到点和焦点的距离之比的表达式，然后根据几何关系求解即可求出当 取得最小值时，点的坐标.‎ ‎【详解】由题知焦点，准线方程为，‎ 过点作垂直于准线，为垂足，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 求的最小值等价于求的最大值，‎ 即，‎ 故，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，基本不等式，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在中，角，，所对的边分别为，，，已知 ‎．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，且的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（1）（2）周长为6．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理边化角得出，结合三角形内角和，诱导公式，两角和的正弦公式化简得出，由商数关系即可得出角的值； ‎ ‎（2）由三角形面积公式化简得出，再由余弦定理得出，即可得出的周长.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理边化角得．‎ ‎∵，∴，代入得 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴，，‎ 又∵，∴．‎ ‎（2）∵，∴‎ 由余弦定理得 ‎∴，∴‎ ‎∴的周长为6．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式以及三角形面积公式，余弦定理，属于中档题.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形， ，‎ 面，.‎ ‎(1)证明:平面⊥平面；‎ ‎(2)求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在直角梯形中，由勾股定理逆定理得，再由面，得，于是有平面，从而可得面面垂直；‎ ‎（2）利用等体积法可求得到平面距离.‎ ‎【详解】（1）证明：在直角梯形中，由，，得 ‎，∴，∴，‎ 又面，∴，，∴平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面⊥平面；‎ ‎（2）由（1）得，，，‎ ‎，．‎ 设点到平面的距离为，‎ 则，∴，‎ ‎∴点到平面的距离为．‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查求点到平面的距离，立体几何中求点到平面的距离在高不易作出的情况下常用等体积法，即一个三棱锥的体积用两种方法表示，一种易求得体积，另一种只求得底面积，高（即所求距离）不易得，由两者相等即可得距离．‎ ‎19.已知数列的前项和为，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据与的关系得出数列为等比数列，即可得出数列的通项公式；‎ ‎（2）利用错位相减法求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，即；‎ 当时，①，②‎ 由②①得 ‎，即，∴‎ 即，又 ‎∴数列为等比数列，公比为2，首项为1‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）可得，，，‎ ‎∴③‎ ‎④‎ ‎③④得 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用与的关系求数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.‎ ‎20.在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．甲镇有基层干部60人，乙镇有基层干部60人，丙镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从甲、乙、丙三镇共选20名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成，，，，5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这20人中有多少人来自丙镇，并估计甲、乙、丙三镇的基层干部走访贫困户户数的中位数（精确到整数位）；‎ ‎（2）如果把走访贫困户达到或超过35户视为工作出色，求选出的20名基层干部中工作出色的人数，并从中选2人做交流发言，求这2人中至少有一人走访的贫困户在的概率．‎ ‎【答案】（1）28（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按照比例得出这20人中来自丙镇人数，利用频率直方图求中位数的方法求解即可；‎ ‎（2）按照比例得出走访户数在，的人数，列举出6人中抽取2人的所有情况，再由古典概型概率公式计算即可.‎ ‎【详解】解：（1）20人中来自丙镇的有人．‎ ‎∵，‎ ‎∴估计中位数．‎ ‎∴‎ ‎（2）20名基层干部中工作出色的人数为 其中，走访户数在的有人，设为，，，‎ 走访户数在的有人，设为，‎ 从6人中抽取2人有，，，，，，，，，，，，，，共15种 其中2人走访贫困户都在的有，，，，，，共6种．‎ 故所求概率．‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图计算中位数以及古典概型概率公式计算概率，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若过点且斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求（为坐标原点）的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中椭圆的离心率与椭圆上点的坐标求出椭圆基本量即可求出椭圆方程；‎ ‎（2）根据题意设出直线方程，联立后利用韦达定理求解三角形面积即可.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 因为，‎ 所以，，，‎ 故椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设直线：，‎ 联立得，‎ 因为在椭圆的内部，‎ 所以直线与椭圆总相交，‎ 设，‎ 则，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解，利用韦达定理求解三角形面积，属于中档题.‎ ‎22.已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）.‎ ‎（1）求的方程.‎ ‎（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求该定值及的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）存在,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，得，即可表示出的面积，计算可得.‎ ‎（2）设直线的方程为，联立直线与曲线方程，根据焦点弦长公式计算出 ‎，求出线段的垂直平分线与轴交于点的坐标，设，则可用含，的式子表示，即可分析当为何值是为定值.‎ ‎【详解】解：（1）将代入，得，‎ 所以的面积为.‎ 因为，所以，‎ 故的方程为.‎ ‎（2）由题意设直线的方程为，‎ 由得.‎ 设，，则，‎ 所以.‎ 因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为,‎ 所以线段的垂直平分线的方程为,‎ 令，得，所以的横坐标为，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 所以当且仅当，即时，为定值，且定值为2，故存在点，且的坐标为.‎ ‎【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合应用问题，属于中档题.‎