上海市金山中学2018-2019学年高一5月月考数学试题

上海市金山中学2018-2019学年高一5月月考数学试题

www.ks5u.com ‎2018学年第二学期阶段测试 高一数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1题至第6题每题填对得4分，否则一律得零分；第7题至第12题每题填对得5分，否则一律得零分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．‎ ‎1.角属于第________象限角.‎ ‎【答案】二；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过与角终边相同的角所在的象限判断得解.‎ ‎【详解】由题得与终边相同的角为 当k=1时，与终边相同的角为，‎ 因为在第二象限，‎ 所以角属于第二象限的角.‎ 故答案为：二 ‎【点睛】本题主要考查终边相同的角，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2.在半径为10米的圆形弯道中，120°角所对应的弯道长为 米．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 弯道长是半径为10，圆心角为即弧度所对的弧长。由弧长公式得弧长为 ‎。‎ ‎3.在数列中，，则数列的通项公式为________________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判定数列是等差数列，再写出等差数列的通项.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以数列是公差为3的等差数列，‎ 所以.‎ 所以数列的通项公式为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列性质证明和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4.函数，为偶函数，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式以及的取值范围，求得的值.‎ ‎【详解】根据诱导公式可知，是的奇数倍，而，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查三角函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎5.方程在R上的解集为______________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解方程得，写出方程的解集即可.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角方程的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6.已知，则__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式化简原式，再将代入即可得出结论.‎ ‎【详解】，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.‎ ‎7.若函数的定义域为，则它的值域为________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用余弦函数的性质和反正弦的性质逐步求出函数的值域.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 所以函数的值域为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查反正弦函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎8.设，若函数在上单调递增，则的取值范围是___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求增区间，再根据包含关系求结果.‎ ‎【详解】由得增区间为 所以 ‎【点睛】本题考查正弦函数单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎9.将函数的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应表达式为，则函数的表达式可以是________________.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用逆向思维反推出函数的表达式.‎ ‎【详解】把函数的图像向下平移一个单位得到，再把函数的图像向左平移个单位得到.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎10.在△中，，，，下列说法中正确的是（ ）‎ A. 用、、为边长不可以作成一个三角形 B. 用、、为边长一定可以作成一个锐角三角形 C. 用、、为边长一定可以作成一个直角三角形 D. 用、、为边长一定可以作成一个钝角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形的性质可得：任意两边之和大于第三边，再由余弦定理即可得出结果.‎ ‎【详解】因为在△中，，，，‎ 所以，，，‎ 所以，所以；‎ 同理可得；，故、、可以作为三角形的三边；‎ 若、、分别对应三角形的三边，根据余弦定理可得：‎ ‎；；；‎ 即、、所对应的三个角均为锐角，‎ 所以用、、为边长一定可以作成一个锐角三角形.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查三角形的性质以及余弦定理，熟记余弦定理即可，属于常考题型.‎ ‎11.数列的通项公式为，其前n项和为，则________.‎ ‎【答案】1009‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过列举得到从数列第一项到第四项的和为6，从数列第五项到第八项的和为6，依次类推.再根据是以-1为首项，以-4为公差的等差数列，求出，再求解.‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎,‎ 故可以推测从数列第一项到第四项的和为6，从数列第五项到第八项的和为6，依次类推.‎ ‎,‎ 又是以-1为首项，以-4为公差的等差数列，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：1009‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎12.函数是定义域为R的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求得（1），作函数的图象，分类讨论即可．‎ ‎【详解】（1），‎ 作函数的图象如下图，‎ 设方程的两个根为，；‎ ‎①若，，‎ 故，，‎ 故，；‎ ‎②若，，‎ 故，‎ 故，；‎ 故答案为： ，，．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用．‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎13.在中，如果，则的形状是（ ）．‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简已知得到,即得三角形形状.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以,‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以,‎ 所以.‎ 所以三角形是等腰直角三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查和角差角的正余弦公式，考查三角函数的有界性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎14.北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图书馆在B处，为测量A，B两地之间的距离，某同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B. 其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是_______. ‎ ‎【答案】②③.‎ ‎【解析】‎ 分析：由题意结合所给的条件确定三角形解的个数即可确定是否能够唯一确定A，B两地之间的距离.‎ 详解：考查所给的四个条件：‎ ‎①测量∠A，AC，BC，已知两边及对角，由正弦定理可知，三角形有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；‎ ‎②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；‎ ‎③测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；‎ ‎④测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；‎ 综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②③.‎ 点睛：本题主要考查解三角形问题，唯一解的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15.已知等差数列的前项和满足且，则下列结论错误的是（ ）‎ A. 和均为的最大值 B. ‎ C. 公差 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由可得,故,且,所以且和均为的最大值,故应选D.‎ 考点：等差数列的前项和的性质及运用.‎ ‎16.函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，，时，，定义域的区间长度最小为，最大为，‎ 由此选出符合条件的选项．‎ ‎【详解】函数的定义域为，，值域为，，‎ ‎，时，，‎ 故能取到最小值，最大值只能取到，‎ 例如当，时，区间长度最小为；‎ 当，时，区间长度取得最大为，即，‎ 故一定取不到，‎ 故选：C．‎ 点睛】本题考查正弦函数的定义域和值域，判断定义域的区间长度最小为，最大为，是解题的关键，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17.已知等差数列的前n项和，求 ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出数列首项和公差，再写出数列的通项；（2）由题得是以-5为首项，以6为公差的等差数列，再求解即可.‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以 所以 所以.‎ ‎（2）由题得是以-5为首项，以6为公差的等差数列，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项求法和前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎18.已知△中，，，. 求：‎ ‎（1）角的大小；‎ ‎（2）△ABC中最小边的边长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由内角和定理，以及诱导公式化简tanC，将tanA与tanB代入值代入求出tanC的值，即可确定出C的度数；‎ ‎（2）由tanA与tanB的大小判断出BC为最小边，由tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，利用正弦定理求出BC的长．‎ ‎【详解】解：(1)‎ ‎= –= – ，所以，‎ ‎(2)因为，所以最小角为 又因为，所以， ‎ ‎，又，‎ 所以 ．‎ ‎【点睛】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎19.‎ 已知函数＞0，＞0，＜的图象与 轴的交点为（0，1），它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和 ‎（1）写出的解析式及的值；‎ ‎（2）若锐角满足，求的值.‎ ‎【答案】（1）, ；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据图象的最值求出根据最高点与最低点坐标求出，从而求出，再由图象经过，求出，然后求的解析式，根据，求的值；（2）锐角 满足，根据平方关系以及二倍角的正弦、余弦公式求出化简，将所求的值代入，即可求得的值.‎ 试题解析：（1）由题意可得，即 ，，‎ ‎．又，由，‎ ‎, ． ‎ ‎，所以，，‎ 又是最小的正数， .‎ ‎（2），‎ ‎，，‎ ‎， ‎ ‎.‎ ‎【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质及恒等变形，属于中档题. 利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.‎ ‎20.某公园内有一块以O为圆心半径为20米圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为等腰梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中，，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超过60米（即要求）.设，.‎ ‎（1）当时求舞台表演区域的面积；‎ ‎（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？‎ ‎【答案】（1）平方米（2）对于任意α，上述设计方案均能符合要求，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知求出的弧度数，再由扇形面积公式求解；（2）过作垂直于，垂直为，可求，，由图可知，点处观众离点处最远，由余弦定理可得，由范围，利用正弦函数的性质可求，由，可求上述设计方案均能符合要求．‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 所以舞台表演区域的面积平方米 ‎（2）‎ 作于H，则 在中， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为，所以当时，‎ ‎ ‎ 所以对于任意α，上述设计方案均能符合要求.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．‎ ‎21.已知函数f（x），g（x）满足关系g（x）=f（x）•f（x+α），其中α是常数．‎ ‎（1）设f（x）=cosx+sinx，，求g（x）的解析式；‎ ‎（2）设计一个函数f（x）及一个α的值，使得；‎ ‎（3）当f（x）=|sinx|+cosx，时，存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值．‎ ‎【答案】（1） （2）f（x）=2cosx，α=- （3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出f（x+α），代入g（x）=f（x）•f（x+α）化简得出．‎ ‎（2）对g（x）化简得=4cosx•cos（x-），故f（x）=2cosx，α=-．‎ ‎（3）求出g（x）的解析式，由题意得g（x1）为最小值，g（x2）为最大值，求出x1，x2，从而得到|x1-x2|的最小值.‎ ‎【详解】（1）∵f（x）=cosx+sinx，∴f（x+α）=cos（x+）+sin（x+）=cosx-sinx；‎ ‎∴g（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x．‎ ‎（2）∵=4cosx•cos（x-），‎ ‎∴f（x）=2cosx，α=-．‎ ‎（3）∵f（x）=|sinx|+cosx，∴g（x）=f（x）•f（x+α）=（|sinx|+cosx）（|cosx|-sinx）‎ ‎=，‎ 因为存在x1，x2∈R，对任意x∈R，g（x1）≤g（x）≤g（x2）恒成立，‎ 所以当x1=2kπ+π或时，g（x）≥g（x1）=-1‎ 当时，g（x）≤g（x2）=2‎ 所以 或 所以|x1-x2|的最小值是．‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图像及性质，考查分段函数的应用，属于中档题．‎ ‎ ‎