2018-2019学年安徽省毛坦厂中学高一下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省毛坦厂中学高一下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省毛坦厂中学高一下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知点，，则直线的斜率是（ ）‎ A．1 B．-1 C．5 D．-5‎ ‎【答案】A ‎【解析】由,即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的斜率，属于基础题型.‎ ‎2．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.‎ ‎【详解】‎ 在中，由正弦定理得，所以，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎3．直线被圆截得的弦长为（ ）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由圆的一般方程写出圆心坐标，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线m的距离d，则弦长等于.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，∴圆的圆心坐标为，半径为，又点到直线的距离，∴直线被圆截得的弦长等于.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的弦长公式的求法，常用方法有代数法和几何法；属于基础题型.‎ ‎4．若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 据题意，得，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的一般方程，属于基础题型.‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截去一个角所得，故体积为.‎ ‎6．如图，若长方体的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段的长是（ ）‎ A． B． C．28 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由长方体的三个面对面积先求出同一点出发的三条棱长，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 设长方体从一个顶点出发的三条棱的长分别为，且，，，则，，，所以长方体中线段的长等于.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单几何体的结构特征，属于基础题型.‎ ‎7．若圆与圆相切，则实数（ ）‎ A．9 B．-11 C．-11或-9 D．9或-11‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别讨论两圆内切或外切，圆心距和半径之间的关系即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径，讨论：当圆与圆外切时，，所以；当圆与圆内切时，，所以，综上，或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆与圆位置关系，由两圆相切求参数的值，属于基础题型.‎ ‎8．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则.其中正确的命题是（ ）‎ A．②③ B．①③ C．②④ D．①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质即可作答.‎ ‎【详解】‎ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故②错；若，，，则或与为异面直线或与为相交直线，故④错；若，则存在过直线的平面，平面交平面于直线，，又因为，所以，又因为平面，所以，故③对.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间中，直线与平面平行或垂直的判定与性质,以及平面与平面平行或垂直的判定与性质，属于基础题型.‎ ‎9．若实数，满足不等式组则的最大值为（ ）‎ A． B．2 C．5 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用线性规划数形结合分析解答.‎ ‎【详解】‎ 由约束条件，作出可行域如图：‎ 由得A(3,-2).‎ 由，化为，‎ 由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最大值为5.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎10．已知数列的前项和为，，且满足，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由递推关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差；利用等差数列通项公式和前项和公式分别求得和，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 数列为等差数列，设其公差为 ‎， ，解得：‎ ‎，‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前项和公式的应用.‎ ‎11．如图，在正方体，点在线段上运动，则下列判断正确的是（ ）‎ ‎①平面平面 ‎②平面 ‎③异面直线与所成角的取值范围是 ‎④三棱锥的体积不变 A．①② B．①②④ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1 ，从而可以证明面面垂直；‎ ‎②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；‎ ‎③分析出A1P与AD1所成角的范围，从而可以判断真假；‎ ‎④=，C到面 AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变；‎ ‎【详解】‎ 对于①，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1 ，DB1⊂平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1，正确．‎ ‎②连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得 A1P∥平面ACD1，正确．‎ ‎③当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，‎ 当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，‎ 故A1P与AD1所成角的范围是，错误；‎ ‎④=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变．‎ ‎∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变，正确；‎ 正确的命题为①②④．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间点、线、面的位置关系，空间想象能力，中档题．‎ ‎12．设的三个内角成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】的三个内角成等差数列，可得角A、C的关系，将已知条件中角C消去，利用三角函数和差角公式展开即可求出角A的值，再由三角形面积公式即可求得三角形面积.‎ ‎【详解】‎ 的三个内角成等差数列，则，解得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 整理得，则或，‎ 因为，解得或.‎ ‎①当时，；‎ ‎②当 时，，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形内角和定理、等差数列性质、三角函数和差角公式、三角函数辅助角公式，综合性较强，属于中档题；解题中主要是通过消元构造关于角A的三角方程，其中利用三角函数和差角公式和辅助角公式对式子进行化解是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．已知不等式的解集为或，则实数__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由题意可知，3为方程的两根，利用韦达定理即可求出a的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，3为方程的两根，则，即.‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎14．已知点在直线上，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由题得表示点到点的距离，再利用点到直线的距离求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得表示点到点的距离.‎ 又∵点在直线上，‎ ‎∴的最小值等于点到直线的距离，‎ 且.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点到两点间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎15．已知在数列中，且，若，则数列的前项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据递推关系式可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得，得到，进而求得；利用裂项相消法求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 数列是首项为，公差为的等差数列 ‎，即： ‎ 设前项和为 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项的求解、裂项相消法求数列的前项和；关键是能够通过通项公式的形式确定采用的求和方法，属于常考题型.‎ ‎16．在半径为的球中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不等式得到，得到侧面积最大值为；根据球的表面积公式求得球的表面积，作差得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设球内接正四棱柱的底面边长为，高为 则球的半径:‎ ‎ ‎ 正四棱柱的侧面积：‎ 球的表面积：‎ 当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数，.‎ ‎（1）求解不等式；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】（1）对x分类讨论解不等式得解；（2）由题得，再利用基本不等式求函数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时，，解得.‎ 当时，，解得.‎ 所以不等式解集为或.‎ ‎（2），‎ 当且仅当，即时取等号.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎18．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若平面平面，证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）先证明，再证明平面；（2）先证明平面，再证明.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）因为，分别为，的中点，‎ 所以.‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为，为中点，所以.‎ 又平面平面.‎ 平面平面，所以平面.‎ 又平面，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎19．已知圆与直线相切 ‎（1）若直线与圆交于两点，求 ‎（2）已知，设为圆上任意一点，证明：为定值 ‎【答案】（1）4；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）利用直线与圆相切，结合点到直线距离公式求出半径，从而得到圆的方程；根据直线被圆截得弦长的求解方法可求得结果；（2）设，则，利用两点间距离公式表示出，化简可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，圆心到直线的距离：‎ 圆与直线相切 圆方程为：‎ 圆心到直线的距离：‎ ‎，‎ ‎（2）证明：设，则 即为定值 ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、直线被圆截得弦长的求解、两点间距离公式的应用、定值问题的求解.解决定值问题的关键是能够用变量表示出所求量，通过化简、消元整理出结果.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，为的中点，且，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若点为线段上一点，且，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）6‎ ‎【解析】（1）连接交于点，得出点为的中点，利用中位线的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理可得出平面；‎ ‎（2）过作交于，由平面，得出平面，可而出，结合，可证明出平面，可得出，并计算出，利用平行线的性质求出的长，再利用锥体的体积公式可计算出四棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接交于，连接.‎ 四边形为矩形，∴为中点.‎ 又为中点，∴.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）过作交于.‎ ‎∵平面，∴平面.‎ 又平面，∴.‎ ‎∵，，，平面，‎ ‎∴平面.连接，则，‎ 又是矩形，易证，而，，得，‎ 由得，∴.‎ 又矩形的面积为8，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面平行的证明，以及锥体体积的计算，直线与平面平行的证明，常用以下三种方法进行证明：‎ ‎（1）中位线平行；（2）平行四边形对边平行；（3）构造面面平行来证明线面平行。‎ 一般遇到中点找中点，根据已知条件类型选择合适的方法证明。‎ ‎21．如图，在四边形中，，，.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若，，求的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面积．‎ ‎（2）设∠BAC＝θ，AC=x，由正弦定理得从而，在中，由正弦定理得，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．再利用余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，，，‎ 所以，即，‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎（2）设，，则，‎ 在中，由正弦定理得：，‎ 所以；‎ 在中，，所以.‎ 即，化简得：，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 所以在中，.‎ 即，解得或（舍）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎22．已知数列的前项和为，点在直线上.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，若数列的前项和为，求证：.‎ ‎【答案】（1） （2）见解析 ‎【解析】（1）先利用时，由求出的值，再令，由 ‎，得出，将两式相减得出数列为等比数列，得出该数列的公比，可求出；‎ ‎（2）利用对数的运算性质以及等差数列的求和公式得出，并将裂项为，利用裂项法求出，于此可证明出所证不等式成立.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可得.‎ 当时，，即.‎ 由题设，，两式相减得.‎ 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 则，‎ 所以 因为，所以，即证.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用求通项，以及裂项法求和，利用求通项的原则是，另外在利用裂项法求和时要注意裂项法求和法所适用数列通项的基本类型，熟悉裂项法求和的基本步骤，都是常考题型，属于中等题。‎