高中数学人教a版选修4-1知能达标演练:2-1圆周角定理 含解析

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高中数学人教a版选修4-1知能达标演练:2-1圆周角定理 含解析

一、选择题 ‎1.下列说法中:(1)直径相等的两个圆是等圆;(2)长度相同的两条弧是等弧;(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦;(4)一条弦把圆分成两条弧,这两条弧不可能是等弧,正确的有 ‎(  ).                  ‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析 考查圆的一些基本概念.‎ 答案 B ‎ ‎2.如图所示,若D是的中点,则与∠ABD相等的角的个数是 ‎(  ).‎ A.7 B.3‎ C.2 D.1‎ 解析 由同弧或等弧所对的圆周角相等知∠ABD=∠CBD=∠ACD=∠DAC,故与∠ABD相等的角有3个.‎ 答案 B ‎3.如图,点A、B、C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于 ‎(  ).‎ A.4π B.8π C.12π D.16π 解析 连接OA、OB,‎ ‎∵∠ACB=30°,‎ ‎∴∠AOB=60°,‎ 又∵OA=OB,‎ ‎∴△AOB为等边三角形,‎ 又AB=4,‎ ‎∴OA=OB=4,‎ ‎∴S⊙O=π·42=16π.‎ 答案 D ‎4.如图所示,若圆内接四边形的对角线相交于E,则图中相似三角形有(  ).‎ A.1对        B.2对 C.3对        D.4对 解析 由推论1知∠ADB=∠ACB,∠ABD=∠ACD,∠BAC=∠BDC,∠CAD=∠CBD,‎ ‎∴△AEB∽△DEC,△AED∽△BEC.‎ 答案 B 二、填空题 ‎5.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC为直径的圆与斜边交于点P,则BP长为________.‎ 解析 连接CP,由推论2知∠CPA=90°,‎ 即CP⊥AB,由射影定理知AC2=AP·AB,‎ ‎∴AP=3.6,∴BP=AB-AP=6.4.‎ 答案 6.4‎ ‎6.如图所示,AB为⊙O的直径,AC=‎4 cm,BC=‎3 cm,CD⊥AB于D,则CD的长为________ cm.‎ 解析 由AB为⊙O的直径,可知∠ACB=90°,由勾股定理可得AB=‎5 cm,因S△ACB=AC·BC=AB·CD.‎ 故3×4=5·CD,所以CD= cm.‎ 答案  ‎7.如图所示,在⊙O中,已知∠ACB=∠CDB=60°,AC=3,则△ABC的周长是________.‎ 解析 由圆周角定理得∠A=∠D=∠ACB=60°,所以△ABC为等边三角形,所以周长等于9.‎ 答案 9‎ ‎8.如图所示,若△ABC为等腰三角形,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠A=40°,D是B的中点,E是A的中点,分别连接BD、DE、BE,则△BDE的三内角的度数分别是________.‎ 解析 如图所示,连接AD.‎ ‎∵AB=AC,D是B的中点,‎ ‎∴AD过圆心O.‎ ‎∵∠A=40°,‎ ‎∴∠BED=∠BAD=20°.‎ ‎∠CBD=∠CAD=20°.‎ ‎∵E是A的中点,‎ ‎∴∠CBE=∠CBA=35°.‎ ‎∴∠EBD=∠CBE+∠CBD=55°.‎ ‎∴∠BDE=180°-20°-55°=105°.‎ 答案 55° 20° 105°‎ 三、解答题 ‎9.如图所示,AB是⊙O的直径,弦AC=‎3 cm,BC=‎4 cm,CD⊥AB,垂足为D,求AD、BD和CD的长.‎ 解 ∴AB是⊙O的直径,‎ ‎∵AC⊥BC.‎ ‎∵CD⊥AB,‎ ‎∴AC2=AD·AB,‎ BC2=BD·AB.‎ ‎∵AC=‎3 cm,‎ BC=‎4 cm,‎ ‎∴AB=‎5 cm.‎ ‎∴AD= cm,‎ BD= cm.‎ ‎∵CD2=AD·BD=×= cm2.‎ ‎∴CD= = cm,AD= cm,‎ BD= cm.‎ ‎10.如图,△ABC内接于⊙O,=,点D是上任意一点,AD=‎6 cm,BD=‎5 cm,CD=‎3 cm,求DE的长.‎ 解 在题图中∵=,‎ ‎∴∠ADB=∠CDE,‎ 又∵=B,‎ ‎∴∠BAD=∠ECD,∴△ABD∽△CED,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴ED=‎2.5 cm.‎ ‎11.(拓展深化)如图①所示,△ABC内接于⊙O,AB=AC,D是BC边上的一点,E是直线AD和△ABC外接圆的交点.‎ ‎(1)求证:AB2=AD·AE;‎ ‎(2)如图②所示,当D为BC延长线上的一点时,第(1)题的结论成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.‎ 证明 (1)如图③,连接BE.‎ ‎∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.‎ ‎∵∠ACB=∠AEB,‎ ‎∴∠ABC=∠AEB.‎ ‎∴△ABD∽△AEB. ‎ ‎∴AB∶AE=AD∶AB,‎ 即AB2=AD·AE.‎ ‎(2)如图④,连接BE、EC,‎ ‎∵四边形ABCE内接于⊙O,‎ ‎∴∠CED=∠ABC,‎ ‎∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,‎ ‎∴∠CED=∠ACB,‎ ‎∵∠AEC=180°-∠CED,‎ ‎∠ACD=180°-∠ACB,‎ ‎∴∠AEC=∠ACD,∴△ACE∽△ADC,‎ ‎∴=,∴AB2=AD·AE.‎
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