四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期第一次在线月考数学(理)试题

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四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期第一次在线月考数学(理)试题

‎2020年春四川省棠湖中学高二第一学月考试 理科数学试题 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.直线的倾斜角是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是 ‎ A.所有奇数的立方不是奇数 B.不存在一个奇数,它的立方是偶数 C.存在一个奇数,它的立方是偶数 D.不存在一个奇数,它的立方是奇数 ‎3.椭圆的焦距为 ‎ A.5 B.‎3 ‎C.4 D.8‎ ‎4.命题“,”的否定是 ‎ A. , B.,‎ C., D.,‎ ‎5.直线被圆截得的弦长为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知直线和平面内的两条直线,则“”是“且”的 ‎ A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.已知直线与平面,,则下列说法正确的是 A.若,,则 B.若,,则 C.若,,则 D.若,,则 ‎8.已知分别为直线与上的两个动点,则线段的长度的最小值为 A. B.‎1 ‎C. D.2‎ ‎9.不等式组表示的平面区域的面积为 A. B. C. D.‎ ‎10.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则以下四种说法中正确的个数为 ‎ ‎ ‎①甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 ②甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数 ‎③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ④甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎11.已知,,,若不等式对已知的,及任意实数恒成立,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎12.已知是椭圆上两个不同点,且满足,则的最大值为 ‎ A. B.‎4 ‎C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为________.‎ ‎14.求过点,并且在两轴上的截距相等的直线方程_____.‎ ‎15.已知三棱锥中,,,两两相互垂直,且,,,则三棱锥外接球的表面积为________.‎ ‎16.已知为坐标原点,为抛物线:的焦点,直线:与抛物线交于,两点,点在第一象限,若,则的值为______.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.( 10分)已知,命题:,命题:.‎ ‎(I)当时,若命题为真,求的取值范围;‎ ‎(II)若是的充分条件,求的取值范围.‎ ‎18.(12分)某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入4万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从0开始计数的.‎ ‎(I)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;‎ ‎(II)估计该公司投入4万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);‎ ‎(III)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:‎ 广告投入x(单位:万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益y(单位:万元)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎7‎ 表中的数据显示,x与y之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入上表的空白栏,并计算y关于x的回归方程.‎ 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.‎ ‎19.(12分)已知抛物线焦点为,准线与轴的交点为.‎ ‎(Ⅰ)抛物线上的点P满足,求点的坐标;‎ ‎(Ⅱ)设点是抛物线上的动点,点是的中点,,求点的轨迹方程.‎ ‎20.(12分)已知圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.‎ ‎(Ⅰ)若直线l:x+y=0与圆C交于A,B两点,求弦AB的长;‎ ‎(Ⅱ)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.‎ ‎21.(12分)在梯形中,,为的中点,线段与交于点(如图1).将沿折起到的位置,使得二面角为直二面角(如图2).‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)线段上是否存在点,使得与平面所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎22.(12分)在平面直角坐标系中,四个点,,,中有3个点在椭圆:上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)过原点的直线与椭圆交于,两点(,不是椭圆的顶点),点在椭圆上,且,直线与轴、轴分别交于、两点,设直线,的斜率分别为,,证明:存在常数使得,并求出的值.‎ ‎2020年春四川省棠湖中学高二第一学月考试 理科数学试题参考答案 ‎1.C 2.C 3.D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.A 10.D 11.D 12.C ‎13. 14.或 15. 16.‎ ‎17.(1)由题意,,即命题:,‎ 当时,命题:,即:,‎ 若为真,则都是真命题,则;‎ ‎(2)由题意,:,:,‎ 若是的充分条件,则,‎ 即,解得.故的取值范围是.‎ ‎18.(1)设各小长方形的宽度为m,可得:‎ ‎,.‎ ‎(2)可得各组中点从左向右依次是1,3,5,7,9,11,‎ 各组中点对应的频率从左向右依次是0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04,‎ 平均值.‎ ‎(3)得空白栏为5,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 根据公式可得,,‎ 故回归直线方程为.‎ ‎19.解:(Ⅰ)设点P的坐标为由已知可得,‎ ‎, ‎ 代入抛物线方程得,‎ 所以点的坐标为或 ‎(Ⅱ)设,,,由已知,‎ 得:, 又因为点是FA的中点得,,, ‎ 点在抛物线上,即,所以点C的轨迹方程为:‎ ‎20.(1)圆C可化为(x+1)2+(y﹣2)2=2,则圆心C(﹣1,2),‎ 所以C到直线l的距离d,‎ 则弦长AB=2;‎ ‎(2)因为切线PM与半径CM垂直,所以|PM|2=|PC|2﹣|CM|2,‎ 又因为|PM|=|PO|,则|PO|2=|PC|2﹣|CM|2,即(x1+1)2+(y1﹣2)2﹣2=x12+y12,‎ 整理得2x1﹣4y1+3=0,所以点P的运动轨迹为直线2x﹣4y+3=0,‎ 所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值.‎ 而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离d,‎ 过点且垂直于直线2x﹣4y+3=0的方程为:‎ 所以由,得,故所求点P的坐标为P().‎ ‎21.(1)证明:因为在梯形中,,为的中点,‎ 所以,‎ 所以四边形为平行四边形,因为线段与交于点,‎ 所以为线段的中点,所以中,‎ 因为平面,平面,所以平面.‎ ‎(2)解:平行四边形中,,‎ 所以四边形是菱形,,垂足为,‎ 所以,‎ 因为平面,平面,‎ 所以是二面角的平面角,‎ 因为二面角为直二面角,‎ 所以,即.‎ 可以如图建立空间直角坐标系,其中,‎ 因为在图1菱形中,,所以,‎ 所以,‎ 所以,,设为平面的法向量,‎ 因为,所以,即,取,得到,所以;‎ 线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为,设,‎ 因为,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以,‎ 因为,所以,‎ 所以线段上存在点,且,使得与平面所成角的正弦值为.‎ ‎22.(1)∵,关于轴对称.‎ ‎∴这2个点在椭圆上,即①当在椭圆上时,②‎ 由①②解得,.当在椭圆上时,③‎ 由①③解得,.又∴,∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)设,,则.‎ 因为直线的斜率,又.所以直线的斜率.‎ 设直线的方程为,由题意知,.‎ 由可得,所以,.由题意知,所以,所以直线的方程为,令,得,即,可得,‎ 令,得,即,可得,‎ 所以,即,因此,存在常数使得结论成立.‎
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