【数学】2018届一轮复习人教A版椭圆双曲线抛物线的定义方程与性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版椭圆双曲线抛物线的定义方程与性质学案

第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质 ‎ 考情分析]‎ 圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考热点，多以选择、填空考查，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程求法，难度中档偏下.‎ 年份 卷别 考查角度及命题位置 ‎2017‎ Ⅰ卷 双曲线的性质及应用·T5‎ 椭圆的综合应用·T12‎ Ⅱ卷 双曲线离心率的范围·T5‎ 抛物线的方程及应用·T12‎ Ⅲ卷 椭圆的离心率求法·T11‎ 已知双曲线的渐近线求参数·T14‎ ‎2016‎ Ⅰ卷 椭圆的离心率求法·T5‎ Ⅲ卷 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率求法·T12‎ ‎2015‎ Ⅰ卷 椭圆与抛物线的简单性质·T5‎ 双曲线的几何性质·T16‎ Ⅱ卷 双曲线的标准方程·T15‎ ‎ 真题自检]‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，‎ 解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，‎ 所以S△APF＝·|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.‎ 法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－ ‎＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以＝(1,0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，‎ 所以S△APF＝|PF||AP|＝×3×1＝.故选D.‎ 答案：D ‎2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：以线段A‎1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a.由题意，圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为＝a，即a2＝3b2.又e2＝1－＝，所以e＝，故选A.‎ 答案：A ‎3．(2016·高考全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PE⊥x轴，则k＝(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 解析：∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．‎ 将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)，得k＝2.故选D.‎ 答案：D ‎4．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．‎ 设E(0，m)，由PF∥OE，得＝，‎ 则|MF|＝.①‎ 又由OE∥MF，得＝，则|MF|＝.②‎ 由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝‎3c，∴e＝＝.故选A.‎ 答案：A 椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程 ‎ 方法结论]‎ ‎1．圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝‎2a(‎2a>|F‎1F2|)；‎ ‎(2)双曲线：＝‎2a(‎2a<|F‎1F2|)；‎ ‎(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.‎ ‎2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”‎ 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．‎ ‎ 题组突破]‎ ‎1．(2017·大连双基)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 解析：设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，‎ ‎∴由定义知点P到准线的距离为2，∴xP＋1＝2，∴xP＝1，代入抛物线方程得|yP|＝2，‎ ‎∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.‎ 答案：B ‎2．(2017·湖北八校联考)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由题意知a＝3，b＝.由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6.在△PF‎1F2中，因为PF1的中点在y轴上，O为F‎1F2的中点，由三角形中位线性质可推得PF2⊥x轴，所以|PF2|＝＝，所以|PF1|＝6－|PF2|＝，‎ 所以＝，故选B.‎ 答案：B ‎3．已知双曲线－＝1(a＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为4，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：根据对称性，不妨设点A在第一象限，A(x，y)，则，解得，∵四边形ABCD的面积为4，∴4xy＝4×＝4，解得a＝2，故双曲线的方程为－＝1，选D.‎ 答案：D ‎ 误区警示]‎ ‎1．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．‎ ‎2．在使用椭圆与双曲线的标准方程时，要注意区分焦点位置．‎ 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质 ‎ 方法结论]‎ ‎1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 ‎(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝ ；‎ ‎(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝ .‎ ‎2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．‎ ‎3．抛物线方程中p的几何意义为焦点到准线的距离．‎ ‎ 题组突破]‎ ‎1．(2017·河南八市联考)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是(　　)‎ A. B．3‎ C. D．2‎ 解析：抛物线的准线方程为x＝－，依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|≥|xQ＋3|－＝＝，选C.‎ 答案：C ‎2．(2017·合肥质检)若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析：由题意得，＝2⇒b＝‎2a，C2的焦距‎2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.‎ 答案：B ‎3．(2017·广东五校联考)设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E上在第二象限内的点，直线BO交E于点C.若直线BF平分线段AC，则E的离心率为________．‎ 解析：设AC的中点为M，连接OM，AB，则OM为△ABC的中位线，B，F，M在一条线上，‎ 于是△OFM∽△AFB，且＝，即＝，解得e＝＝.‎ 答案： ‎4．(2017·高考全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.‎ 解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，所以a＝5.‎ 答案：5‎ ‎ 误区警示]‎ ‎1．注意易混椭圆与双曲线中a2、b2、c2的关系．‎ ‎2．已知双曲线的一条渐近线y＝mx(m≠0)，则要注意判断其焦点位置后，才能说明＝|m|，还是 eq f(b,a)＝，从而再利用e＝ 求离心率．‎ ‎3．对于形如y＝ax2(a≠0)，求焦点坐标与准线时注意先化为标准方程．‎ 直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系 ‎ 方法结论]‎ 弦长问题 设直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线AB的斜率存在(设为k)，则|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(k≠0)，其中|x1－x2|＝，|y1－y2|＝；若直线AB的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长．‎ ‎ 典例](1)(2017·洛阳模拟)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线AB与抛物线C相交于A，B两点，若2＋－3＝0，则弦AB中点到抛物线C的准线的距离为________．‎ 解析：法一：依题意得，抛物线的焦点F(0,1)，准线方程是y＝－1，因为2(－)＋(－)＝0，即2＋＝0，所以F，A，B三点共线．设直线AB：y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由，得x2＝4(kx＋1)，即x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4　①；又2＋＝0，因此2x1＋x2＝0　②.由①②解得x＝2，弦AB的中点到抛物线C的准线的距离为 (y1＋1)＋(y2＋1)]＝(y1＋y2)＋1＝(x＋x)＋1＝＋1＝.‎ 法二：依题意得，抛物线的焦点F(0,1)，准线方程是y＝－1，因为2(－)＋(－)＝0，即2＋＝0，所以F，A，B三点共线．不妨设直线AB的倾斜角为θ，0＜θ＜，|FA|＝m，点A的纵坐标为y1，则有|FB|＝‎2m.分别由点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1，作AM⊥BB1于M，则有|AA1|＝|AF|＝m，|BB1|＝|FB|＝‎2m，|BM|＝|BB1|－|AA1|＝m，sin θ＝＝，|AF|＝y1＋1＝2－|AF|sin θ，|AF|＝，同理|BF|＝y2＋1＝，|AF|＋|BF|＝＋＝＝，因此弦AB的中点到抛物线C的准线的距离等于 (y1＋1)＋(y2＋1)]＝(y1＋y2)＋1＝(|AF|＋|BF|)＝.‎ 答案： ‎(2)(2017·合肥质检)已知点F为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.‎ ‎①求椭圆E的方程；‎ ‎②设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．‎ 解析：①由题意，得a＝‎2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.‎ 由，得x2－2x＋4－‎3c2＝0.‎ ‎∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，‎ ‎∴Δ＝4－4(4－‎3c2)＝0⇒c2＝1，‎ ‎∴椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎②由①得M(1，)，‎ ‎∵直线＋＝1与y轴交于P(0，2)，‎ ‎∴|PM|2＝，‎ 当直线l与x轴垂直时，‎ ‎|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，‎ ‎∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，‎ 当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，‎ 依题意得：x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)＞0，‎ ‎∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，‎ ‎∴λ＝(1＋)，‎ ‎∵k2＞，∴＜λ＜1.‎ 综上所述，λ的取值范围是 ，1)．‎ ‎ 类题通法]‎ 直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想，化归思想及数形结合思想，着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：‎ ‎(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成x＝my＋b的形式；‎ ‎(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系；‎ ‎(3)涉及弦的问题，一般要用到弦长公式|AB|＝·|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|.‎ ‎ 演练冲关]‎ 已知抛物线x2＝2py上点P处的切线方程为x－y－1＝0.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)设A(x1，y1)和B(x2，y2)为抛物线上的两个动点，其中y1≠y2且y1＋y2＝4，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求△ABC面积的最大值．‎ 解析：(1)设点P(x0，)，由x2＝2py得y＝，y′＝，∵切线的斜率为1，∴＝1且x0－－1＝0，解得p＝2，∴抛物线的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设线段AB的中点M(x3，y3)，则x3＝，y3＝，‎ kAB＝＝＝×(x1＋x2)＝，‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝－(x－x3)，‎ 即2x＋x3(－4＋y)＝0，∴l过定点(0,4)．‎ ⇒x2－2xx3＋2x－8＝0，‎ 得Δ＝4x－4(2x－8)＞0⇒－2＜x3＜2，‎ ‎|AB|＝|x1－x2|＝＝，‎ C(0,4)到AB的距离d＝|CM|＝，‎ ‎∴S△ABC＝|AB|·d＝ ‎＝ ‎≤ ＝8，‎ 当且仅当x＋4＝16－2x，即x3＝±2时取等号，‎ ‎∴S△ABC的最大值为8.‎ 圆锥曲线与其他知识的交汇 圆锥曲线与方程是解析几何的核心部分，是高考重点考查的内容，且所占分值较大，近年高考中，圆锥曲线与圆、平面向量、解三角形、不等式等知识交汇命题，成为命题的热点和难点．‎ ‎ 典例]　(2017·武汉调研)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：设实轴长为‎2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan 2α＝，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，整理，得d＝m，∴－tan 2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝‎2a，c＝＝a，∴e＝＝.‎ 答案：C ‎ 类题通法]‎ 平面向量与圆锥曲线的交汇问题多考查平面向量的应用，通过运算沟通数与形的转化，从而使问题解决．‎ ‎ 演练冲关]‎ ‎(2017·贵阳模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是(　　)‎ A．(1，) B．(，＋∞)‎ C．(1，) D．(，＋∞)‎ 解析：依题意，注意到题中的双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜，即＞，因此题中的双曲线的离心率 e＝∈(，＋∞)，选B.‎ 答案：B