【数学】辽宁省葫芦岛市2020届高三下学期第一次模拟考试（文）

【数学】辽宁省葫芦岛市2020届高三下学期第一次模拟考试（文）

参考答案 第I卷（选择题)‎ 一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）‎ ‎1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．B 9．A 10．C 11．A 12．B 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．(2, +) 14．1 15． 16．‎ 三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题，共60分。‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 由题 ‎.--------------------------4‎ ‎（1）,.--------------6‎ ‎（2）,,所以,---------------8‎ 在中,由余弦定理可得：‎ ‎,即,-------------------10‎ 又因为在中,,‎ 所以,综上可得：的取值范围是.--------------------------------------12‎ 18． ‎(本小题满分12分)‎ ‎(1)证明：连接与相交于点，连接，‎ 由侧面为平行四边形可得是线段的中点，‎ 又因为是线段的中点，∴---------------------3‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.----------------------------------------6‎ ‎(2)∵平面，平面，∴‎ ‎∵，是线段的中点，∴‎ ‎∵，平面，∴平面，‎ ‎∴线段为三棱锥的高，‎ ‎∵，∴，-------------------------8‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ ‎∵三棱柱的各棱长均为2，∴四边形为正方形，‎ ‎∴，-------------10‎ ‎∴----------------------12‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ （1） 解：由频率之和为1可得： 家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为0.18,所以频率分布直方图如下：‎ 频率/组距 ‎0.04‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎8‎ 家庭人均年纯收入（千元）‎ ‎0.10‎ ‎0.18‎ ‎0.30‎ ‎0.32‎ ‎0.06‎ ‎(补图)------------------------------------------------------------------------------------------------2‎ 中位数为：5+=5+=5.133(千元)------------------------------4‎ ‎(或：设中位数为x，则=,解得：x=5.133)‎ 平均数=2.5´0.04+3.5´0.10+4.5´0.32+5.5´0.30+6.5´0.18+7.5´0.06=5.16(千元)----- ---6‎ ‎（2）解：由题意得：==3.5,===410‎ xi2=1+4+9+16+25+36=91 6´2=6´3.52=73.5‎ 所以：=====40‎ =-=410-40´3.5=270‎ 所以回归直线方程为：=40x+270‎ 设y为2020年该家庭人均月纯收入，则x=13,14,15时，y=(40x+270),即2020年前三月总收入为：(790+830+870)=830元；‎ 当x=16,17,…,24时，y=(40x+270)=32x+216, 即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760,…,984,构成以32为公差的等差数列，所以4月份至12月份的总收入为：=7704‎ 所以2020年该家庭总收入为：7704+830=8534>8000‎ 所以该家庭2020年能达到小康标准-------------------------------------------------------------12‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ ‎（1）由条件得解得，‎ 所以的方程为.--------------------------4‎ ‎（2）由（1）得，，，‎ 当直线的斜率不存在时，，，‎ ‎，.-------------------------6‎ 当直线的斜率存在时，此时直线的斜率不为0，设直线的方程为，‎ 设，，由得 ‎，‎ 则，，‎ ‎∴‎ ‎.∴.---------------------------------8‎ 因为点在第一象限，所以，（为椭圆的上顶点）‎ ‎∴，-----------------10‎ ‎∴.------------------------12‎ 21． ‎(本小题满分12分)‎ 解：(1)f¢(x)=mex(x+2) 令x=0得： f¢(0)=2m 由题意：2m=2 ∴m=1 ‎ f(0)=m=1 ∴n=1-----------------------------------------------------------------------------2‎ f¢(x)=ex(x+2) 由f¢(x)>0得：x>-2, 由f¢(x)<0得：x<-2‎ ‎∴f(x)在(-∞,-2)上单调递减；在(-2,+∞)上单调递增 ‎∴fmin(x)=f(-2)=-,无最大值；---------------------------4‎ ‎(2) f(x)³g(x)Û ex(x+1)≥ex+x+ax2Ûx(ex-1)-ax2≥0‎ 法一：①当x=0时，0≥0,a∈R--------------------6‎ ‎②当x>0时：x(ex-1)-ax2≥0Ûex-1-ax≥0‎ 令h(x)= ex-1-ax,则h¢(x)=ex-a ‎∵x>0 ∴ex>1 ‎ ‎(i)若a£1,则h¢(x)≥0 h(x)在(0,+∞)上单调递增，h(x)>h(0)=0 合题意；----------------------------------8‎ ‎(ii)若a>1,令h¢(x)=0得：x=lna>0 由h¢(x)<0得：x0恒成立矛盾 所以a>1不合题意；--------------------------------10‎ 综上a的取值范围是(-∞,1]-----------------------12‎ 法二：①当x=0时，0≥0,a∈R----------------------------------6‎ ‎②当x>0时：x(ex-1)-ax2≥0Ûex-1-ax≥0Ûa£---------------------8‎ 令h(x)= 则h¢(x)= 令t(x)=ex(x-1)+1,则t¢(x)=xex>0 ‎ 所以t(x)在(0,+∞)单调递增，∴t(x)>t(0)=0 即h¢(x)>0 ∴h(x)在（0，+∞）上单调递增---------10‎ 又h(x)= =ex=1‎ ‎∴t(x)<1 若使a£恒成立，只需a£1‎ ‎∴a的取值范围是(-∞,1]---------------------------------------12‎ ‎（说明：①无论法一还是法二，若考生不对x进行讨论而得到ex-1-ax≥0，均需扣1分；‎ ‎②若考生若采用法二求解，由于高考不提倡用罗比塔法则，可根据答题情况酌情扣1-2分）‎ 法三：f(x)³g(x)Û ex(x+1)≥ex+x+ax2Ûx(ex-1)-ax2≥0‎ 令h(x)=x(ex-1)-ax2 则h¢(x)=ex(x+1)-1-2ax 令t(x)=ex(x+1)-1-2ax. 则t¢(x)=ex(x+2)-2a 显然t¢(x)在(0,+∞)上单调递增，∴t¢(x)≥t¢(0)=2-2a------------6‎ ‎(i)当2-2a≥0即a£1时，t¢(x)≥0恒成立，∴t(x)在(0,+∞)上单调递增∴t(x)≥t(0)=0即h¢(x)≥0 ‎ ‎∴h(x)在[0,+∞)上单调递增 ‎ ‎∴h(x)≥0恒成立 即a£1合题意；----------------------8‎ ‎(ii)当2-2a<0即a>1时,t¢(0)=2-2a<0,t¢(a)=ea(a+2)-2a>2(a+2)-2a>0 ∴存在唯一x0∈(0,+∞)使t¢(x0)=0,当01不合题意；---------------------10‎ ‎ 综上：a的取值范围是(-∞,1]----------------12‎ ‎(二)选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 解：（1）因为，，两式相减，有，‎ 所以的直角坐标方程为.---------------------------------3‎ 直线的直角坐标方程为.---------------------------5‎ ‎（2）联立与的方程，有，消，‎ 得，--------------------7‎ 因为与相切，所以有，‎ 解得：.----------------------------------10‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 ‎(1)法一：‎ ‎，‎ 作出的图象，如图所示：‎ 结合图象，‎ 函数上单调递增，‎ 在上单调递减，‎ 又，，‎ 所以不等式的解集是.------------------------5‎ 法二：，‎ 等价于：或或，‎ 解得：或或，‎ 所以不等式的解集是.----------------5‎ ‎(2)由(1)知函数的最大值是，所以恒成立.‎ 因为，‎ 当且仅当时，等号成立.所以.--------------------------10‎