2018届二轮复习 不等式学案（全国通用）
专题七 不等式
———————命题观察·高考定位———————
(对应 生用书第28页)
1．(2016·江苏高考)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．
[根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点．d＝可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离．数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2x＋y－2＝0的距离．由可得A(2,3)，
所以dmax＝＝，dmin＝＝.所以d2的最小值为，最大值为13.所以x2＋y2的取值范围是.]
2．(2015·江苏高考)不等式2x2－x＜4的解集为______．
{x|－1＜x＜2} [∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2.]
3．(2014·江苏高考)已知函数f (x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)<0成立，则实数m的取值范围是________.
【导 号：56394045】
[作出二次函数f (x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f (x)<0，
则有
即
解得－
0.
y＝tan θ＋＝tan θ＋＝tan θ＋≥2＝2，当且仅当tan θ＝1时取等号．因此y的最小值为2.
[答案] 2
[规律方法] 应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可．灵活的通过“拆、凑、代(换)”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧；忽视等号成立的条件，是常见错误之一．
[举一反三]
(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上 期期中)已知正数a，b满足＋＝－5，则ab的最小值为________．
36 [＋＝－5⇒－5≥2⇒()2－5－6≥0⇒≥6⇒ab≥36，当且仅当b＝9a时取等号，因此ab的最小值为36.]
不等式的综合应用
【例4】 (泰州中 2016－2017年度第一 期第一次质量检测)已知二次函数f (x)＝mx2－2x－3，关于实数x的不等式f (x)≤0的解集为.
(1)当a>0时，解关于x的不等式：ax2＋n＋1>(m＋1)x＋2ax；
(2)是否存在实数a∈(0,1)，使得关于x的函数y＝f (ax)－3ax＋1(x∈[1,2])的最小值为－5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)由不等式mx2－2x－3≤0的解集为知，关于x的方程mx2－2x－3＝0的两根为－1和n，且m>0，
由根与系数关系，得
∴
所以原不等式化为(x－2)(ax－2)>0，
①当00，且2<，解得x>或x<2；
②当a＝1时，原不等式化为(x－2)2>0，解得x∈R且x≠2；
③当a>1时，原不等式化为(x－2)>0，且2>，解得x<或x>2；
综上所述：
当01时，原不等式的解集为.
(2)假设存在满足条件的实数a，
由(1)得：m＝1，f (x)＝x2－2x－3，
y＝f (ax)－3ax＋1＝a2x－(3a＋2)ax－3.
令ax＝t(a2≤t≤a)，则y＝t2－(3a＋2)t－3(a2≤t≤a)，
对称轴t＝，
因为a∈(0,1)，所以a20，b>0，a＋b＝1，求2＋2的最小值．
[错解] 2＋2＝a2＋b2＋＋＋4≥2ab＋＋4≥4＋4＝8，所以，2＋2的最小值是8.
[错解分析] 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2＋b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a＝b＝，第二次等号成立的条件是ab＝，显然，这两个条件是不能同时成立的．因此，8不是最小值．
[正解] 2＋2＝a2＋b2＋＋＋4＝[(a＋b)2－2ab]＋4＝(1－2ab)＋4，由ab≤2＝， 得1－2ab≥1－＝， 且≥16, 1＋≥17，∴原式≥×17＋4＝ (当且仅当a＝b＝时，等号成立)，
所以，2＋2的最小值是.
———————专家预测·巩固提升———————
(对应 生用书第31页)
1．已知正实数x，y满足x＋＋3y＋＝10，则xy的取值范围为________．
[设xy＝t，则y＝，所以10＝x＋＋3y＋＝x＋＋＋＝x＋≥2.
即3t2－11t＋8≤0，解之得1≤t≤.]
2．已知函数的定义域是[－2，＋∞)且f (4)＝f (－2)＝1, f ′(x)为f (x)的导函数，且f ′(x)的图象如图7－1所示，则不等式组 所围成的平面区域的面积是________.
【导 号：56394048】
图7－1
4 [由导函数的图象得到f (x)在[－2,0]递减；
在[0，＋∞)递增，∵f (4)＝f (－2)＝1，
∴f (2x＋y)≤1，－2≤2x＋y≤4，
∴⇒ 表示的平面区域如下：
所以平面区域的面积为×2×4＝4.]
3．已知函数f (x)的定义域是[－3，＋∞)且f (6)＝2，f ′(x)为f (x)的导函数，f ′(x)的图象如图7－2所示，若正数a，b满足f (2a＋b)<2，则的取值范围是________．
图7－2
∪ [如图所示：f ′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
∴函数f (x)在[－3,0)是减函数，(0，＋∞)上是增函数，
又∵f (2a＋b)＜2＝f (6)，
∴
画出平面区域
令t＝表示过定点(2，－3)的直线的斜率，
如图所示：t∈∪.]
4．已知x，y满足约束条件则x2＋4y2的最小值是________．
[设x2＋4y2＝z(z>0)⇒＋＝1，这个椭圆与可行域有公共点，只需它与线段x
＋y＝1(0≤x≤1)有公共点，把y＝1－x代入椭圆方程得5x2－8x＋4－z＝0，由判别式Δ＝64－4×5(4－z)≥0得z≥，且x＝∈[0,1]时，z＝.]
