【数学】2018届一轮复习人教A版一道向量题的7种解法学案

【数学】2018届一轮复习人教A版一道向量题的7种解法学案

一道向量题的7种解法 本文给出一道高考题的七种解法，希望能够帮助同学们更好地掌握向量问题的最一般的转化策略和方法，希望能够提高同学们的发散思维能力.另外，本题也是一个复习三角函数和基本不等式很好题目，希望同学们仔细研究这个典型题目.‎ 原题：给定两个长度为的平面向量，它们的夹角为.如图1所示，点在以为圆心的圆弧上变动.若其中，则的最大值是 思考方向一 考虑特值法 解法1 当与重合时，，‎ 当与重合时，，‎ 当从的端点向圆弧内部运动时，， ‎ 于是猜想当是的中点时，取到最大值. ‎ 当是的中点时，由平面几何知识是菱形，‎ ‎∴∴‎ 猜想的最大值是.‎ 思考方向二 考虑坐标法 建立如图3，所示的平面直角坐标系，设，则.‎ 于是可化为：‎ ‎，‎ ‎∴ （1）‎ 解法2 函数法求最值 ‎ 由方程组（1）得： ‎ ‎∴，又，‎ ‎∴当时，‎ 解法3 不等式法求最值 ‎ 由方程组（1）得：，‎ ‎∴，‎ 由，及得：，‎ ‎∴，∴，当且仅当时取等号.‎ ‎∴‎ 思考方向三 考虑向量的数量积的运算 解法4 两边点乘同一个向量 ‎∵‎ ‎∴‎ 设，则 ，又，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，‎ 解法5 两边平方法 ‎∵∴‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，当且仅当时取等号，‎ ‎∴‎ 思考方向四 考虑平行四边形法则 ‎ 过作∥交于，作∥交于，则是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：‎ ‎，在中，设，‎ 则 ， 且 解法6 利用正弦定理 ‎，‎ ‎，由等比性值得：，‎ ‎∴，∴当时，‎ 解法7 利用余弦定理 ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，当且仅当时取等号，‎ ‎∴‎ 仔细研究上面的解法，可以发现在解决向量问题时一般有三种转化策略，一是利用向量的坐标运算，二是利用向量的代数运算特别是数量积的运算，三是利用向量的几何意义转化为平面几何问题求解.在解答最值问题时，本文利用了函数法和不等式法.当然，本题作为一个填空题或者选择题，能够利用特值和猜想的办法是很好的.‎ 巩固练习：‎ 给出下面题目的三种解法：‎ 平面内三个向量其中，，‎ 且用表示.‎ 参考答案：‎ 解法一 如图5，过作∥，∥，分别交直线，于，则四边形是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：‎ ‎，在中，‎ ‎∴又，‎ ‎∴∴‎ 解法二 根据平面向量基本定理，设 则 ‎∴‎ ‎∴∴∴ ‎ 解法三 以为原点建立如图6所示的坐标系，‎ 则 ‎∴‎ 设 则∴‎ ‎∴∴‎