黑龙江省佳木斯市第一中学2020届高三上学期第三次调研数学试题

黑龙江省佳木斯市第一中学2020届高三上学期第三次调研数学试题

佳木斯一中高三学年第三次调研考试 数学试题（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定B，找出A的补集与B的交集即可.‎ ‎【详解】由A中不等式解得：或，即，‎ ‎，‎ 由B中可得，解得，即，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了交、并、补集混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.‎ ‎2.已知复数（，是虚数单位）为纯虚数，则实数的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，因为是纯虚数，所以，。‎ 故选A。‎ ‎3.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ）‎ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 设塔顶有盏灯，则由等比数列的前项公式列出方程可解得．‎ ‎【详解】设塔顶有盏灯，由题意得，解得．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查考查等比数列的应用．关键是由实际问题抽象出数学概念，题中“红光点点倍加增”，说明每层灯盏数依次成系数，从而利用等比数列的前项和公式可计算．‎ ‎4.在打击拐卖儿童犯罪的活动中,警方救获一名男孩,为了确定他的家乡,警方进行了调查:‎ 知情人士A说,他可能是四川人,也可能是贵州人；‎ 知情人士B说,他不可能是四川人；‎ 知情人士C说,他肯定是四川人；‎ 知情人士D说,他不是贵州人.‎ 警方确定,只有一个人的话不可信.根据以上信息,警方可以确定这名男孩的家乡是（ ）‎ A. 四川 B. 贵州 C. 可能是四川,也可能是贵州 D. 无法判断 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定B,C中必有一真一假，再分析出A,D两个正确，男孩为四川人.‎ ‎【详解】第一步,找到突破口和的话矛盾,二者必有一假.‎ 第二步,看其余人的话, 和的话为真,因此男孩是四川人.‎ 第三步,判断突破口中B,C两句话的真假, 的话为真, 的话为假,即男孩为四川人.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查分析推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎5.正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与 所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据异面直线所成角的定义，把直线CN平移和直线B1M相交，找到异面直线B1M与CN所成的角，解三角形即可求得结果．在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法．‎ ‎【详解】解：取AA1的中点E，连接EN，BE角B1M于点O，‎ 则EN∥BC，且EN＝BC ‎∴四边形BCNE是平行四边形 ‎∴BE∥CN ‎∴∠BOM就是异面直线B1M与CN所成的角，‎ 而Rt△BB1M≌Rt△ABE ‎∴∠ABE＝∠BB1M，∠BMB1＝∠AEB，‎ ‎∴∠BOM＝90°．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题是个基础题．考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．‎ ‎6.若函数的图像向左平移（）个单位，所得的图像关于轴对称，则当最小时，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于轴对称列式,再求最小值.‎ ‎【详解】将函数的图像向左平移（）个单位后,得到函数,‎ 因为其图像关于轴对称,所以,,即,,‎ 因为,所以时,取得最小值,此时.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题.‎ ‎7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（　 　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图可确定几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.‎ ‎【详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱 几何体表面积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况.‎ ‎8.是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题是真命题的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照线面平行，垂直等等的判定或性质逐一分析即可 ‎【详解】对于A,平行于同一条直线的两个平面可能相交,故A不正确;‎ 对于B,直线可能在平面内,故B不正确;‎ 对于C,根据平面与平面垂直的判定定理可知,C正确;‎ 对于D,直线与平面可能斜交,故D不正确.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了空间直线、平面的平行、垂直的位置关系,意在考查线面平行，垂直的判定或性质.属于基础题.‎ ‎9.下列结论正确的是 A. 当时，的最小值为 B. 当时，‎ C. 当时，无最大值 D. 当且时， ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可。‎ ‎【详解】对于A，x+在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，的最小值为，故A错误；‎ 对于B，当x＞0时，，当且仅当x=1时，等号成立，故B成立；‎ 对于C，在（0，2]上单调增，所以x=2时，取得最大值，故C不成立；‎ 对于D，当0＜x＜1时，lgx＜0，＜0，结论不成立；‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查利用基本不等式及函数的单调性研究最值问题，属中等难度题。‎ ‎10.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”‎ B. “”是“”的必要不充分条件 C. 命题“使得”的否定是：“对 均有”‎ D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四种命题的相互关系可得A错误，D正确，根据存在性命题的否定的结构形式可知C错误，根据充分条件与必要条件的定义可判断B正确与否.‎ ‎【详解】对于A，因为命题“若，则”的否命题为：“若，则”，故A错；‎ 对于B，“”是“”的充分不必要条件，故B错；‎ 对于C， 命题“使得”的否定是：“对 均有”，故C错；‎ 对于D， 命题“若，则”是真命题，故其逆否命题为真命题，所以D正确，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查四种命题的逆否命题的真假判断、否命题以及存在性命题的否定，属于中档题.‎ ‎11.在中，角所对的边分别为，若，则 的形状为( )‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断的形状可从边或者角两个方面考虑，将利用余弦定理将角化成边，，整理得到或者，所以是等腰三角形或者直角三角形。‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（1），即；‎ ‎（2）时，，‎ 化简得：，‎ 所以，角为直角，‎ 所以，为等腰三角形或直角三角形。选C.‎ ‎【点睛】此题考查解三角形，一般此类题目都会用到正弦定理和余弦定理实现边角互换解出答案，有一定的灵活性，属于中档题目。‎ ‎12.已知正项数列的前项和为，且，，设数列的前项和为，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，根据题意求出，再由裂项相消法求出，进而可得出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因此，即，‎ 又为正项数列，所以，‎ 故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，‎ 因此，‎ 所以，‎ 因为，所以.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查等差数列以及数列的求和，熟记等差数列的通项以及裂项相消法求和即可，属于常考题型.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.函数的定义域为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次根式的被开方非负以及对数的真数为正数列式可解得.‎ ‎【详解】由函数有意义可得, ,解得或,‎ 故答案: .‎ ‎【点睛】本题考查了函数含偶次根式和对数符号的函数的定义域的求法,属于基础题.‎ ‎14.已知单位向量的夹角为，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量的数量积公式计算可得.‎ ‎【详解】依题意得, ,‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的数量积公式,解题关键是这一步的变形.属于基础题.‎ ‎15.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则_______．‎ ‎【答案】8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质得到再由等差数列的中项的性质得到：.‎ ‎【详解】根据等比数列的性质得到：，‎ ‎∴(舍去)，‎ 由等差数列的中项的性质得到：，‎ ‎∴.‎ 故答案为：8.‎ ‎【点睛】对于等差等比数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎16.已知实数满足，目标函数的最大值为2，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】作出可行域如下:‎ 将目标函数变为直线方程的斜截式为:,‎ 所以直线在轴上的截距的最大值为2,‎ 当斜率,即时,由图可知最优解为,将最优解的坐标代入目标函数符合;‎ 当斜率,即时,要使最优解为A(0,2),必须有,即,所以,‎ 综上所述, 实数的取值范围是.‎ 故答案为: .‎ ‎【点睛】本题考查了已知最值求参数的取值范围的简单的线性规划,解题关键根据最优解比较斜率的大小,属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知数列的首项，且.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和 .‎ ‎【答案】（1）数列是等比数列，且公比为2；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据已知条件可得等式，故可得证数列是等比数列；（2）利用错位相减法求其前项和.‎ 试题解析：（1）证明：，因此数列是等比数列，且公比为2，‎ ‎（2）由（1）及题设可知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，‎ 因此 ，于是，所以，‎ 设数列的前n项和为， ‎ 两式相减，可得，‎ 数列的前n项和为，所以.‎ 点睛：本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.‎ ‎18.如图,已知四棱锥的底面为直角梯形, ,,底面，且,是的中点.‎ ‎（1）证明: 平面；‎ ‎（2）求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取得中点后,通过先证,在利用线面平行的判定定理可证;‎ ‎(2)根据四棱锥的体积公式计算可得.‎ ‎【详解】证明：（1）取中点为，因为分别是中点，‎ 所以，又因为，‎ 所以,‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为平面，‎ 所以,‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定定理以及四棱锥的体积公式,属于中档题.‎ ‎19.在中，角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的值.‎ ‎【答案】(1) . (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理将边化角可得;‎ ‎(2)根据面积公式得,再根据余弦定理可得.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理，得 ‎，‎ 在中，因为，所以 故，又因为，所以.‎ ‎（2）由已知，得 又，所以.‎ 由已知及余弦定理，得 所以，从而，‎ 因为正数,所以 ‎【点睛】本题考查了正弦定理角化边以及余弦定理,属于中档题.‎ ‎20.已知关于的不等式有解.‎ ‎(1)求实数的取值范围；‎ ‎(2)若正数满足,求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将函数改写成分段函数并求出最大值,再将不等式有解转化成最小值处理,然后对分两类讨论可得;‎ ‎(2)利用柯西不等式可求得.‎ 详解】（1）‎ 所以的最大值为4.‎ 关于的不等式有解等价于 ‎（ⅰ）当时，上述不等式转化为，解得 ‎（ⅱ）当时，上述不等式转化为，解得 综上所述，实数的取值范围为 ‎（2）因为,且为正数,‎ 所以 所以 当且仅当，即时等号成立，‎ 所以的最小值为3.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的最大值、不等式有解问题以及柯西不等式求最小值,属于中档题.‎ ‎21.如图,在直角梯形中, ,,,,,点在上,且,将沿折起,使得平面平面 (如图), 为中点.‎ ‎(1)求证: 平面;‎ ‎(2)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求的值,并加以证明;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)存在点，使得平面，，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据平面与平面垂直的性质定理可证;‎ ‎(2) 过点作交于点，点作交于点，连接,然后根据面面平行的判定定理证明平面平面,再根据面面平行的性质可证平面.‎ ‎【详解】（1）证明：因为为中点，，‎ 所以 因为平面平面 平面平面，平面 所以平面.‎ ‎（3）如图:‎ 过点作交于点，则 过点作交于点，连接，则 又因为，平面，平面，‎ 所以平面 同理，平面 又因为 所以平面平面 因为平面，‎ 所以平面，‎ 所以在上存在点，使得平面，且 ‎【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、面面平行的判定定理以及性质,属于中档题.‎ ‎22.已知函数，其中.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在内只有一个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，求出函数解析式，可得的值，利用导数求出的值，可得在点处的切线方程；‎ ‎（2）求出函数的导函数，结合a的讨论，分别判断函数零点的个数，综合讨论结果，可得答案.‎ ‎【详解】解：（1）,‎ ‎，‎ 则，‎ 故所求切线方程为；‎ ‎（2），‎ 当时，对恒成立 ，‎ 则在上单调递增，从而，则，‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 则 ，‎ 当时， 对恒成立，则在上单调递减，在（1，2）内没有零点 ，‎ 综上，a的取值范围为（0，1）.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点，导函数的综合运用及分段函数的运用，难度中等.‎ ‎ ‎