【数学】2019届一轮复习人教B版第47讲抛物线学案
第47讲 抛物线
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质．
2．了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景．
3．理解数形结合思想．
2017·全国卷Ⅰ，20
2017·全国卷Ⅱ，12
2017·天津卷，12
2017·浙江卷，21
1.求解与抛物线定义有关的问题；利用抛物线的定义求轨迹方程；求抛物线的标准方程．
2．求抛物线的焦点和准线；求解与抛物线焦点有关的问题(如焦点弦、焦半径等问题)．
分值：5分
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)__距离相等__的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__焦点__，直线l叫做抛物线的__准线__.
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O__(0,0)__
对称轴
x轴
y轴
焦点
F____
F____
F____
F____
离心率
e＝__1__
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
(其中
P(x0，y0))
＝
__x0＋__
＝
__－x0＋__
＝
__y0＋__
＝
__－y0＋__
3．与焦点弦有关的常用结论
(以右图为依据)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
解析 (1)错误．当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线．
(2)错误．方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)错误．抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．
2．抛物线y＝－2x2的准线方程是( D )
A．x＝ B．x＝
C．y＝ D．y＝
解析 抛物线方程为x2＝－y，∴p＝，准线方程为y＝.
3．抛物线y2＝24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( A )
A．y2＝8x B．y2＝12x
C．y2＝16x D．y2＝20x
解析 准线方程为l：x＝－6a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋6a＝5，a＝，抛物线方程为y2＝8x.
4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( D )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析 由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点、以直线x＝－2为准线的抛物线．
5．在平面直角坐标系xOy中，有一点A(2,2)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则该抛物线的准线方程是__x＝－__.
解析 由题意可得4＝4p，解得p＝1，所以焦点F，准线方程为x＝－.
一 抛物线的定义及应用
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
【例1】 已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为__3－1__.
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)，点P到y轴的距离d1＝－1，所以d1＋d
2＝d2＋－1.易知d2＋的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋的最小值为＝3，所以d1＋d2的最小值为3－1.
二 抛物线的标准方程及其几何性质
(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
【例2】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝( C )
A．1 B．
C．2 D．3
(2)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__6__.
解析 (1)因为双曲线的离心率e＝＝2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，与抛物线的准线x＝－相交于点A，点B，所以△AOB的面积为××p＝，又p＞0，所以p＝2.
(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B.又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.
三 直线与抛物线的位置关系及弦长问题
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用弦长公式．
【例3】 (2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
解析 (1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－.
因为－
0)的左、右焦点，点P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若＋＝12，则抛物线的准线方程为__x＝－2__.
解析 将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由⇒＝6－a，又∵双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，∴＝3a＋2a＝6－a，解得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2.
4．(2018·贵州贵阳高三摸底考试)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C与A，B两点，且|AB|＝8.
(1)求直线l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线．
解析 (1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
由题意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，
由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1，
∴直线l的方程为y＝±(x－1)．
(2)证明：由抛物线的对称性知，点D的坐标为(x1，－y1)，
又E(－1,0)，
∴kEB－kED＝－＝，
y2(x1＋1)＋y1(x2＋1)＝y2＋y1＝(y1＋y2)＋(y1＋y2)＝(y1＋y2).
由(1)知x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，
又y1与y2异号，
∴y1y2＝－4，即＋1＝0，∴kEB＝kED，
又ED与EB有公共点E，∴B，D，E三点共线．
错因分析：将抛物线的非标准方程误认为是标准方程，得出错误的准线方程．
【例1】 抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为( )
A． B．－
C．4 D．－4
解析 抛物线的标准方程即为x2＝y，所以准线方程为y＝－＝1，解得a＝－.故选B.
答案 B
【跟踪训练1】 抛物线y＝x2的准线方程是( A )
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
解析 由y＝x2得x2＝4y，焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.故选A．
课时达标 第47讲
[解密考纲]对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题、填空题的形式出现．
一、选择题
1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜
率为( C )
A．－ B．－1
C．－ D．－
解析 因为点A在抛物线的准线上，所以－＝－2，所以该抛物线的焦点为F(2,0)，所以kAF＝＝－.故选C．
2．拋物线y＝2ax2(a≠0)的焦点是( C )
A． B．或
C． D．或
解析 抛物线的方程化成标准形式为x2＝y(a≠0)，其焦点在y轴上，所以焦点坐标为.故选C．
3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则 x0＝( A )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析 由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.故选A．
4．已知点P为抛物线y2＝－6x上一个动点，点Q为圆x2＋(y－6)2＝上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值是( B )
A． B．
C． D．
解析 结合抛物线定义，P到y轴的距离为P到焦点的距离减去，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及，即为－－＝.故选B.
5．直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为( D )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l0，A(xA ，yA)，B(xB，yB)，C是AB的中点，其坐标为(xC，yC)，分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线的定义得|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝xA＋1＋xB＋1＝xA＋xB＋2＝2xC＋2＝8.
6．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( C )
A． B．2
C．2 D．3
解析 依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x轴的上方，得M(3,2)，由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4，又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形，点M到直线NF的距离为4×＝2.故选C．
二、填空题
7．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为__ __.
解析 设点 M(xM，yM)，则即x＋2xM－3＝0，
解得xM＝1或xM＝－3(舍去)．
故点M到该抛物线焦点的距离为xM＋＝1＋＝.
8．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__ x＝－ __.
解析
如图所示，线段OA所在的直线方程为y＝x，其中垂线方程为2x＋y－＝0，令y＝0，得x＝，即F，
∴p＝，y2＝5x，其准线方程为x＝－.
9．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足＝＋(O为坐标原点)，则△BOF的面积是__1__.
解析 由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为y＝k(x－1)(可知 k 存在)，则 A(0，－k)．又∵＝＋，∴B(1，－k)．由点B在抛物线上，得k2＝4，k＝±2，即B(1，±2)，
∴S△BOF＝·|OF|·|yB|＝×1×2＝1.
三、解答题
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的离心率为，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过M(－1,0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．
解析 (1)双曲线的离心率e＝＝，
又a>0，∴a＝1，双曲线的顶点为(0,1)，∴抛物线的焦点为(0,1)，又p>0，∴＝1，∴
抛物线方程为x2＝4y.
(2)由题知直线l的斜率必存在．
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)．
∵y＝x2，∴y′＝x，∴切线l1，l2的斜率分别为，，
当l1⊥l2时，·＝－1，∴x1x2＝－4，
由得x2－4kx－4k＝0，
∴Δ＝(－4k)2－4(－4k)>0，∴k<－1或k>0.①
由根与系数的关系，得x1·x2＝－4k＝－4，
∴k＝1，满足①，即直线l的方程为x－y＋1＝0.
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，O·O＝12.
(1)求抛物线的方程；
(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
解析 (1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得
y2－2pmy＋4p＝0.(*)
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4.
∵·＝12，∴x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
解得p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由(1)中的(*)化为y2－4my＋8＝0，得y1＋y2＝4m，y1y2＝8.
设AB的中点为 M，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①
又|AB|＝|y1－y2|＝，②
由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，m＝±.
∴直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.
