2018届二轮复习专题17导数法妙解不等式、函数零点、方程根的问题学案（全国通用）
专题17 导数法妙解不等式、函数零点、方程根的问题
考纲要求:
1.导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．
常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超
过三次).
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．
基础知识回顾:
1、求函数的极值
（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。
（2）求函数的极值的一般步骤
先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。
一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值。
（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。
（6）求函数的极值一定要列表。
2、用导数求函数的最值
（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：
①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；
②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。
应用举例
类型一、利用导数解决不等式恒成立问题
【例1】【广东省中山市第一中学2018届高三第一次统测】已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数.若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
（Ⅱ）因为.
令，即，解得，.
（1）当，即时，
由，得或；
由，得.
所以函数的增区间为，减区间为
（2）当，即时，
由，得或；
由，得.
所以函数的增区间为，减区间为.
（3）当，即时，在上恒成立，所以函数的增区间为，无减区间.
综上所述：
当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为，无减区间.
类型二、利用导数解决存在型不等式成立问题
【例2】已知函数f(x)＝ln(x＋1)－－x，a∈R.
(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－(a∈Z)成立，求a的最小值．
【解析】(1)f′(x)＝，x>－1.
当a≥时，f′(x)≤0，∴f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
当0
0，f(x)单调递增；
当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上，当a≥时，f(x)的单调递减区间为(－1，＋∞)；
当0n，求证：．
【解析】（1）导函数为，由，解得并检验，再求得，切点为（1,0），由点斜式可求得切线方程。（2）由题意可
在上恒成立，所以在上恒成立，分离参数得，所以，。（3）由于是多个变量，所以利用变形，换元变成一个变量，变形，为，即，所以只需证，设．求导可证h(x)>0.
试题解析：（1），由题意知，代入得，经检验，符合题意．
从而切线斜率，切点为（1,0），
∴切线方程为
（2），因为f（x）在上为单调增函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立．
当时，由，得．
设，．
所以当且仅当，即x=1时，g（x）有最小值2．
所以，所以．
所以a的取值范围是．
（3）要证，只需证，即证，
只需证，设．
由（2）知在上是单调增函数，又．
所以，
即成立，所以
类型四、利用导数研究方程的根或函数的零点
【例4】【2017安徽省合肥市高三模拟考试】设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.
(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．
【例5】【2017贵州七校联考】函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)当a＞0时，解不等式f(x)≤0；
(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解．
【解析】(1)因为ex＞0，所以不等式f(x)≤0即为ax2＋x≤0，
又因为a＞0，所以不等式可化为x≤0，
所以不等式f(x)≤0的解集为.
(2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex＞0，所以x＝0不是方程的解，
所以原方程等价于ex－－1＝0.令h(x)＝ex－－1，
因为h′(x)＝ex＋＞0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，
所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，
又h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－2＞0，h(－3)＝e－3－＜0，h(－2)＝e－2＞0，
所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上，
所以整数t的所有值为{－3,1}．
点评：利用导数研究方程根的方法
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
方法、规律归纳:
1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法
(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
2.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
实战演练:
1．【广东省汕头市金山中学2018届高三上学期期中考试】定义在内的连续可导函数满足，且对恒成立，则（）
A.B.
C.D.
【答案】D
2．【甘肃省天水三中2018届高三上学期第二次阶段检测考试】已知函数，若使得，则实数的取值范围是( )
A.(－∞，1]B.[1，＋∞)C.(－∞，2]D.[2，＋∞)
【答案】A
【解析】由题意得,因为函数在单独递减，所以
因此,选A.
点睛：研究不等式恒成立或存在型问题，一般利用分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题,进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
3．已知函数，，如果对于任意的，都有成立，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
【答案】C
4．【河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第二次考试】已知函数，若在定义域内恒成立，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】，即函数的定义域为，在上恒成立，即在上恒成立，令，
，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，，，的取值范围是，故选C.
5．已知函数.
(1)若函数在点处的切线方程为，求的值；
(2)若，求函数在区间上的最小值；
(3)对任意的，都有，求正实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)见解析(3).
(2)，
令得（舍）或，
当时，在单调递减，在上单调递增
所以；
当时，在上单调递减，所以.
即有当时，；
当时，.
(3)对任意的，都有，
即为在递增．
因为，，在恒成立，
即有在恒成立，即有令，对称轴，，则判别式，
即，计算得出．则有的取值范围为.
6．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对，都有成立，求的取值范围；
（3）当时，求在上的最大值.
【答案】（1）（2）(3)
试题解析：
⑴时，，，令，得，解得．
所以函数的单调增区间为．
⑵由题意对恒成立，因为时，，所以
对恒成立．记，因为对恒成立，当且仅当时，所以在上是增函数，
所以，因此．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;
（3）若恒成立，可转化为.
7．已知函数在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；
（3）若函数的两个零点为，试判断的正负，并说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）结论是.
（2）不等式整理可得，
令，
所以，得，
当时，，函数在上单调递增，
同理，函数在上单调递减，所以，
综上所述，实数的取值范围是.
（3）结论是.
证明：由题意知函数，所以，
易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可.
因为是函数的两个零点，所以，相减得，
不妨令，则，则，所以，，
所以，故只需证，即证，
因为，所以在上单调递增，所以，
综上所述，函数总满足成立.
8．已知函数，（为常数）.
（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值.
（2）若，且，证明： .
【答案】（1）；（2）见解析.
（2）若，则，设，
则，，
，因为，所以，即单调递减，
又因为，所以，即单调递减，
而，所以，即.
点睛：利用导数证明不等式。①证明f(x)g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x)。
9．设函数
（Ⅰ）讨论的导函数零点个数;
（Ⅱ）证明:当时,
【答案】（1）当时，无零点；当时，有唯一零点，
（2）见解析.
10．【天津市滨海新区2017届高三上学期八校联考】设函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，使得不等式能成立的实数的取值范围.
【答案】（1）（2）在区间，上单调递增，在区间上单调递减.（3）
