2019-2020学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省聊城市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先计算，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，则 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了交集的运算，属于简单题.‎ ‎2．函数的零点所在的一个区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】判断函数单调递增，计算，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，函数单调递增，计算得到；‎ 故函数在有唯一零点 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了零点存在定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3．若角的终边过点，则的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三角函数值的定义得到，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 角的终边过点，则，则 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数值的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎4．若一个扇形的半径变为原来的倍，弧长变为原来的倍，则扇形的圆心角变为原来的（ ）‎ A．3倍 B．2倍 C．倍 D．倍 ‎【答案】A ‎【解析】根据公式得到，，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设，则 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆心角的计算，属于简单题.‎ ‎5．若，则是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分别判断充分性和必要性，判断得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，可以得到，充分性；‎ 取，满足，但是不满足，不必要；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分不必要条件，举出反例可以快速得到答案，是解题的关键.‎ ‎6．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：‎ 每户每月用电量 电价 不超过230度的部分 ‎0.5元/度 超过230度但不超过400度的部分 ‎0.6元/度 超过400度的部分 ‎0.8元/度 若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为（ ）‎ A．475度 B．575度 C．595.25度 D．603.75度 ‎【答案】D ‎【解析】先确定用电度数超过，设超过400度的部分为，则，解方程得到答案.‎ ‎【详解】‎ 不超过230度的部分费用为：；‎ 超过230度但不超过400度的部分费用为：，；‎ 设超过400度的部分为，则，故用电度 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.‎ ‎7．若实数满足，则的最大值是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据，将等式转化为不等式，求的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，，‎ 的最大值是.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.‎ ‎8．已知偶函数在上单调递减，若,则下列不等关系正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】计算得到；；；根据函数的单调性得到答案.‎ ‎【详解】‎ 偶函数在上单调递减，‎ 则 ；‎ ‎；‎ ‎；‎ 易知：，故 故 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数单调性，奇偶性，诱导公式比较大小，意在考查学生的综合应用能力.‎ 二、多选题 ‎9．已知，则函数的值可能为（ ）‎ A．3 B．-3 C．1 D．-1‎ ‎【答案】BC ‎【解析】讨论在第一象限；在第二象限；在第三象限；在第四象限；四种情况分别化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当在第一象限时：；‎ 当在第二象限时：‎ 当在第三象限时：‎ 当在第四象限时：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数值化简，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.‎ ‎10．下列函数中，最小正周期为，且为偶函数的有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】BD ‎【解析】依次判断函数的周期和奇偶性得到答案.‎ ‎【详解】‎ A. ，函数周期为，非奇非偶函数，排除；‎ B. ，函数周期为，偶函数，满足；‎ C. ，函数周期为，偶函数，排除；‎ D. ，函数周期为，偶函数，满足；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的周期和奇偶性，意在考查学生对于三角函数性质的综合运用.‎ ‎11．已知,给出下列不等式:‎ ‎①；②；③；④；‎ 则其中一定成立的有（ ）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】依次判断每个选项：易知①正确；简单证明可以得到②④正确；取，计算得到③错误；判断得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，则，①正确；‎ ‎，②正确；‎ 取，计算得到，③错误；‎ ‎，④正确；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式关系的判断，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.‎ ‎12．已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）‎ A．的图象关于原点对称 B．的图象关于y轴对称 C．的值域为 D．，且恒成立 ‎【答案】ACD ‎【解析】依次判断每个选项：判断奇偶性得到正确错误；利用换元法计算值域为；判断函数单调递减得到正确，得到答案.‎ ‎【详解】‎ A. ，则，则的图象关于原点对称；‎ B. 计算，，故的图象不关于y轴对称；‎ C. ，，‎ 易知：，故的值域为；‎ D. ，在定义域上单调递减，故，且 恒成立；‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的奇偶性，单调性，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ 三、填空题 ‎13．若命题为假命题，则实数a的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】命题转化为，讨论和两种情况，分别计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 命题为假命题，即 当时：恒成立；‎ 当时：满足 解得 ‎ 综上所述：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据命题的真假计算参数范围，忽略掉的情况是容易发生的错误.‎ ‎14．函数（且）的图象经过的定点坐标为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取，得到，代入计算得到，得到定点.‎ ‎【详解】‎ ‎，取时，，即过定点 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数过定点问题，意在考查学生对于对数函数知识的理解.‎ ‎15．若，且，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】确定，化简得到，再利用 计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，故，故 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数值的计算，意在考查学生的计算能力.‎ ‎16．设区间是函数的定义域D的子集，定义在上的函数 记为,若,则的值域为____________，关于x的方程恰有3个不同的解时，实数t的取值范围为_________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】分别计算和的值域，综合得到答案；根据题意化简得到，‎ 设，计算解析式，画出函数图像得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，；当时， ‎ 综上所述：的值域为；‎ 即，即， ‎ 则 画出函数图像，根据图像知：‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数值，根据方程解的个数求参数，画出函数图像是解题的关键.‎ 四、解答题 ‎17．（1）计算：；‎ ‎（2）已知集合.若，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用对数指数公式直接计算得到答案.‎ ‎（2）计算，，得到，讨论和两种情况，分别计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式 ‎ ‎（2），得 所以，即.‎ ‎ ‎ 所以，因为 ‎①当时，则有，得 ‎②当时，则有，得 综上所述，实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查了指数对数的计算，根据集合的包含关系求参数，忽略掉空集是容易发生的错误.‎ ‎18．1766年；人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：‎ 行星编号（x）‎ ‎1（金星）‎ ‎2（地球）‎ ‎3（火星）‎ ‎4（ ）‎ ‎5（木星）‎ ‎6（土星）‎ 离太阳的距离（y）‎ ‎0.7‎ ‎1.0‎ ‎1.6‎ ‎5.2‎ ‎10.0‎ 受他的启发，意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星.‎ ‎（1）为了描述行星离太阳的距离y与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论即可）；‎ ‎①；②；③.‎ ‎（2）根据你的选择，依表中前几组数据求出函数解析式，并用剩下的数据检验模型的吻合情况；‎ ‎（3）请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.‎ ‎【答案】（1）模型②符合题意（2）见解析（3）‎ ‎【解析】（1）画出散点图，根据图形得到答案.‎ ‎（2）将分别代入得到解析式，再验证得到答案.‎ ‎（3）取，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）散点图如图所示：根据散点图可知，模型②符合题意 ‎（2）将分别代入得，‎ 解得，所以 ‎ 当时，.‎ 当时，.‎ 与已知表中数据完全吻合. ‎ ‎（3）当时，，即谷神星距太阳的距离为 ‎【点睛】‎ 本题考查了散点图，函数解析式，意在考查学生的应用能力和计算能力.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）求在区间上的最值，并求出取最值时x的值；‎ ‎（3）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）（2）时，取最大值3；时，取得最小值0（3）‎ ‎【解析】（1）计算得到答案.‎ ‎（2）计算得到，再计算最值得到答案.‎ ‎（3）化简得到，故，化简得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），解得.‎ 所以的单调递增区间为 ‎ ‎（2）由，得，故，‎ 所以.‎ 当且当，即时，取最大值3；‎ 当且仅当，即时，取得最小值0‎ ‎（3）由可得，，所以 ‎ 解得，即不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的单调性，最值，解三角不等式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；‎ ‎（2）当时，解关于x的不等式.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1），，故得到证明.‎ ‎（2）化简得到，讨论，，三种情况，分别计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得，，且，‎ 则. ‎ 由，得.于是，即 所以函数在区间上单调递增 ‎ ‎（2）原不等式可化为.因为，故.‎ ‎（i）当,即时，得或. ‎ ‎（ii）当,即时，得到,所以； ‎ ‎（iii）当，即时，得或. ‎ 综上所述，‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性的证明，解不等式，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.‎ ‎21．已知函数是的反函数.‎ ‎（1）当时，求函数的最小值的函数表达式；‎ ‎（2）若是定义在上的奇函数，在（1）的条件下，当时，，求的解析式，并画出的图象.‎ ‎【答案】（1）（2），图见解析 ‎【解析】（1），化简得到，设，，，讨论，，三种情况分别计算得到答案.‎ ‎（2）时，，再利用奇函数得到，画出函数图像得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得. ‎ 则，‎ 令，因为，所以 ‎ 所以，其对称轴为.‎ ‎①当时，在上单调递增， ‎ ‎②当时， ‎ ‎③当时，在上单调递减， ‎ 故 ‎ ‎（2）由（1）得，当时， ‎ 时，，所以；‎ 因为是奇函数，所以，即.‎ 所以时，. ‎ 又，所以 ‎ 图象如图 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数解析式，函数图像，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎22．现对一块长米，宽米的矩形场地ABCD进行改造，点E为线段BC的中点，点F在线段CD或AD上（异于A，C），设（单位：米），的面积记为（单位：平方米），其余部分面积记为（单位：平方米）.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设该场地中部分的改造费用为（单位：万元），其余部分的改造费用为（单位：万元），记总的改造费用为W单位：万元），求W最小值，并求取最小值时x的值.‎ ‎【答案】（1）（2）或时，W取得最小值0.8万元 ‎【解析】（1）当时，；当时，设，则，，化简得到答案.‎ ‎（2），展开利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，点F在线段AD上，， ‎ 当时，点F在线段CD上，设，则，‎ ‎. ‎ 所以 ‎ ‎（2）由题意可知. ‎ 故 ‎（万元）. ‎ 当且仅当，即时等号成立.又，解得 ‎ 因为，‎ 所以当时，令，得；‎ 当时，令，得. ‎ 综上，当或时，W取得最小值0.8万元 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.‎