【数学】2019届一轮复习人教A版坐标系与曲线的极坐标方程学案

【数学】2019届一轮复习人教A版坐标系与曲线的极坐标方程学案

题型一　极坐标与直角坐标的互化 例1(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程．‎ ‎(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标．‎ ‎【解析】　(1)∵ ‎∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，‎ 即ρ＝.‎ ‎∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，‎ ‎∴0≤θ≤.‎ 点评　(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．‎ ‎(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．‎ 变式：（2018北京理）在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________．‎ ‎【解析】因为，，，由，得，‎ 由，得，即，即，学 ‎ 因为直线与圆相切，所以，，，．‎ ‎【答案】‎ 巩固1(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．‎ ‎(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程．‎ 题型二　求曲线的极坐标方程学 ‎ 例2　将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出曲线C的方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎【解析】　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由 ＋y＝1得x2＋()2＝1，‎ 即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ 点评　求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．‎ 巩固2 在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，‎ 求圆C的极坐标方程．‎ 题型三　极坐标方程的应用 例3　(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2‎ ‎＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程； 学 ‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 点评　(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．‎ 变式：（2018江苏）在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为， 学 ‎ 求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【解析】因为曲线的极坐标方程为，所以曲线的圆心为，直径为4的圆．‎ 因为直线的极坐标方程为，则直线过，倾斜角为， 学 ‎ 所以为直线与圆的一个交点．设另一个交点为，则．‎ 连结，因为为直径，从而，‎ 所以．因此，直线被曲线截得的弦长为．‎ ‎【答案】直线被曲线截得的弦长为．‎ 巩固3在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长．‎ 答案与解析 巩固1【解析】(1)将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入x2＋y2－2x＝0，‎ 得ρ2－2ρcosθ＝0，整理得ρ＝2cosθ.‎ ‎(2)由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ， . ‎ 化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，‎ 其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，‎ 相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2.学 ‎ ‎ ‎