北京市十一学校2020届高三12月月考数学试题

北京市十一学校2020届高三12月月考数学试题

北京十一学校2020届高三数学12月月考试题 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分 ‎1.复数的共轭复数是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ ，故其共轭复数是 ，选B ‎2.若集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意分别化简集合和集合，再结合选项即可找到答案.‎ ‎【详解】由题知：，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查集合间的关系，同时考查了不等式的解法和二次函数的值域，属于简单题.‎ ‎3.若a>b，则 A. ln(a−b)>0 B. ‎3a<3b C. a3−b3>0 D. │a│>│b│‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A 错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．‎ ‎【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数增函数，，所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．‎ ‎4.设，为两个平面，则//的充要条件是（ ）‎ A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一平面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用排除法，结合面面平行的判定，可得结果.‎ ‎【详解】易知A、C、D选项中与可能相交，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要是考查面面平行的判定，属基础题.‎ ‎5.已知是等差数列，公差d不为零，前n项和是.若，，成等比数列，则( )‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据，，成等比数列，得到，再计算即可找到答案.‎ ‎【详解】由题知： ，即.‎ 化简为：，即.‎ ‎.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的性质，同时考查了等差数列的前项和，属于中档题.‎ ‎6.已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）‎ A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先整理函数的解析式为，由函数为奇函数可得，由最小正周期公式可得，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.‎ ‎【详解】由函数的解析式可得：，‎ 函数为奇函数，则当时：.令可得.‎ 因为直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 结合最小正周期公式可得：，解得：.‎ 故函数的解析式为：.‎ 当时，，函数在所给区间内单调递减；‎ 当时，，函数在所给区间内不具有单调性；‎ 据此可知，只有选项A的说法正确.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7.已知点D，E分别是边长为1的正的边AB，BC的中点，F是DE的中点，则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，把用和表示出来，再计算即可.‎ ‎【详解】如图所示：‎ ‎.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的加减法，同时考查平面向量的数量积运算，属于中档题.‎ ‎8.关于函数有下述四个结论：‎ ‎①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增 ‎③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④ C. ①④ D. ①③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，研究它的性质从而得出正确答案．‎ ‎【详解】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．‎ ‎【点睛】画出函数的图象，由图象可得①④正确，故选C．‎ 二、填空题：本题共8个小题，每小题5分，共30分 ‎9.已知，，且，则向量与向量的夹角是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，再带入夹角公式即可.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 即，，.‎ ‎.所以夹角是.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，熟练掌握夹角公式为解题的关键，属于简单题。‎ ‎10.设等差数列的前n项和为，若，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，求出，，再计算即可.‎ ‎【详解】由题知：，解得：，.‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前项和，同时考查了学生的计算能力，属于简单题.‎ ‎11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．‎ ‎【答案】40.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先根据三视图,还原得到几何体,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题.‎ ‎【详解】如图所示,在棱长为4的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱之后余下的几何体,‎ 几何体的体积.‎ ‎【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎12.设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．‎ ‎【答案】 (1). -1; (2). .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.‎ ‎【详解】若函数为奇函数,则，‎ 对任意的恒成立.‎ 若函数是上的增函数,则恒成立,.‎ 即实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.‎ ‎13.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F‎1F2|=‎2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, 由余弦定理可得 ‎4c‎2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即‎4c2=‎4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，‎ 化简为即‎4c2=‎4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离 心率的倒数之和的最大值.‎ ‎【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，‎ 由椭圆和双曲线的定义可知，‎ 设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F‎1F2|=‎2c，‎ 椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,‎ ‎∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得‎4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①‎ 在椭圆中，①化简为即‎4c2=‎4a2﹣3r1r2…②，‎ 在双曲线中，①化简为即‎4c2=‎4a12+r1r2…③，‎ ‎，‎ 由柯西不等式得（1+）（）≥（）2‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题．‎ ‎14.设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”. 现给出下列函数：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③；‎ ‎④是定义在实数集上的奇函数，且对一切均有.‎ 其中是“条件约束函数”的序号是__________（写出符合条件的全部序号）.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】‎ 对于①，取即可；‎ 对于②，因为时， ，所以不存在，使对一切实数均成立；‎ 对于③，因为，取即可；‎ 对于④，由于为奇函数，故，令得，故，即，所以，取即可.‎ 点睛：新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．‎ 三、解答题，本题共6个小题，共80分；‎ ‎15.在锐角中角A，B，C对边分别为a，b，c，且.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)求函数的值域.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用正弦定义边化角公式将化简为，利用正弦两角和公式即可得到，再计算角即可.‎ ‎（2）根据（1）问知，，将化简为，再根据的范围求值域即可.‎ ‎【详解】（1）由题知：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，.‎ 因为，所以.‎ ‎，.‎ ‎（2）由（1）知：，.‎ ‎.‎ 因为，，所以.‎ 因为，所以.‎ 所以.‎ 故值域为：.‎ ‎【点睛】本题第一问考查正弦定理的边化角公式，第二问考查了三角函数的值域问题，同时考查了三角函数的诱导公式，属于中档题.‎ ‎16.在平面直角坐标系xoy中，直线，，设圆C的半径为1，圆心在上.‎ ‎(1)若圆心C也在直线上，①求圆C的方程；‎ ‎②过点作圆C的切线，求切线的方程；‎ ‎(2)若圆在直线截得的弦长为，求圆C的方程.‎ ‎【答案】（1）①，②或，（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①联立求出圆心坐标，再根据半径为即可写出圆的标准方程.②分别讨论斜率不存在和存在时的情况，利用直线和圆相切的关系即可求出切线方程.‎ ‎（2）首先设出圆心坐标，根据直线截得的弦长为，圆的半径为，得到圆心到的距离为，再利用点到直线的距离公式即可求出圆心坐标和圆的标准方程.‎ ‎【详解】（1）①由题知：.‎ 所以圆心为，圆：.‎ ‎②当斜率不存在时，为，‎ 圆心到的距离为，符合题意.‎ 当斜率存在时，设切线为：.‎ ‎，解得，即切线为：.‎ 综上所述，切线为：或.‎ ‎（2）因为圆心在上，设圆心为.‎ 因为直线截得的弦长为，圆的半径为，‎ 所以圆心到的距离为.‎ 所以，即，或.‎ 所以圆：或，‎ ‎【点睛】本题第一问考查了圆的标准方程和圆的切线方程，第二问考查了直线与圆截得的弦长，属于中档题.‎ ‎17.已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则称x0是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2‎ ‎（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，解得，，所以函数的不动点为.‎ ‎（2）因为对于任意实数，函数有两个不同的不动点，所以对于任意实数，方程恒有两个不相等的实根，即方程恒有两个不相等的实根，所以，即对于任意实数，，所以，解得．‎ ‎（3）设函数的两个不动点为，则，且是方程的两个不等根，所以，直线的斜率为，线段的中点坐标为，因为直线是线段的垂直平分线，所以，且在直线上，则，，所以，当且仅当时等号成立，又，所以实数的取值范围是．‎ 考点：新定义问题、函数与方程、直线方程、基本不等式．‎ ‎18.已知函数（为自然对数的底数）‎ ‎（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；‎ ‎（2）求函数的极值；‎ ‎（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（3）的最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可；（2）解方程 ‎，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程无实数解，即关于的方程在上没有实数解．一般是分类讨论，时，无实数解，时，方程变为，因此可通过求函数的值域来求得的范围．‎ ‎【详解】（1）由,得．‎ 又曲线在点处的切线平行于轴,‎ 得,即,解得．‎ ‎（2）,‎ ‎①当时,,为上的增函数,‎ 所以函数无极值．‎ ‎②当时,令,得,．‎ ‎,;,．‎ 所以在上单调递减,在上单调递增,‎ 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．‎ 综上,当时,函数无极小值 当,在处取得极小值,无极大值．‎ ‎（3）当时,‎ 令,‎ 则直线:与曲线没有公共点,‎ 等价于方程在上没有实数解．‎ 假设,此时,,‎ 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程 在上没有实数解”矛盾,故．‎ 又时,,知方程在上没有实数解．‎ 所以的最大值为．‎ 解法二: ‎ ‎（1）（2）同解法一．‎ ‎（3）当时,．‎ 直线:与曲线没有公共点,‎ 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:‎ ‎（*）‎ 在上没有实数解．‎ ‎①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．‎ ‎②当时,方程（*）化为．‎ 令,则有．‎ 令,得,‎ 当变化时,变化情况如下表:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 减 ‎ ‎ ‎ 增 ‎ 当时,,同时当趋于时,趋于,‎ 从而的取值范围为．‎ 所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．‎ 综上,得的最大值为．‎ 考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．‎ ‎19.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为，离心率为，过椭圆的右焦点F的直线l与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．‎ 求椭圆的方程；‎ 设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；‎ 设，是线段为坐标原点上的一个动点，且，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）定点（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的一个顶点，得b＝1，利用离心率求得a和c关系进而求得a，则椭圆的方程可得；（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），代入椭圆方程，得到韦达定理，设存在N（t，0），使得C、B、N三点共线，则∥，利用向量共线定理坐标化，将韦达定理代入可得t，即可求解．（3）利用（2）韦达定理，将 坐标化，结合向量的数量积公式，即可求得m的取值范围；‎ ‎【详解】由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为，‎ 椭圆C的一个顶点为，即 由，解得：，‎ 所以椭圆C的标准方程为；‎ 由得，设，，‎ 设直线l的方程为，代入椭圆方程，消去y可得 则，，‎ 点C与点A关于x轴对称，‎ 假设存在，使得C、B、N三点共线，‎ 则，，‎ ‎、B、N三点共线，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎．‎ 存在定点，使得C、B、N三点共线．‎ 由，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：，‎ 当时，符合题意 故m的范围为 ‎【点睛】本题考查直线与椭圆综合问题，定点问题，相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量共线定理、两点之间的距离公式、向量垂直与数量积的关系、三点共线问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎20.设正整数数列满足.‎ ‎(1)若，请写出所有可能的的取值；‎ ‎(2)求证：中一定有一项的值为1或3；‎ ‎(3)若正整数m满足当时，中存在一项值为1，则称m为“归一数”，是否存在正整数m，使得m与都不是“归一数”？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）可能取得值为：，，，（2）证明见解析，（3）不存在。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用数列的递推关系，分类讨论，即可得出可能取得的值.‎ ‎（2）首先设中最小的奇数为，根据题意得到：，再对分奇数和偶数讨论即可.‎ ‎（3）由题知：中一定有，设，得到，，…….均为倍数.故不存在正整数m，使得m与都不是“归一数”.‎ ‎【详解】（1）由题知：数列各项均为正整数，‎ 或，解得：或（舍去）.‎ 或，解得：或（舍去）.‎ 或，解得：或.‎ 当时，或，解得：或.‎ 当时，或，解得：或（舍去）.‎ 故可能取得值为：，，.‎ ‎（2）因为为正整数数列，设中最小的奇数为，‎ 所以为偶数.‎ 所以，此时可能为奇数或偶数.‎ 当为奇数时，则，解得：.‎ 所以或.‎ 当为偶数时，则，解得：.‎ 所以或.‎ 综上所述：中一定有一项的值为或.‎ ‎（3）由（2）知：中一定有，由题知：‎ 因为，‎ 所以或.‎ 设，则，，…….均为的倍数.‎ 故不存在正整数m，使得m与都不是“归一数”.‎ ‎【点睛】本题第一问考查数列的递推关系，第二问考查数列的证明，第三问考查数列的推理与归纳，属于难题.‎