【数学】2019届文科一轮复习人教A版8-5椭圆教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版8-5椭圆教案

第五节　椭　圆 ‎ [考纲传真]　(教师用书独具)1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．‎ ‎(对应学生用书第119页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．椭圆的定义 ‎ (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F‎1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．‎ ‎ (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝‎2a}，|F‎1F2|＝‎2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.‎ ‎ ①当‎2a>|F‎1F2|，即a＞c时，M点的轨迹为椭圆；‎ ‎ ②当‎2a＝|F‎1F2|，即a＝c时，M点的轨迹为线段F‎1F2；‎ ‎ ③当‎2a<|F‎1F2|，即a＜c时，M点的轨迹不存在．‎ ‎2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0)‎ ＋＝1(a>b>0)‎ 图形 性 质 范围 ‎－a≤x≤a ‎－b≤y≤b ‎－b≤x≤b ‎－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，‎ B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)，‎ B1(－b,0)，B2(b,0)‎ 离心率 e＝，且e∈(0,1)‎ a，b，c的关系 c2＝a2－b2‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．点P(x0，y0)和椭圆的关系 ‎ (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1.‎ ‎ (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.‎ ‎ (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1.‎ ‎2．焦点三角形 ‎ 椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)与两焦点构成的焦点三角形F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin θ＝·b2＝b2tan ‎3．过焦点垂直于长轴的弦长 ‎ 椭圆过焦点垂直于长轴的半弦长为.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)‎ ‎ (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF‎1F2的周长为‎2a＋‎2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)‎ ‎ (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)‎ ‎ (4)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　)‎ ‎ A．＋＝1　　　　　　　 B．＋＝1‎ ‎ C．＋＝1 D．＋＝1‎ ‎ D　[椭圆的焦点在x轴上，c＝1.‎ ‎ 又离心率为＝，故a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3，‎ ‎ 故椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎3．(2015·广东高考)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)‎ ‎ A．2　　　　　 B．3 ‎ ‎ C．4　　　　　 D．9‎ ‎ B　[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)‎ ‎ A．　　　　　 B． ‎ ‎ C．　　　　　 D. ‎ B　[如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.]‎ ‎5．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是__________．‎ ‎ 3　[直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为‎4a＝8，即a＝2，‎ ‎ 此时，|AB|＝2×＝＝3，‎ ‎ ∴S△FAB＝×2×3＝3.]‎ ‎(对应学生用书第120页)‎ 椭圆的定义与标准方程 ‎　(1)如图851所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)‎ 图851‎ ‎ A．椭圆 B．双曲线 ‎ C．抛物线 D．圆 ‎ (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为________. 【导学号：79170290】‎ ‎ (3)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0|OF|.‎ ‎ ∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．‎ ‎ (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．‎ ‎ ∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．‎ ‎ 则 ‎ ①②两式联立，解得 ‎ ∴所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎ (3)不妨设点A在第一象限，设半焦距为c，‎ ‎ 则F1(－c,0)，F2(c,0)．‎ ‎ ∵AF2⊥x轴，则A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0|F‎1F2|这一条件．‎ ‎ (2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF1|＋|PF2|与|PF1|·|PF2|的整体代换．‎ ‎ 2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式．‎ ‎[变式训练1]　(1)(1)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．‎ ‎ (2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF‎1F2＝3，则b＝________.‎ ‎ (3)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为__________. 【导学号：79170291】‎ ‎ (1)＋＝1　(2)3　(3)＋＝1　[(1)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.‎ ‎ 所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C‎1C2|，‎ ‎ 即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎ (2)由题意得|PF1|＋|PF2|＝‎2a，‎ ‎ 又∠F1PF2＝60°，‎ ‎ 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F‎1F2|2，‎ ‎ 所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝‎4c2，‎ ‎ 所以3|PF1||PF2|＝‎4a2－‎4c2＝4b2，‎ ‎ 所以|PF1||PF2|＝b2，‎ ‎ 所以S△PF‎1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝×b2×＝b2＝3，所以b＝3.‎ ‎ (3)依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)．‎ ‎ 过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，‎ ‎ ∴点A必在椭圆上，∴＋＝1. ①‎ ‎ 又由c＝1，得1＋b2＝a2. ②‎ ‎ 由①②联立，得b2＝3，a2＝4.‎ ‎ 故所求椭圆C的方程为＋＝1.]‎ 椭圆的几何性质 ‎　(1)(2018·泉州质检)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于(　　)‎ ‎ A．8 B．7‎ ‎ C．6 D．5‎ ‎ (2)(2016·江苏高考)如图852，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是 ________.‎ 图852‎ ‎ (1)A　(2)　[(1)∵椭圆＋＝1的长轴在x轴上，‎ ‎ ∴解得6＜m＜10.‎ ‎ ∵焦距为4，∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.‎ ‎ (2)将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，‎ ‎ 所以x＝±a，故B，C.‎ ‎ 又因为F(c,0)，所以＝，＝.‎ ‎ 因为∠BFC＝90°，所以·＝0，‎ ‎ 所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．]‎ ‎ [规律方法]　　1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．‎ ‎ 2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．‎ ‎[变式训练2]　(1)已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)‎ ‎ A．－21 B．21‎ ‎ C．－或21 D．或－21‎ ‎ (2)过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　) 【导学号：79170292】‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ (3)(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A‎1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ (1)D　(2)B　(3)A　[(1)当9＞4－k＞0，即－5＜k＜4时，‎ ‎ a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，‎ ‎ ∴＝，解得k＝.‎ ‎ 当9＜4－k，即k＜－5时，a＝，c2＝－k－5，‎ ‎ ∴＝，解得k＝－21，所以k的值为或－21.‎ ‎ (2)由题意，可设P.‎ ‎ 因为在Rt△PF‎1F2中，|PF1|＝，|F‎1F2|＝‎2c，∠F1PF2＝60°，所以＝.又因为b2＝a2－c2，所以c2＋‎2ac－a2＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－，又因为e∈(0,1)，所以e＝.‎ ‎ (3)由题意知以A‎1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为A．‎ ‎ 又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，‎ ‎ ∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，‎ ‎ ∴＝，‎ ‎ ∴e＝＝＝＝＝.‎ ‎ 故选A．]‎ 直线与椭圆的位置关系 角度1　由位置关系研究椭圆的方程与性质 ‎　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为.‎ 图853‎ ‎ (1)求椭圆E的离心率；‎ ‎ (2)如图853，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．‎ ‎ [解]　(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝， 3分 ‎ 由d＝c，得a＝2b＝2 ，解得离心率＝. 5分 ‎ (2)由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①‎ ‎ 依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.‎ ‎ 易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，‎ ‎ 代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0. 8分 ‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ ‎ 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝.‎ ‎ 从而x1x2＝8－2b2. 10分 ‎ 于是|AB|＝|x1－x2|‎ ‎ ＝＝.‎ ‎ 由|AB|＝，得＝，解得b2＝3.‎ ‎ 故椭圆E的方程为＋＝1. 12分 角度2　由位置关系研究直线的性质 ‎　(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．‎ ‎ (1)求C的方程．‎ ‎ (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎ [解]　(1)由题意有＝，＋＝1，‎ ‎ 解得a2＝8，b2＝4. 3分 ‎ 所以C的方程为＋＝1. 5分 ‎ (2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).‎ ‎ 7分 ‎ 将y＝kx＋b代入＋＝1，得 ‎ (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 9分 ‎ 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.‎ ‎ 于是直线OM的斜率kOM＝＝－，‎ ‎ 即kOM·k＝－.‎ ‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值. 12分 ‎ [规律方法]　　1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．‎ ‎ 2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ ‎ ＝(k为直线斜率)．‎