北京市八一学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

北京市八一学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

北京市八一学校2019～2020学年度第二学期期中试卷 高一数学 一.选择题（本大题共10小题，共40分）‎ ‎1.已知为第三象限角，则下列判断正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为第三象限角，先判断，的符号，再选择.‎ ‎【详解】因为为第三象限角，‎ 所以，，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题.‎ ‎2.=( )‎ A. B. – C. D. –‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ sin330°=sin（270°+60°）=–cos60°=–．故选B．‎ ‎3.函数的最小正周期是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的周期公式求解.‎ ‎【详解】因函数 所以最小正周期是 故选：A ‎【点睛】本题主要考查三角函数的周期，属于基础题.‎ ‎4.函数是（ ）‎ A. 增函数 B. 减函数 C. 偶函数 D. 奇函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用诱导公式将函数转化为，再利用正弦函数的性质求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，所以是奇函数，‎ 又，故不单调，‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和奇偶性以及诱导公式的应用，属于基础题.‎ ‎5.“”是“”的（ ）‎ A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解正弦方程，结合题意即可容易判断.‎ ‎【详解】因为，故可得或，‎ 则“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及三角方程的求解，属综合基础题.‎ ‎6.为了得到函数的图像，可以把函数的图像（ ）‎ A. 每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位 B. 每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 C. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的（纵坐标不变）‎ D. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的图形变换规律即可得到结论.‎ ‎【详解】把函数的图像，向左平移个单位得到，‎ 再把所得各点的横坐标伸长到原来的（纵坐标不变）得到.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，属于基础题.‎ ‎7.函数的零点的个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎3 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 在上是增函数， 的零点个数为 .故选A.‎ 点睛：函数的零点的判断方法有三种：一、直接求零点：令 ,如果能求出解，有几个解就有几个零点；二、零点存在性定理：函数在连续的区间 上有定义且 ‎ ，则函数在上存在零点；三、先把所求的函数分解成两个简单的函数，再由两函数图象看交点个数，交点横坐标即为函数的零点.‎ ‎8.函数（且）的图像是下列图像中的（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.‎ ‎【详解】依题意，.由此判断出正确的选项为C.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.‎ ‎9.已知函数，关于函数的性质给出下面三个判断：‎ ‎①函数是周期函数，最小正周期为；‎ ‎②函数的值域为；‎ ‎③函数在区间上单调递增.‎ 其中判断正确的个数是（ ）‎ A. 3 B. ‎2 ‎C. 1 D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图象，结合图象分析函数的周期性，单调性和值域，即可得到结论.‎ ‎【详解】由函数，‎ 画出函数的图象，如图所示：‎ 函数是周期函数，最小正周期为，故①正确.‎ 函数的值域为，故②错误.‎ 函数在区间上单调递减.，在区间上单调递增，故③错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合思想和理解辨析的能力，属于中档题.‎ ‎10.已知，都是锐角，若，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与大小关系不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，都是锐角，得到，，再由，利用在上的单调性求解.‎ ‎【详解】因为，都是锐角，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，在上递增，‎ 所以，即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查三角函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ 二.填空题（本大题共8小题，共32分）‎ ‎11.如果角的终边经过点，那么______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的终边经过点，求得该点到原点的距离，再利用余弦函数的定义求解.‎ ‎【详解】因为角的终边经过点，‎ 所以点到原点的距离为，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎12.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称.若角的终边与单位圆交于点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据角与角的终边关于x轴对称，且角的终边与单位圆交于点，得到角的终边与单位圆的交点，然后利用正弦函数的定义求解.‎ ‎【详解】因为角与角的终边关于x轴对称，且角的终边与单位圆交于点，‎ 所以角的终边与单位圆交于点，‎ 又，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查角终边的对称以及三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎13.已知，则______，______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，将分子分母同除以，利用商数关系求解.先利用“‎‎1”‎ 的代换，将的分母换为“”，得到，再分子分母同除以，利用商数关系求解 ‎【详解】因为，‎ 所以.‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为： ①；②；‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎14.已知，则______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，两边平方得到，再根据平方关系求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎15.下列函数中：①；②；③，其图象仅通过向左或向右平移就能与函数的图象重合的是______填上符合要求的函数对应的序号 ‎【答案】：①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式，根据的图象的变化规律，得出结论.‎ ‎【详解】的图象向左平移个单位，可得到，故①符合要求.‎ 的图象向右平移个单位，可得到，故②符合要求.‎ 对于③，无论向左还向右，纵坐标不变，故不符合条件.‎ 故答案为：①②‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换以及诱导公式的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.‎ ‎16.已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则________，________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ 由图知函数的周期是，又知，，时，，故答案为(1)；(2).‎ ‎【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，可以先求出的所有的值，再根据题设中的条件，取特殊值即可.‎ ‎17.若角的终边落在直线上，则__________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的终边落在直线上，判断出角所在的象限，并用平方关系化简所求的式子，再对角分类利用三角函数值的符号求解.‎ ‎【详解】因为角的终边落在直线上，‎ 所以角为第二或第四象限角，‎ 因为，‎ 当角为第二象限角时，‎ 原式，‎ 当角为第四象限角时，‎ 原式，‎ 综上：当角为第二或第四象限角时，均为0.‎ 故答案为：0‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数值的符号以及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎18.已知集合.给定一个函数，定义集合 若对任意的成立，则称该函数具有性质“”‎ ‎(I)具有性质“”的一个一次函数的解析式可以是 _____；‎ ‎(Ⅱ)给出下列函数：①；②；③，其中具有性质“”的函 数的序号是____．（写出所有正确答案的序号）‎ ‎【答案】 (1). （答案不唯一） (2). ①②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(I)根据题意，只需找到满足题中条件的函数即可，如；‎ ‎(Ⅱ)根据题中条件，逐个判断所给函数即可得出结果.‎ ‎【详解】(I)对于解析式：，因为 ‎，，…符合．‎ ‎(Ⅱ) 对于①，，…，循环下去，符合；‎ 对于②，，，…，根据单调性得相邻两个集合不会有交集，符合，‎ 对于③，，，，不符合，‎ 所以，选①②‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集以及函数值域问题，熟记交集的概念，掌握求函数值域的方法即可，属于常考题型.‎ 三、解答题（本大题共3小题，共28分）‎ ‎19.已知函数，且.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，由求解.‎ ‎（2）由（1）知：，可变形为，再令，利用二次函数的性质求解.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 令 所以函数的值域. ‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数值的应用以及有关三角函数的二次函数型求值域，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象先列表，再画图；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间；‎ ‎（3）求函数在区间上的最小值，并写出相应x的值.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）按5个关键点列表，进而根据五点作图法描点连线画图即可.‎ ‎（2）利用正弦函数的单调性令求解.‎ ‎（3）根据得到，再利用正弦函数的性质求解.‎ ‎【详解】（1）按5个关键点列表如下：‎ 描点连线作图如下：‎ ‎（2）令 解得 所以函数的单调递增区间是 ‎（3）因为 所以 所以函数在区间上的最小值为，此时，.‎ ‎【点睛】本题主要考查角终边的对称以及三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎21.定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期．‎ ‎（1）下列函数①，②，③（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；‎ ‎（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；‎ ‎（3）若为线周期函数，求的值.‎ ‎【答案】（1）③；（2）见解析；（3）1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据新定义判断即可， （2）根据新定义证明即可， （3）线周期函数，可得存在非零常数，对任意，.．即可得到，解得验证即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）③；‎ ‎（2）证明：∵为线周期函数，其线周期为，‎ ‎∴存在非零常数，对任意 ，恒成立.‎ ‎∵,‎ ‎∴ .‎ ‎∴为周期函数. ‎ ‎（3）∵为线周期函数，‎ ‎∴存在非零常数，对任意，.‎ ‎∴．‎ 令，得；令，得； ‎ ‎①②两式相加，得.‎ ‎∵，∴．检验：‎ 当时，．存在非零常数，对任意，‎ ‎，‎ ‎∴为线周期函数，综上，.‎