2019届二轮复习 三角函数的图象与性质学案（全国通用）
第1讲 三角函数的图象与性质
高考统计·定方向
热点题型
真题统计
命题规律
题型1：三角恒等变换
2018全国卷ⅢT4；2018全国卷ⅠT11；2018全国卷ⅡT15
2017全国卷ⅢT4；2017全国卷ⅠT15
1.重点考查三角函数图象的变换，三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.
题型2：三角函数的图象与解析式
2016全国卷ⅠT6；2016全国卷ⅡT3；2016全国卷ⅢT14
2015全国卷ⅠT8
题型3：三角函数的性质及应用
2018全国卷ⅠT8；2018全国卷ⅡT10；2018全国卷ⅢT6
2017全国卷ⅡT3；2017全国卷ⅡT13；2017全国卷ⅢT6
2016全国卷ⅡT11；2014全国卷ⅡT14
2.主要以选择、填空题的形式考查，难度中等偏下.
题型1 三角恒等变换
■核心知识储备·
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
3．辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).
■高考考法示例·
【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )
A. B. C. D．1
(2)(2018·洛阳模拟)若sin＝，则cos＋2α＝________.
(3)(2018·石家庄模拟)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β的值为________．
(1)B (2)－ (3) [(1)由题可知tan α＝＝b－a，又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝，∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝，即|b－a|＝，故选B.
(2)由sin＝
得cos＝1－2sin2
＝1－2×2＝，
则cos＝cos
＝－cos＝－.
(3)因为cos(2α－β)＝－且＜2α－β＜π，
所以sin(2α－β)＝.
因为sin(α－2β)＝且－＜α－2β＜，
所以cos(α－2β)＝.
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝.
因为＜α＋β＜，所以α＋β＝.
[方法归纳]
1．三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
2．解决条件求值问题的关注点
(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
(3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．
(教师备选)
(2018·佛山模拟)已知tan＝，则cos2－α＝( )
A. B. C. D.
B [tan＝＝，解得tan α＝－，故cos2＝
＝＝＋sin αcos α，
其中sin αcos α＝＝＝－，故＋sin αcos α＝.]
■对点即时训练·
1．(2018·黄山模拟)若cos＝，则sin 2α＝( )
A. B. C．－ D．－
D [由cos＝得，sin 2α＝cos＝2cos2－1＝2×－1＝－，故选D.]
2．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( )
A. B. C. D.
C [由sin α＝，α是锐角知cos α＝，
由sin(α－β)＝－，α，β均为锐角知，－＜α－β＜0，
从而cos(α－β)＝.
故cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝
所以β＝]
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tan α＝________.
[法一：因为tan ＝，
所以＝，即＝，
解得tan α＝.
法二：因为tan＝，
所以tan α＝tan＋
题型2 三角函数的图象与解析式
■核心知识储备·
1．“五点法”作图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线，其中所列表如下：
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－＋
－
Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
2.图象变换
■高考考法示例·
【例2】 (1)(2018·合肥模拟)函数y＝sin的图象可由函数y＝cosx的图象至少向右平移m(m＞0)个单位长度得到，则m＝( )
A．1 B. C. D.
(2)(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图211所示，则f(x)的单调递减区间为( )
图211
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
(1)A (2)D [(1)因为y＝sin
＝cos
＝cos，
所以只需将函数y＝cosx的图象向右至少平移1个单位长度即可得到函数y＝sin的图象．
(2)由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－
0)的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)的图象时，只需进行平移变换，应把ωx＋φ变换成ω，根据确定平移量的大小，根据的符号确定平移的方向．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定方法
(1)A由最值确定，A＝；
(2)ω由周期确定；
(3)φ由图象上的特殊点确定．
通常利用峰点、谷点或零点列出关于φ的方程，结合φ的范围解得φ的值，所列方程如下：
峰点：ωx＋φ＝＋2kπ；谷点：ωx＋φ＝－＋2kπ，利用零点时，要区分该零点是升零点，还是降零点．
升零点(图象上升时与x轴的交点)：ωx＋φ＝2kπ；
降零点(图象下降时与x轴的交点)：ωx＋φ＝π＋2kπ.(以上k∈Z)
■对点即时训练·
1．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
B [∵y＝cos 2x＝sin，
∴y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度，
得y＝sin＝sin的图象，故选B.]
2．函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的部分图象如图212所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值为( )
图212
A．0 B．2＋2 C．6 D．－
B [由题图可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝，
∴f(x)＝2sinx.
∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－
，f(8)＝0，而2 019＝8×252＋3，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2＋2.]
题型3 三角函数的性质及应用
■核心知识储备·
1．三角函数的奇偶性、对称性
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，对称点、横坐标可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称点、横坐标可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．
(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
尤其注意其对称点横坐标可由ωx＋φ＝(k∈Z)求得．
2．三角函数的最值
函数类型
求解方法
y＝asin x＋bcos x＋c
转化为y＝sin(x＋φ)＋c的最值问题
y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x
转化为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C的最值问题
y＝asin2x＋bsin x＋c
换元法转化为二次函数的最值问题
■高考考法示例·
►角度一 三角函数的定义域、周期性及单调性的判断
【例3－1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是( )
A. B. C. D．π
C [法一：f(x)＝cos x－sin x＝cosx＋.当x∈[0，a]时，x＋∈，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.
法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sin.于是，由题设得f′(x)≤0，即 sin≥0在区间[0，a]上恒成立．当x∈[0，a]时，x＋∈，所以a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.]
(2)已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.
①求f(x)的定义域与最小正周期；
②讨论f(x)在区间上的单调性．
[解] ①f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcosx－－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
②令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝
，易知A∩B＝－，.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
►角度二 三角函数的最值问题
【例3－2】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
B [f(x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－22＋，又sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝1时，f(x)有最大值5，故选B.]
(2)(2018·青岛模拟)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0.
①求ω；
②将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
[解] ①因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx
＝＝sin.
由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，所以ω＝2.
②由①得f(x)＝sin
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.
►角度三 三角函数图象的对称性
【例3－3】 (1)将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B. C. D.
(2)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递增，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点对称
(1)A (2)B [(1)设f(x)＝cos x＋sin x＝2cos x＋sin x＝2sin，向左平移m个单位长度得g(x)＝2sin.∵g(x)的图象关于y轴对称，∴g(x)为偶函数，∴＋m＝＋kπ(k∈Z)，
∴m＝＋kπ(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值为.
(2)由题意可得将f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位得到g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，因为函数g(x)为奇函数，所以排除C，又当x＝
时函数值为0，当x＝时，函数值为，所以A和D中对称的说法不正确，选B.]
[方法归纳] 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路
第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；
第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
■对点即时训练·
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为( )
A. B. C．π D．2π
C [f(x)＝＝＝＝
sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.]
2．(2018·沈阳模拟)已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )
A．2π， B．π，
C．2π， D．π，
B [f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝sin＋1，则T＝＝π.由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0得f(x)在上单调递减，故选B.]
3．(2018·哈尔滨模拟)若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ
＜π)的图象关于中心对称，则函数f(x)在上的最小值是( )
A．－1 B．－
C．－ D．－
B [f(x)＝2sin，又图象关于中心对称，所以2×＋θ＋＝kπ，k∈Z，所以θ＝kπ－π，又0＜θ＜π，所以θ＝，
所以f(x)＝－2sin 2x，
因为x∈.
所以2x∈，f(x)∈[－，2]，
所以f(x)的最小值是－.]
1．(2014·全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos2x＋，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．②④ B．①③④
C．①②③ D．①③
C [①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.
②由图象知，函数的周期T＝π.
③T＝π.
④T＝.
综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.]
2．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移
个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
D [函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.]
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
B [易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.]
4．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
[∵y＝sin x－cos x＝2sin，∴函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移个单位长度得到．]
5．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
－ [由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝
＝.
tan＝＝
＝－＝－＝－.]
